山东省冠县武训高级中学高二数学 8.2 椭圆的简单几何性质同步辅导教材1.doc

8.2 椭圆的简单几何性质一、 本章主要内容8.2 椭圆的简单几何性质课本第97页至第103页二、 本讲主要内容1、 椭圆的第二定义（圆锥曲线的统一定义）；2、 椭圆的简单几何性质；3、 椭圆的参数方程。三、 学习指导 1、根据曲线的条件求出其对应的方程，根据曲线的方程特征研究它的几何性质，是解析几何的基本问题。前者是手段，后者是目的。本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点，以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导出来的。2、两个定义的统一性。教材p.100例4是椭圆的第二定义（它同时又是圆锥曲线的统一定义），它与第一定义是统一的。联系如下：教材第93页自上而下第七行为： 接下来作如下整理： 表示动点m与右焦点f2的距离表示直线到点m的距离图见课本第100页例4图，用文字语言表述，即为第二定义当涉及到椭圆上的点到焦点距离时，通常用第一或第二定义去转化，降低运算量。利用第二定义可得焦半径（焦点与椭圆上点连线长度）：设椭圆上点p坐标为（x0,y0）当焦点在x轴上时，左焦半径r=a+ex0 右焦半径r=a-ex0当焦点在y轴上时，上焦半径r=a+ey0 下焦半径r=a-ey0注：当点p为长轴端点时，焦半径分别取得最大和最小值4、 椭圆的性质 （1）几何性质：位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；对称性（具有轴对称和中心对称）数量关系：主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c，2a，2b；两准线之间距离为；焦点到对应准线距离（焦准距等等）离心率：，0eb0） （ab0）焦点：（c，0） （0，c）顶点：（a，0），（0，b） （0，a），（b，0）准线：x= y=4、直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相交、相切，与直线和圆的位置关系类似。判断方法是判别式（法）。当直线与椭圆相交时，设直线l与椭圆（ab0）相交于a、b两点，ab中点为m（x0，y0），对于与中点有关的问题通常有两种途径：（1） 列方程用韦达定理；（2）点差法，有结论：。 不管是哪一种途径，都体现了设而不求的思想。5、 椭圆（ab0）的参数方程为（为参数）； 椭圆（ab0）的参数方程为（为参数）。四、 典型例题 例1、定点a（-1，1），b（1，0），点p在椭圆上运动，求|pa|+2|pb|的最小值。解题思路分析：如果试图用距离公式建立函数关系，从而求最小值，显然是行不通的。注意到b（1，0）是焦点，因此用定义转化2|pb|设右准线l：=4过p作phl，h为垂足则 ， |ph|=2|pb| (|pa|+2|pb|)min=(|pa|+|ph|)min a、l分别为定点与定直线 过a作ah0l，交椭圆于p0，h0为垂足，则点p0为所求的点 (|pa|+|ph|)min=|ah0|=5注：实际上，|pa|+2|pb|=|pa|+|pb|。对于与焦半径及离心率有关的问题，一般用椭圆的第二定义转化。例2、过椭圆的左焦点f作倾斜角为的弦mn，若弦长不大于短轴长，求cos的取值范围。解题思路分析：本题cos范围所对应的不等关系很明显：|mn|2b=4，关系是如何求|mn|，焦半径的原理就是椭圆的第二定义。设直线mn：，代入得(1+4k2)x2+16k2x+16(3k2-1)=0 焦点f在椭圆内部 该方程判别式0恒成立设m（x1，y1），n（x2，y2）则 x1+x2= 又|mn|=|mf|+|nf|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=8+(x1+x2) 8+(x1+x2)4 x1+x2 由得：化简得：k2，即 注：当直线与椭圆相交时，对于交点，一般都用设而不求的思想处理。途径一就是本例的模型；列方程组，用韦达定理。另一种常用途径见下例。例3、焦点在x轴上的椭圆c的一顶点为b（0，-1），右焦点到直线m：x-y+=0的距离为3，（1） 求c的方程； （2）是否存在斜率k0的直线l与c交于两点m、n，使|bm|=|bn|？若l存在，求出k的取值范围；若l不存在，注明理由。解题思路分析：（1） 设椭圆方程为（ab0） 则b=1，右焦点f（c，0） c=（舍），或c= c2=2，a2=b2+c2=3 椭圆c的方程为思路一：设m（x1，y1），n（x2，y2），mn中点p（x0，y0）则 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0显然x1x2，等式两边同除以x1-x2得：即kmn= k=又 kbp=由得： 点p在椭圆内 化简得：k21 -1k0得： 3k2-b2+10 此不等式即为所求k的取值范围k与b的关系，或者说用b表示k的等式通过|bm|=|bn|来体现。如何转化|bm|=|bn|则为本解法的难点。用平面几何性质。取线段mn中点q，则bqmn，。设m（x1，y1），n（x2，y2），mn中点q（x0，y0）则 bqmn 代入得： 3k2+10 3k2+14 k21 k0 -1k0，或0k1注：1、本题思路一的方法称为点差法。一般步骤是设出直线与二次曲线的交点坐标，将此点坐标代入二次曲线方程，再将两个等式作差，找到弦中点与斜率的关系。2、 思路二的难点是转化|bm|=|bn|。这里用了平面几何的性质。同学们在解题过程中应充分数形结合，简化计算。不管是哪一种思路，都体现了设而不求的思想。例4、椭圆，动点p（x，y）与定点a（a，0）（0a3）的距离最小值是1，求a的值。解题思路分析：本题应从如何求|pa|的最小值着手，即寻找|pa|取得最小值的过程，而不是直接利用结论：|pa|min=1。用两点间距离公式建立函数关系设点p（3cos，2sin）则 |pa|2=(3cos-a)2+(2sin)2 =5cos2-6acos+a2+4令t=cos，|pa|2=f(t)，则t-1，1 f(t)=5(t-a)2-a2+4 0a3 0a（1） 当0a1，0a时，f(t)在-1，1上递减 (f(t)min=f(1)=a2-6a+9 a2-6a+9=1 a=2，或a=4（舍）综上所述，当a=2时，椭圆上点p（3，0）到定点a距离的最小值为1。例5、点p位于第一象限且在椭圆（ab0)上，o为坐标原点，a（a，0），b（0，b），求四边形oapb面积的最大值，并求此时p点坐标。解题思路分析：因无法直接用公式求四边形oapb的面积，故考虑对四边形oapb分割途径一：连op，则soapb=sopb+sopa设p(acos，bsin)，（0，），则 sopb=bacos，sopa=absin soapb=ab(sin+cos)当=，p（）时，(soapb)max=途径二：连ab，则soapb=soab+sapb=ab+sabp,下求sapb的最值。又sapb= 欲求sapb的最大值，只要求点p到ab距离的最大值设p（acos，bsin）,(0，)直线ab：，即bx+ay-ab=0 点在直线ab上方 bacos+absin-ab0 当=时，h取到最大值 注：1、在分割的过程中，应尽量向已知量靠拢。就本题来说，在关于目标函数面积的二元变量底边长及对应的高中，尽可能使得其中一个变量如常数，如途径一中分别以|oa|、|ob|为底边长。2、在途径二中求点p到直线ab的距离最大时，也可用平移方法。平移ab与椭圆弧相切时，则切点为所求点p，用=0用点p坐标。六、同步练习（一） 选择题1、 常数a0，椭圆x2+a2y2=2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为a、 b、3 c、3或 d、2、中心在原点，焦点在x轴的椭圆，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴分成三等分，则此椭圆方程是a、 b、 c、 d、3、直线y=kx+1与椭圆总有公共点，则m取值范围是a、m1 b、m1，或0m1 c、0m0 b、0m1 d、m0且m15、椭圆上有一点p，它到左准线的距离等于，那么点p到右焦点的距离为a、8 b、 c、 d、6、椭圆x2+4y2=4的准线方程是a、 b、 c、 d、7、从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率e为a、 b、 c、 d、8、椭圆(1-m)x2-my2=1的长轴长为a、 b、 c、 d、9、当kb0）相交于a、b两点，若f（c，0）是椭圆的右焦点，则fab的最大面积是_。 13、已知椭圆上一点p到两焦点的距离之积为m，则当m最大时，点p坐标为_。14、已知椭圆x2+2y2-2=0的两焦点为f1、f2，b为短轴的一个端点，则bf1f2的外接圆方程是_。15、若椭圆方程为x2+my2=1，离心率e=，则它的长半轴长为_。（三） 解答题16、面积为1的pmn中，tanpmn=，tanpnm=-2，建立适当的坐标系，求出以m、n为焦点，且过点p的椭圆方程。17、如图，已知曲线4x2+9y2=36（x0，y0），点a在曲线上移动，点c（6，4），以ac为对角线作矩形形abcd，使abx轴，ady轴，求矩形abcd的面积最小时，点a坐标。18、f1、f2是椭圆4x2+5y2=20的两个焦点，过f1作倾斜角为450的弦ab，求f2ab的周长和面积。19、已知椭圆（ab0），a、b是椭圆上两点。线段ab的中垂线与x轴交于点p（x0，0），求证： 20、过点p（4，1）作直线l交椭圆于点a（x1,y1），b(x2,y2)(x1x2)，在直线ab上取点q，使，求点q轨迹方程。七、参考答案（一） 选择题1、c。 椭圆方程，当2a，a1时，a=3；当2a时，0a，4m2-3m-10，m1，或m（舍）5、a。 设左焦点分别为f1、f2，a2=25，b2=9，c2=16，e=,|pf1|=2，|pf2|=2a-|pf1|=86、c。 标准方程为，a2=4，b2=1，c2=3，焦点在x轴上，准线x=7、d。 如图，=600，a=b，c2=a2-b2=2b2，c=b，e=8、c。 椭圆标准方程为，m-m0，9、d。 k0，4-k0，9-k4-k，c2=(9-k)-(4-k)=5，c=，焦点（，0）10、a。 ，b=（二） 填空题11、 1 焦点在y轴上，a2=9，b2=m+4，c=，由得m=112、 bc 当ab为短轴时，a、b纵坐标的绝对值最大，13、（0，3），（0，-3） a2=25，b2=9，a=5，b=3，c=4，e=，设p（x0，y0），则m=(a+ex0)(a-ex0)=25-x0225，当且仅当x0=0时，m取得最大值，此时y0=314、 x2+y2=1 a2=2，b2=1，c2=1，|bf1|2+|bf2|2=a2+a2=2a2=4=(2c)2，f1bf2=900，f1bf2外接圆圆心为原点o，r=c=115、 1或2 椭圆标准方程，当时，b=1，c=代入得m=，a=，当时，a=1（三） 解答题16、 解以mn所在直线为x轴，线段mn中垂线为y轴建立平面直角坐标系设p（x0，y0），则， 又 ， 2a=|pm|+|pn|= ，b2=3 椭圆方程17、 解：设a（3cos，2sin）,（0，）则b（6，2sin），c(6,4),d(3cos，4) sabcd=|ab|ad|=（6-3cos）(4-2sin) =24-12（sin+cos）+6sincos令t=sin+cos，则t（1，sincos=sabcd=3(t-2)2+9当t=时，smin=27-，此时，a（）18、 解：椭圆标准方程为，a=，b=2，c=1（1） 由定义：|af1|+|af2|=2a，|bf1|+|bf2|=2a |af2|+|bf2|+|ab|=|af1|+|af2|+|bf1|+|bf2|=4a=（2） 设直线ab：y=k(x-c)由9y2-8y-16=0设a（x1，y1），b（x2，y2）则 |y1-y2|= 19、 证明：设a（x1，y1），b（