第十一章动量矩定理习题解答.doc

1 习习 题题 11 1 质量为 m 的质点在平面 Oxy 内运动 其运动方程为 tbytax 2sin cos 其中 a b 和 w 均为常量 试求质点对坐标原点 O 的动量矩 taxvx sin tbyvy 2cos2 xmvymvL yxO cos2cos22sinsin tatbtbtam cos2cos22sin sinttttmab cos2cos2cossin2 sintttttmab 2cos sincos2 2 tttmab tmab 3 cos2 11 2 C D 两球质量均为 m 用长为 2 l 的杆连接 并将其中点固定在轴 AB 上 杆 CD 与轴 AB 的交角为 如图 11 25 所示 如轴 AB 以角速度 w 转动 试求下列两种情况 下 系统对 AB 轴的动量矩 1 杆重忽略不计 2 杆为均质杆 质量为 2m 图 11 25 1 222 sin2 sin 2mllmJz 22 sin2lmLz 2 22 0 2 sin 3 2 d sin 2mlxx l m J l z 杆 22 sin 3 8 mlJz 22 sin 3 8 lmLz 11 3 试求图 11 26 所示各均质物体对其转轴的动量矩 各物体质量均为 m 图 11 26 a 2 3 1 mlLO b 222 9 1 6 12 1 ml l mmlJO 2 9 1 mlLO c 222 24 5 23 1 212 1 mll m l m JO 2 24 5 mlLO d 222 2 3 2 1 mRmRmRJO 2 2 3 mRLO 11 4 如图 11 27 所示 均质三角形薄板的质量为 m 高为 h 试求对底边的转动惯量 Jx 2 图 11 27 面密度为 bh m A 2 在 y 处 b h y by yy h m yb h y bh m yb bh m Am yA d 2 d 2 d 2 dd 2 微小区域对于 z 轴的转动惯量 yyhy h m myhJzd 2 d d 2 2 2 hh z mhyyhyyh h m yyhy h m J 00 2322 2 2 2 4 1 3 2 2 1 2d 2 2 d 2 2 6 1 mh 11 5 三根相同的均质杆 用光滑铰链联接 如图 11 28 所示 试求其对与 ABC 所在 平面垂直的质心轴的转动惯量 图 11 28 3 3 1 12 1 22 hmmlJzlh 2 3 2222 2 1 3 12 1 12 1 3 2 3 3 1 12 1 mlmllmmlJz 11 6 如图 11 29 所示 物体以角速度 w 绕 O 轴转动 试求物体对于 O 轴的动量矩 1 半径为 R 质量为 m 的均质圆盘 在中央挖去一边长为 R 的正方形 如图 11 32a 所示 2 边长为 4a 质量为 m 的正方形钢板 在中央挖去一半径为 a 的圆 如图 11 32b 所示 图 11 29 1 2 1 2 6 1 2 1 RmmRJC 2 2 1 m m R R m 222 6 1 3 6 1 2 1 mRR m mRJC 1 mm mm 2222 6 7 9 1 6 1 3 mRR m mRRmJJ CO 2 6 97 mRJL OO 2 3 2 1 2 2 1 4 6 1 amamJC mm a a m 16 16 2 2 1 222 96 3256 16 2 1 3 8 mamamaJC mmmm 16 16 16 2222 96 48896 3256 8 16 16 96 3256 22 mRammaamJJ CO 2 96 511024 mR 2 96 1024 51 mRJL OO 11 7 如图 11 30 所示 质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动 轮子轴心为 A 质 心为 C AC e 轮子半径为 R 对轴心 A 的转动惯量为 JA C A B 三点在同一直线上 试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩 1 当轮子只滚不滑时 已知 vA 2 当轮子又滚又滑时 已知 vA w 图 11 30 2 meJeRmvJeRmvL AcCCB 1 R vA eRvC R v eRmmeJ R v meJ R v eRmL A A A A A B 2222 2 evv AC CAB JeRevmL 2 meJeRmeveRm AA meRJveRm AA 11 8 曲柄以匀角速度 w 绕 O 轴转动 通过连杆 AB 带动滑块 A 与 B 分别在铅垂和水平 滑道中运动 如图 11 31 所示 已知 OC AC BC l 曲柄质量为 m 连杆质量为 2m 试 求系统在图示位置时对 O 轴的动量矩 图 11 31 顺时针 AB ABOCO LLL 2 3 1 mlLOC 4 2222 3 4 3 2 2 2 2 12 1 2mlmlmllmlmvL ABCAB 2 3 5 mlLOC 11 9 如图 11 32 所示的小球 A 质量为 m 连接在长为 l 的无重杆 AB 上 放在盛有液 体的容器中 杆以初角速度 w0绕 O1O2轴转动 小球受到与速度反向的液体阻力 F kmw k 为比例常数 问经过多少时间角速度 w 成为初角速度的一半 图 11 32 2 mlLz kmlMz z z M t L d d 得 l k t d d t t l k 0 d d 0 t l k 0 ln 0 ln k l t 2ln k l t 11 10 水平圆盘可绕 z 轴转动 在圆盘上有一质量为 m 的质点 M 作圆周运动 已知其 速度大小 v0 常量 圆的半径为 r 圆心到 z 轴的距离为 l M 点在圆盘上的位置由 f 角确定 如图 11 33 所示 如圆盘的转动惯量为 J 并且当点 M 离 z 轴最远 在点 M0 时 圆盘的 角速度为零 轴的摩擦和空气阻力略去不计 试求圆盘的角速度与 f 角的关系 图 11 33 0 z M常常 z L 00 rlmvLz cos cos2 00 22 lmvrmvlrrlmJL zz cos cos2 000 22 rlmvlmvrmvlrrlmJz cos2 cos1 22 0 lrrlmJ vml z 11 11 两个质量分别为 m1 m2的重物 M1 M2分别系在绳子的两端 如图 11 34 所示 两绳分别绕在半径为 r1 r2并固结在一起的两鼓轮上 设两鼓轮对 O 轴的转动惯量为 JO 试求鼓轮的角加速度 图 11 34 5 222111 rvmrvmJL Oz 11 rv 22 rv 2 22 2 11 rmrmJL Oz 2211 grmgrmMz z z M t L d d 2211 2 22 2 11 grmgrmrmrmJO 2 22 2 11 2211 rmrmJ grmgrm O 11 12 如图 11 35 所示 为求半径 R 0 5m 的飞轮 A 对于通过其重心轴的转动惯量 在 飞轮上绕以细绳 绳的末端系一质量为 m1 8kg 的重锤 重锤自高度 h 2m 处落下 测得 落下时间 t1 16s 为消去轴承摩擦的影响 再用质量为 m2 4kg 的重锤作第二次试验 此 重锤自同一高度落下的时间 t2 25s 假定摩擦力矩为一常数 且与重锤的重量无关 试求 飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩 图 11 35 v R mRJ mvR R v JmvRJLz 2 mgRMM z f z z M t L d d f 2 MmgRa R mRJ RMmgRamRJ f 2 RMmgR t h mRJ 2 f 2 2 h RtMmgR mRJ 2 2 f 2 第一次试验 22 165 0 5 08 5 08 2 f 2 Mg J 1 4 322 f MgJ 第二次试验 22 255 0 5 04 5 04 2 f 2 Mg J 2 2 125 781 f MgJ 6 1 2 f 125 4625 281Mg mN0238 6 f M 由 1 得 2 f mkg 6 10592 4 32 MgJ 11 13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为 J 以初角速度 w0绕其中心轴转动 见图 11 36 设空气阻力矩与角速度成正比 方向相反 即 M kw k 为比例系数 试求在阻力作 用下 经过多少时间角速度减少一半 在此时间间隔内叶轮转了多少转 图 11 36 刚体定轴转动微分方程 kM t J d d t J k d d t t J k 0 2 d d 0 0 t J k 2 1 ln 2ln k J t 11 14 两均质细杆 OC 和 AB 的质量分别为 50kg 和 100kg 在 C 点互相垂直焊接起来 若在图 11 37 所示位置由静止释放 试求释放瞬时铰支座 O 的约束力 铰 O 处的摩擦忽略 不计 图 11 37 ggggmgmMJ e zO 125 10025 15 0 21 F 150100 3 100 3 50 11002100 12 1 150 3 1 222 O J g g 6 5 150 125 质心运动定理 125 10025 5 0 212211 mmamamma yCyCCy 0 Cx ma e xCx Fma e yCy Fma Ox F 0 21 125WWFOy 0 Ox FgmgmFg Oy21 6 5 125 7 N449 6 275 6 5 125150 gggFOy 11 15 质量为 100kg 半径为 1m 的均质圆轮 以转速 n 120r min 绕 O 轴转动 如图 11 38 所示 设有一常力 F 作用于闸杆 轮经 10s 后停止转动 已知摩擦因数 0 1 试 求力 F 的大小 图 11 38 杆 05 35 10 N FFMO N 7 3 FF 圆轮 RFJO d R J F O dNd FF Rt J R JF F OO d N t mRnn Rt mR Rt J FF O 140 30 7 2 1 3 7 3 7 3 2 N N28 269 101 0140 1201100 11 16 如图 11 39 所示的带传动系统 已知主动轮半径为 R1 质量为 m1 从动轮半径 为 R2 质量为 m2 两轮以带相连接 分别绕 O1 和 O2轴转动 在主动轮上作用有力偶矩为 M 的主动力偶 从动轮上的阻力偶矩为 带轮可视为均质圆盘 带质量不计 带与带轮 M 间无滑动 试求主动轮的角加速度 图 11 39 主动轮 MRFFJO 11T2T1 1 从动轮 MRFFJO 22T1T2 2 即 1 11T2T1 2 11 2 1 RFFMRm 2 MRFFRm 21T2T2 2 22 2 1 因 1 2 2 1 R R 式 1 R2 2 R1 8 1221 2 2212 2 11 2 1 2 1 RMMRRRmRRm 1212 2 1212 2 11 2 1 2 1 RMMRRRmRRm 1212 2 121 2 1 RMMRRRmm 2 2 121 12 1 2 RRmm RMMR 11 17 如如图 11 40 所示 电绞车提升一质量为 m 的物体 在其主动轴上作用有一矩为 M 的主动力偶 已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动 惯量分别为 J1 和 J2 传动比 z2 z1 i 吊索缠绕在鼓轮上 鼓轮半径为 R 设轴承的摩擦 和吊索的质量均略去不计 试求重物的加速度 图 11 40 主动轴 MRFJ 1t11 1t21 RFMiJ 1 1t 1 RFMa R iJ 从动轴连重物 v R mRJ mvR R v JmvRJL O 2 2 222 2 mgRRFMO 2t 2 2 2 d d O M t LO 2 mgRRFa R mRJ 2t 2 2 式 1 R2 2 R1 121 2 2 2 1 mgRRMRaR R mRJ aR R iJ 上式除以 R1 mgRMia R mRJiJ 2 2 2 1 2 2 1 2 JiJmR RmgRMi a 11 18 半径为 R 质量为 m 的均质圆盘 沿倾角为的斜面作纯滚 如图 11 41 所示 9 不计滚动阻碍 试求 1 圆轮质心的加速度 2 圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数 图 11 41 1 圆盘的平面运动微分方程 e CC e yCy e xCx MJ Fma Fma F 1 FmgmaC sin 2 cos0 N mgF 3 FrJC 4 raC 由式 3 4 得 C maF 2 1 代入式 1 sin 3 2 gaC 由式 2 cos N mgF 2 cossin 3 1 sNs mgFmgF tan 3 1 s tan 3 1 mins 11 19 均质圆柱体 A 的质量为 m 在外圆上绕以细绳 绳的一端 B 固定不动 如图 11 42 所示 圆柱体因解开绳子而下降 其初速度为零 试求当圆柱体的轴心降落了高度 h 时 轴心的速度和绳子的张力 图 11 42 1 T FmgmaA RFJC T RF R a mR A T 2 2 1 2 T 2 1 FmaA 由式 1 2 得 gaA 3 2 mgF 3 1 T ghhghav AA 3 3 2 3 2 22 11 20 如图 11 43 所示 有一轮子 轴的直径为 50mm 无初速地沿倾角的轨 20 10 道滚下 设只滚不滑 5 秒内轮心滚过距离 s 3m 试求轮子对轮心的回转半径 图 11 43 与习题 11 18 类似 此处 2 mJC 1 FmgmaC sin 2 cos0 N mgF 3 FrJC 4 raC 由式 3 4 得 2 2 r a mF C 代入式 1 22 1 sin r g aC 而 2 2 1 tas C 24 0 5 322 22 t s aC 即 24 0 1 20sin 22 r g 1 24 0 20sin 22 g r mm02 909658 12251 24 0 20sin8 9 251 24 0 20sin g r 11 21 重物 A 质量为 m1 系在绳子上 绳子跨过不计质量的固定滑轮 D 并绕在鼓轮 B 上 如图 11 44 所示 由于重物下降 带动轮 C 沿水平轨道滚动而不滑动 设鼓轮半径为 r 轮 C 的半径为 R 两者固连在一起 总质量为 m2 对于其水平轴 O 的回转半径为 试求重物 A 的加速度 图 11 44 重物 A T11 Fgmam A 1 A amgmF 11T 鼓轮 B 和轮 C FRrFJ OO T 2 FRrF rR a m A T 2 2 FFam O T2 3 FFR rR a m A T2 由式 2 3 消去 F 得 11 RFrFR rR a m rR a m AA TT 2 2 2 2 T 22 2 rRF rR R am A 将式 1 代入上式 11 22 2 rRamgm rR R am AA 11 22 2 rRgmrRam rR R am AA 22 2 2 1 2 1 RmrRm rRgm aA 11 22 半径为 r 的均质圆柱体质量为 m 放在粗糙的水平面上 如图 11 45 所示 设其 中心 C 的初速度为 v0 方向水平向右 同时圆柱如图所示方向转动 其初角速度为 w0 且 有 rw0 v0 如圆柱体与水平面的摩擦因数为 问经过多少时间 圆柱体才能只滚不滑地 向前运动 并求该瞬时圆柱体中心的速度 图 11 45 由 mgFFmaC N 得 gaC 由 FrJC mgrmr 2 2 1 得 r g 2 gtvtavv CC 00 t r g t 2 00 纯滚时 rvC 即 gtrgtv 2 00 gtrv 3 00 g rv t 3 00 3 2 00 0 rv gtvvC 11 23 如图 11 46 所示 长为 l 质量为 m 的均质杆 AB 一端系在细索 BE 上 另一端放 在光滑平面上 当细索铅直而杆静止时 杆对水平面的倾角 f 45 现细索突然断掉 试 求杆 A 端的约束反力 12 图 11 46 细索突然断掉瞬时 0 质心运动守恒 C 点沿铅垂线向下运动 基点法 以 A 为基点 分析 C 点 n CACAAC aaaa 0 n CA a CAAC aaa 1 cos CAC aa 平面运动微分方程 2 C maGF N 3 cos 2 12 1 N 2 l Fml 由式 1 代入式 2 得 cos 2 N l mmgF 再代入式 3 得 l g l gl cos31 cos6 cos 4 1 12 1 cos 2 2 22 由 3 得 2 N cos31cos6 mgml F 当时 45 mgF 5 2 N 11 24 如图 11 47 所示的均质长方体质量为 50kg 与地面间的动摩擦因数为 0 2 在力 F 作用下向右滑动 试求 1 不倾倒时力 F 的最大值 2 此时长方体的加速度 图 11 47 长方体平动 0 平面运动微分方程 1 C maFF d 5 4 2 0 5 3 N mgFF 3 150 300150 5 3 300 5 4 0 Nd dFFFF 5 3 Nd FmgFF 临界状态 0 d 由式 3 得 0150300150 Nd FFF 13 02 Nd FFF 0 21 N FF 0 5 3 21 FmgF 0 21 5 3 21 1 mgF N18 216 36 1 6 0 5 3 4 01 1 4 01 5 3 21 1 21 mgmgmg F 此时 5 3 d FmgF 由式 1 得 50 8 9502 0 2 21692 0 2 092 0 5 3 5 4 5 4 d m mgF m FmgF m FF aC 2 m s02 2 C a 11 25 如图 11 48 所示的均质长方形板放置在光滑水平面上 若点 B 的支承面突然移 开 试求此瞬时点 A 的加速度 图 11 48 点 B 的支承面突然移开 0 质心运动守恒 C 点沿铅垂线向下运动 基点法 以 A 为基点 分析 C 点 n CACAAC aaaa 0 n CA a CAAC aaa cos CAC aa ACaCA 故 1 2 cos l ACaC 平面运动微分方程 2 AC Fmgma 3 2 12 1 22 l Fblm A 由式 1 代入式 2 得 2 l mmgFA 再代入式 3 得 2 2 12 1 22 ll mmgblm 14 22 2224 6 4 1 12 1 2 bl gl mlblm mgl 22 2 4 3 2bl gll aC 2222 2 4 3 4 3 tan bl glb l b bl gl aa CA 11 26 均质细长杆 AB 质量为 m 长为 l CD d 与铅垂墙间的夹角为 D 棱是光 滑的 在图 11 49 所示位置将杆突然释放 试求刚释放时 质心 C 的加速度和 D 处的约束 力 图 11 49 1 e xCx Fma cos DCx Fma 2 e yCy Fma mgFma DCy sin 3 e CC MJF dFml D 2 12 1 基点法 以 D 为基点 分析 C 点 n DCDDCDCDC aaaaaa 0 n DC a 4 cossin CDDCx aaa 5 sincos CDDCy aaa 由 3 得 6 d ml FD 12 2 将式 4 5 6 代入 1 2 cos 12 cossin 2 d ml aam CDD mg d ml aam CDD sin 12 sincos 2 即 cos 12 cossin 2 d ml aam CDD mg d ml aam CDD sin 12 sincos 2 7 cot 12 cot 2 d l aa CDD 8 cos tan 12 tan 2 g d l aa CDD 7 8 得 15 cos cot tan 12 cot tan 2 g d l aCD daCD 222 12 sin12 cot tan 12 cos ld dg d l d g 代入 3 得 22 2 12 sin ld mgl FD 由 1 得 22 2 12 cossincos ld gl m F a D Cx 由 2 得 g ld ld m mgF a D Cy 22 222 12 cos12sin 11 27 均质圆柱体 A 和 B 的质量均为 m 半径均为 r 一绳缠在绕固定轴 O 转动的圆柱 A 上 绳的另一端绕在圆柱 B 上 如图 11 50 所示 摩擦忽略不计 试求 1 圆柱体 B 下 落时质心的加速度 2 若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向 矩为 M 的力偶 试问在什么条 件下圆柱体 B 的质心加速度将向上 图 11 50 1 圆柱体 A rFJ AOT rF r a mr A T 2 2 1 1 T 2 1 FmaA 圆柱体 B rFJ BBT rF r aa mr AB T 2 2 1 2 T 2 1 Faam AB 3 T FmgmaB 式 1 2 得 T 2 2 1 FmaB 4 T B ma F 16 代入式 3 得 gaB 5 4 2 圆柱