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【优化探究】2013届高三数学二轮复习 专题演练1-2-3第三讲 导数的应用一、选择题1过点(0,1)且与曲线y在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为()a2xy10b2xy10cx2y20 dx2y20解析:因为y1,所以y,从而可知函数在x3处的导数值为,故所求的直线的斜率是2,直线方程为y2x1,即2xy10.答案:a2(2012年福州模拟)已知g(x)为三次函数f(x)x3ax2cx的导函数,则函数g(x)与f(x)的图象可能是()解析:因为f(x)ax22axc,所以函数f(x)的对称轴为x1,故可排除b,c;由a中f(x)的图象知c0,所以f(x)x3ax2x2(xa),因此三次函数f(x)x3ax2cx只有两个零点,而图象a中f(x)的图象与x轴有三个交点,故排除a.应选d.答案:d3(2012年高考辽宁卷)函数yx2ln x的单调递减区间为()a(1,1 b(0,1c1,) d(0,)解析:由题意知,函数的定义域为(0,),又由yx0,解得00),f(x).由f(x)0解得x2.当x(0,2)时,f(x)0,f(x)为增函数x2为f(x)的极小值点答案:d5(2012年淄博一检)已知aln x对任意x,2恒成立,则a的最大值为()a0 b1c2 d3解析:设f(x)ln x,则f(x).当x,1)时,f(x)0,故函数f(x)在(1,2上单调递增,f(x)minf(1)0,a0,即a的最大值为0.答案:a二、填空题6如果曲线yx4x在点p处的切线垂直于直线yx,那么点p的坐标为_解析:由y4x31,得当y3时,有4x313,可解得x1,此时p点的坐标为(1,0)答案:(1,0)7设函数f(x)x(ex1)x2,则函数f(x)的单调增区间为_解析:因为f(x)x(ex1)x2,所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0,即(ex1)(x1)0,解得x(,1)或x(0,)所以函数f(x)的单调增区间为(,1和0,)答案:(,1和0,)8已知函数f(x)ax3bx2cx,其导函数yf(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的是_当x时函数取得极小值;f(x)有两个极值点;当x2时函数取得极小值;当x1时函数取得极大值解析:从图象上可以看到:当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x2时函数取得极小值,当x1时函数取得极大值只有不正确答案:三、解答题9(2012年益阳模拟)已知函数f(x)ln(exa)(a为常数)是r上的奇函数(1)求a的值;(2)讨论函数yx22exm的零点的个数解析:(1)因为f(x)ln(exa)是奇函数,所以ln(exa)ln(exa),所以(exa)(exa)1,所以a(exexa)0,所以a0.(2)由已知得x22exm,令f1(x),f2(x)x22exm,因为f1(x),当x(0,e)时,f1(x)0,所以f1(x)在(0,e上为增函数;当xe,)时,f1(x)0,所以f1(x)在e,)上为减函数所以当xe时,f1(x)maxf1(e),而f2(x)(xe)2me2,所以当me2,即me2时,所求函数零点的个数为0;当me2,即me2时,所求函数零点的个数为1;当me2,即m0,所以f(x)在(1,)上是增函数(2)f(x)(x0),当x1,e时,2x2a2a,2e2a若a2,则当x1,e时,f(x)0,所以f(x)在1,e上是增函数,又f(1)1,故函数f(x)在1,e上的最小值为1.若a2e2,则当x1,e时,f(x)0,所以f(x)在1,e上是减函数,又f(e)e2a,所以f(x)在1,e上的最小值为e2a.若2a2e2,则当1x 时,f(x)0,此时f(x)是减函数;当 0,此时f(x)是增函数又f( )ln ,所以f(x)在1,e上的最小值为ln .综上可知,当a2时,f(x)在1,e上的最小值为1;当2a2e2时,f(x)在1,e上的最小值为ln ;当a2e2时,f(x)在1,e上的最小值为e2a.11已知函数f(x)ln x.(1)若函数f(x)在(0,)上为单调增函数,求a的取值范围;(2)设m,n(0,),且mn,求
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