【优化探究】高考数学 77 立体几何中的向量方法提素能高效训练 新人教A版 理 (1).doc

【优化探究】2015高考数学 7-7 立体几何中的向量方法提素能高效训练 新人教a版 理 a组基础演练能力提升一、选择题1若直线l的一个方向向量为a(2,5,7)，平面的一个法向量为u(1,1，1)，则()al或lblcl dl与斜交解析：au2151(1)70，l或l.答案：a2.如图，e、f分别是三棱锥pabc的棱ap、bc的中点，pc10，ab6，ef7，则异面直线ab与pc所成的角为()a30 b45c60 d90解析：取ac的中点d，连结de、df，则edf或其补角为ab与pc所成的角，利用余弦定理可求得edf120，所以异面直线ab与pc所成的角为60.故选c.答案：c3.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别在a1d、ac上，且a1ea1d，afac，则()aef至多与a1d、ac之一垂直bef是a1d、ac的公垂线cef与bd1相交def与bd1异面解析：设ab1，以d为原点，da所在直线为x轴，dc所在直线为y轴，dd1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则a1(1,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，f，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而efbd1，efa1d，efac，故选b.答案：b4.如图所示 ，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos ，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为()a(1,0,1)b(1,1,1)c(2,1,1) d(2,0,1)解析：设pda，则a(2,0,0)，b(2,2,0)，p(0,0，a)，e，(0,0，a)，由cos ，a ，a2.e的坐标为(1,1,1)答案：b5.如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd2，ad，e是sd上的点则二面角casd的余弦值为()a. b.c. d.解析：如图，以d为原点建立空间直角坐标系dxyz.则d(0,0,0)，a(，0,0)，b(，0)，c(0，0)，s(0,0,2)，设e(0,0，m)(0m2)，得(，0，2)，(0，2)设平面acs的一个法向量为n(x，y，z)，则即取z，得n(2,2，)易知平面asd的一个法向量为(0，0)设二面角casd的大小为，则cos .即二面角casd的余弦值为.答案：d6.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a.b.c2d.解析：如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面b1cd的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a,1，1)，又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos 60，得，即a，故ad.答案：a二、填空题7在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为_解析：设正方体的棱长为2，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：8(2014年金华模拟)p是二面角ab棱上的一点，分别在，平面上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_解析：不妨设pma，pnb，如图，作meab于e，nfab于f.epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角ab的大小为90.答案：909已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点p在线段bd1上当apc最大时，三棱锥pabc的体积为_解析：以b为坐标原点，ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设，可得p(，)，再由cosapc可求得当时，apc最大，故vpabc11.答案：三、解答题10.(2013年高考山西卷)如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，abaa1.(1)证明：a1c平面bb1d1d；(2)求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小解析：(1)证明：证法一由题设易知oa，ob，oa1两两垂直，以o为原点建立直角坐标系，如图abaa1，oaoboa11，a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，d(0，1,0)，a1(0,0,1)由，易得b1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，a1cbd，a1cbb1，a1c平面bb1d1d.证法二a1o平面abcd，a1obd.又底面abcd是正方形，bdac，bd平面a1oc，bda1c.又oa1是ac的中垂线，a1aa1c，且ac2，ac2aaa1c2，aa1c是直角三角形，aa1a1c.又bb1aa1，a1cbb1，a1c平面bb1d1d.(2)设平面ocb1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面bb1d1d的法向量，cos |cos n，|.又0，.11如图(1)，四边形abcd中，e是bc的中点，db2，dc1，bc，abad.将图(1)沿直线bd折起，使得二面角abdc为60，如图(2)(1)求证：ae平面bdc；(2)求直线ac与平面abd所成角的余弦值解析：(1)证明：取bd的中点f，连接ef，af，则af1，ef，afe60.由余弦定理知ae，ae2ef2af2，aeef，又bd平面aef，bdae，ae平面bdc.(2)以e为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a，c，b，d设平面abd的法向量为n(x，y，z)，由得，取z，则y3，n(0，3，)，cosn，.故直线ac与平面abd所成角的余弦值为.12(能力提升)(2014年济宁模拟)如图，已知平行四边形abcd和平行四边形acef所在的平面相交于直线ac，ec平面abcd，ab1，ad2，adc60，af.(1)求证：acbf；(2)求二面角fbda的余弦值解析：(1)证明：cdab1，ad2，adc60，ac，cd2ca2ad2，cdca.又ec平面abcd，故以cd为x轴，ca为y轴，ce为z轴建立空间直角坐标系，其中c(0,0,0)，d(1,0,0)，a(0，0)，f(0，)，b(1，0)(0，0)，(1,0，)，(1，)，(2，0)0，acbf.(2)平面abd的一个法向量n(0,0,1)，设平面fbd的法向量m(x，y，z)，由得，令z1得，m(，2,1)，cosm，n.故所求二面角fbda的余弦值为.b组因材施教备选练习1.(2013年高考重庆卷)如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，bccd2，ac4，acbacd，f为pc的中点，afpb.(1)求pa的长；(2)求二面角bafd的正弦值解析：(1)如图，连接bd交ac于o，因为bccd，即bcd为等腰三角形，又ac平分bcd，故acbd.以o为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz，则occdcos1，而ac4，得aoacoc3，又odcdsin，故a(0，3,0)，b(，0,0)，c(0,1,0)，d(，0,0)因pa底面abcd，可设p(0，3，z)，由f为pc边中点，f.又，(，3，z)，因afpb，故0，即60，z2(舍去2)，所以|2.pa的长为2.(2)由(1)知(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)设平面fad的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面fab的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos n1，n2.故二面角bafd的正弦值为.2.(2014年石家庄质检)如图，已知三棱柱abca1b1c1，侧面bcc1b1底面abc.(1)若m、n分别是ab、a1c的中点，求证：mn平面bcc1b1；(2)若三棱柱abca1b1c1的各棱长均为2，侧棱bb1与底面abc所成的角为60，问在线段a1c1上是否存在一点p，使得平面b1cp平面acc1a1？若存在，求c1p与pa1的比值，若不存在，说明理由解析：(1)证明：连接ac1、bc1，则annc1，因为ammb，所以mnbc1.又bc1平面bcc1b1，mn平面bcc1b1，所以mn平面bcc1b1.(2)作b1obc于o点，连接ao，因为平面bcc1b1底面abc，所以b1o平面abc，以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，0)，b(1,0,0)，c(1,0,0)，b1(0,0，)由，可求出