山东省冠县武训高级中学高二数学 33 第1课时 基本不等式复习导学案 新人教A版(1).doc

山东省冠县武训高级中学2014高二数学 3-3 第1课时 基本不等式复习导学案 新人教a版第1课时基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非负数，那么,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,br,那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取）.证明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,当ab时，（a-b）20；当a=b时，（a-b）20.所以（a-b）20,即a2+b22ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆，在直径ab上取点c，使ac=a,cb=b.过点c作垂直于直径ab的弦dd，连结ad、db，易证rtacdrtdcb,则cd=cacb,即cd=.这个圆的半径为，显然，它大于或等于cd，即，其中，当且仅当点c与圆心重合，即a=b时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式（a0,b0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于a2+b22ab和（a,b0）（1）两个不等式：a2+b22ab与成立的条件是不同的，前者要求a,b都是实数，后者则要求a,b都是正数.如：（-3）2+（-4）22（-3）（-4）是成立的，而是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个不等式：a2+b22ab，都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b时取”这句话的含义是“a=b”时，a2+b22ab，中只有等号成立，反之，若a2+b22ab, 中的等号成立时,必有“a=b”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值利用基本不等式，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值;（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2.证明：x,y都为正数，(1)和式为定值s时，有， xys2.上式当“x=y”时取“”号，因式当x=y时，积xy有最大值s2；(2)积式xy为定值p时，有,x+y2.上式当“x=y”时取“”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2.注意：（1）在应用均值不等式求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时号成立的条件一致时，“”才会取得，否则将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数，那么，当且仅当时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有，即若a0,b0,且a+b=m,m为定值，则ab，等号当且仅当a=b时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有，即若a0,b0,且ab=p,p为定值，则a+b,等号当且仅当a=b时成立.答案1. a=b2.(1)最大值 (2)最小值2思路方法技巧命题方向利用基本不等式比较代数式的大小例1已知0a1,0b0,b0,a+b2,a2+b22ab,四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又0a1,0b1,a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b-1)0,a2+b22),n=22-b2 (b0),则m、n的大小关系是（）a.mnb.m2,a-20,又m=a+=(a-2)+ +2+2=4,当且仅当a-2=,即（a-2）2=1,又a-20，a-2=1,即a=3时取等号.m4.b0,b20,2-b22,22-b24,即nn.命题方向利用基本不等式求最值例2（1）若x0，求函数f(x)= +3x的最小值；（2）若x0,可得0,3x0.又因为3x=36为定值，且=3x(x0)时，x=2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x0，得0,3x0,-3x0,所以对 (-)+(-3x)可利用基本不等式求最值.解析（1）因为x0，所以0,3x0,所以f(x)= +3x2=2=12.当且仅当=3x,即x=2时，等号成立.所以当x=2时，f(x)取得最小值12.（2）因为x0,所以-f(x)= (-)+(-3x)2=12,所以f(x)-12 .当且仅当-=-3x,即x=-2时，等号成立.所以当x=-2时，f(x)取得最大值-12.说明利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解.变式应用2设x0，求y=2-x-的最大值.解析x0,x+2=4,y=2- (x+)2-4=-2.当且仅当x=，即x=2时等号成立，y取最大值-2.例3（1）已知x，求函数y=4x-2+的最大值；（2）已知0x,求函数y=x(1-3x)的最大值.分析此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值.解析（1）因为x，所以4x-50,所以y=4x-2+=- (5-4x+)+3.因为5-4x+2=2,所以y-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立，所以当x=1时，函数y取得最大值1.（2）因为0x0,所以y=x (1-3x)= 3x(1-3x) 2=.当且仅当3x=1-3x,即x=时等号成立，所以当x=时，函数y取得最大值.说明解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x-2拼凑成4x-5.(2)中将x拼凑成3x,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值.变式应用3求函数y=+x(x3)的最小值.解析y=+x=+(x-3)+3,x3,x-30,+(x-3)2=2,当且仅当=x-3,即x-3=1,x=4时，等号成立.当x=4时，函数y=+x(x3)取最小值2+3=5.命题方向利用基本不等式解决有关实际应用问题例4某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（500），则s=2500.当且仅当t=，即t=10时取等号，此时x=60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.说明1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值；（4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值.变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为q (x0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150”与“年广告费的50”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润p（万元）表示为年广告费x(万元)的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析（1）p=(32q+3)150x50%-(32q+3)-x=-+49.5(x0)；（2）p- ()+49.5-24+49.5=41.5,当且仅当x=时，即x=8时，p有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答例5已知a0,b0,且+=1,求a+b的最小值.误解a0,b0+2=6,61，ab36.a+b212.a+b的最小值为12.辨析上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为+,即b=9a,第二次等号成立的条件为a=b，故a+b取不到最小值12.正解a0,b0，+1，a+b=(+)(a+b)=1+9+10+2=10+2316.当且仅当，即b2=9a2时等号成立.解得a=4,b=12.故当a=4,b=12时，a+b取最小值16.课堂巩固训练一、选择题1.已知ab0，则的取值范围是（）a.（2，+）b.2，+)c.(4，+) d.4，+)答案b解析ab0,0, 0,2=2.当且仅当，即a=b时，等号成立.2.不等式a2+44a中等号成立的条件是（）a.a=2b.a=2c.a=-2d.a=4答案b解析因为a2-4a+4=(a-2) 20,当且仅当a=2时取“”，所以a=2.3.如果a,b满足0ab,a+b=1,则,b,2ab,a2+b2中值最大的是（）a. b.ac.2abd.a2+b2答案d解析解法一：0a2a,a2,ab1-=,即a2+b2.解法二：特值检验法：取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,a2+b2最大.二、填空题4.若x0,则x+的最小值为.答案2解析x0,x+2=2,当且仅当x=,即x=时，等号成立.5.x,yr,x+y=5,则3x+3y的最小值是.答案18解析3x0,3y0.3x+3y2=2=2（）518,当且仅当x=y=时等号成立.课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（）a.y=x+b.y=sinx+,x (0,)c.y=d.y=+答案d解析a中，不满足正数这一条件；b中，x (0, ),sinx(0,1),等号不成立；c中，y=+,当=时，x2+2=1,x2=-1(不成立)；d中0,y=+2,当且仅当=,即x=1时，取最小值2.2.a,br+，则,，三个数的大小顺序是（）a. b. c. d. 答案c解析解法一：取a=2,b=8,则=5，=4，=3.2,选c.解法二：已知，又-=0.也可作商比较1.3.(2011上海理，15)若a,br，且ab0,则下列不等式中，恒成立的是（）a.a2+b22abb.a+b2c. d.2答案d解析本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.用排除法：a:a=b时不满足；b:a0,b0时不满足；c:a0,b0, 0, +2=2.4.设x+3y=2,则函数z=3x+27y的最小值是（）a. b.2c.3d.6答案d解析x+3y=2,x=2-3y.z=3x+27y=32-3y+27y+27y26，当且仅当=27y,即27y=3,33y=3,3y=1,y=.即x=1,y=时，z=3x+27y取最小值6.5.某工厂第一年产量为a,第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则（）a.x= b.xc.x d.x答案 b解析 这两年的平均增长率为x，a(1+x) 2=a(1+a)(1+b)，(1+x) 2=(1+a)(1+b),由题设a0,b0.1+x=1+，x.等号在1+a=1+b即a=b时成立.6.若x4，则函数y=x+（）a.有最大值-6 b.有最小值6c.有最大值-2 d.有最小值2答案 b解析 x4,x-40,y=x-4+42+46.当且仅当x-4=，即x-4=1，x=5时，取等号.7.若ab1,p=,q= (lga+lgb),r=lg (),则（）a.rpq b.pqrc.qpr d.pr0,b0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）.ab1；;a2+b22;a3+b33;2.答案解析ab()2=()2=1,成立.欲证,即证a+b+22，即20,显然不成立.欲证a2+b2=（a+b）2-2ab2,即证4-2ab2,即ab1,由知成立.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)3a2-ab+b2 (a+b) 2-3ab4-3abab,由知，ab不恒成立.欲证+2,即证2,即证ab1,由知成立. 11.(2010山东文)已知x，yr+，且满足=1，则xy的最大值为.答案3解析x0,y0,且1=2,xy3,当且仅当,即x=,y=2时，等号成立.12.(2011浙江文，16)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是答案解析题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力.由x2+y2+xy=1可得，（x+y）2=xy+1而由均值不等式得xy（）2（x+y）2（）2+1整理得，（x+y）21x+y-，x+y的最大值为.三、解答题13.设实数a使a2+a-20成立，t0，比较logat与loga的大小.解析a2+a-20,a-2或a1，又a0且a1,a1，t0,logaloga=logat,logatloga .14.已知a0,b0,a,b的等差中项是,且=a+，=b+,求+的最