创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题六 概率与统计 第2讲 随机变量及其分布课件 理.ppt

第2讲随机变量及其分布 高考定位概率模型多考查独立重复试验 相互独立事件 互斥事件及对立事件等 对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的 热点 多在解答题的前三题的位置呈现 常考查独立事件的概率 超几何分布和二项分布的期望等 真题感悟 2016 全国 卷 某公司计划购买2台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率 记x表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 1 求x的分布列 2 若要求p x n 0 5 确定n的最小值 3 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在n 19与n 20之中选其一 应选用哪个 解 1 由柱状图并以频率代替概率可得 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8 9 10 11的概率分别为0 2 0 4 0 2 0 2 从而p x 16 0 2 0 2 0 04 p x 17 2 0 2 0 4 0 16 p x 18 2 0 2 0 2 0 4 0 4 0 24 p x 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 p x 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 p x 21 2 0 2 0 2 0 08 p x 22 0 2 0 2 0 04 所以x的分布列为 2 由 1 知p x 18 0 44 p x 19 0 68 故n的最小值为19 3 记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 当n 19时 e y 19 200 0 68 19 200 500 0 2 19 200 2 500 0 08 19 200 3 500 0 04 4040 当n 20时 e y 20 200 0 88 20 200 500 0 08 20 200 2 500 0 04 4080 可知当n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用的期望值 故应选n 19 考点整合 1 条件概率 2 相互独立事件同时发生的概率p ab p a p b 3 独立重复试验 4 超几何分布 5 离散型随机变量的分布列 为离散型随机变量 的分布列 2 离散型随机变量 的分布列具有两个性质 pi 0 p1 p2 pi 1 i 1 2 3 3 e x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 的数学期望或均值 d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 xi e 2 pi xn e 2 pn叫做随机变量 的方差 4 性质 e a b ae b d a b a2d x b n p 则e x np d x np 1 p x服从两点分布 则e x p d x p 1 p 热点一相互独立事件 独立重复试验概率模型 微题型1 相互独立事件的概率 例1 1 2016 北京卷 a b c三个班共有100名学生 为调查他们的体育锻炼情况 通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间 数据如下表 单位 小时 1 试估计c班的学生人数 2 从a班和c班抽出的学生中 各随机选取1人 a班选出的人记为甲 c班选出的人记为乙 假设所有学生的锻炼时间相互独立 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 3 再从a b c三个班中各任取一名学生 他们该周的锻炼时间分别是7 9 8 25 单位 小时 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1 表格中数据的平均数记为 0 试判断 0和 1的大小 结论不要求证明 探究提高对于复杂事件的概率 要先辨析事件的构成 理清各事件之间的关系 并依据互斥事件概率的和 或者相互独立事件概率的积的公式列出关系式 含 至多 至少 类词语的事件可转化为对立事件的概率求解 并注意正难则反思想的应用 即题目较难的也可从对立事件的角度考虑 微题型2 独立重复试验的概率 例1 2 一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售量相互独立 1 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率 2 用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求随机变量x的分布列 期望e x 及方差d x 解 1 设a1表示事件 日销售量不低于100个 a2表示事件 日销售量低于50个 b表示事件 在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个 因此p a1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 p a2 0 003 50 0 15 p b 0 6 0 6 0 15 2 0 108 分布列为 因为x b 3 0 6 所以期望e x 3 0 6 1 8 方差d x 3 0 6 1 0 6 0 72 探究提高在解题时注意辨别独立重复试验的基本特征 1 在每次试验中 试验结果只有发生与不发生两种情况 2 在每次试验中 事件发生的概率相同 训练1 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望 2 若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算 且各顾客的结算相互独立 求该顾客结算前的等候时间不超过2 5分钟的概率 注 将频率视为概率 解 1 由已知得25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本 将频率视为概率得 x的分布列为 热点二离散型随机变量的分布列 微题型1 利用相互独立事件 互斥事件的概率求分布列 1 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 2 两次回球结束后 小明得分之和x的分布列与数学期望 可得随机变量x的分布列为 探究提高解答这类问题使用简洁 准确的数学语言描述解答过程是解答得分的根本保证 引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确 或者用表格描述 使得问题描述有条理 不会有遗漏 也不会重复 分析清楚随机变量取值对应的事件是求解分布列的关键 微题型2 二项分布 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为x 求x 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期望较大 2 设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为x1 都选择方案乙所获得的累计得分为x2 则x1 x2的分布列如下 微题型3 超几何分布 例2 3 2016 合肥二模 为推动乒乓球运动的发展 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 现有来自甲协会的运动员3名 其中种子选手2名 乙协会的运动员5名 其中种子选手3名 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛 1 设a为事件 选出的4人中恰有2名种子选手 且这2名种子选手来自同一个协会 求事件a发生的概率 2 设x为选出的4人中种子选手的人数 求随机变量x的分布列和数学期望 探究提高抽取的4人中 运动员可能为种子选手或一般运动员 并且只能是这两种情况之一 符合超几何概型的特征 故可利用超几何分布求概率 训练2 2014 新课标全国 卷 从某企业生产的某种产品中抽取500件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频率分布直方图 1 概率p a b 与p ab 的区别 1 发生时间不同 在p a b 中 事件a b的发生有时间上的差异 b先a后 在p ab 中 事件a b同时发生 2 样本空间不同 在p a b 中 事件b成为样本空间 在p ab 中 样本空间仍为总的样本空间 因而有p a b p ab 2 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为 第一步是 判断取值 即判断随机变量的所有可能取值 以及取每个值所表示的意义 第二步是 探求概率 即利用排列组合 枚举法 概率公式 常见的有古典概型公式 几何概型公式 互斥事件的概率和公式 独立事件的概率积公式 以及对立事件的概率公式等 求出随机变量取每个值时的概率 第三步是 写分布列 即