山东省冠县武训高级中学高二数学 6.4 不等式的解法举例同步辅导教材.doc

6.4 不等式的解法举例一、本讲进度 6.4 不等式的解法举例 课本第17页至第19页二、本讲主要内容常见类型的不等式的解法三、学习指导1、求不等式的解就是研究条件不等式成立的条件，或者说求出使不等式成立的变量的取值范围。在解不等式过程中，每次对不等式进行变形都要保持前后不等式同解。不等式的同解原理是解不等式的理论根据，主要内容有： （1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后，所得不等式与原不等式是同解不等式。2、解一元二次不等式（组），一元二次不等式（组）是解其它不等式（组）的基础。熟练掌握逻辑联结词“或”“且”的含义及集合的“并”“交”运算是解不等式的关键。应充分利用数轴及二次函数图象等工具，体现数形结合思想。解高次不等式及有理分式不等式，用序轴标根法。解无理不等式，通过去根号把它同解变形为有理不等式（组）。解绝对不等式，通过平方法、零点分段讨论法、绝对值的意义等去掉绝对值符号。对于|x-a|+|x-b|c型的不等式，还可借助绝对值表示的几何意义求解。超越不等式，通过函数单调性的性质求解。3、含字母问题，应选择正确的分类标准合理地进行讨论。四、典型例题 【例1】 解不等式：x2-(a+a2)x+a30。解题思路分析：因x2-(a2+a)x+a3=(x-a)(x-a2)，不等式解的一般形式为两根a与a2之间，下面比较a与a2大小。a-a2=a(1-a)当a=0或a=1时，a=a2，原不等式为x20，或(x-1)20，不等式无解当0a0，aa2， 不等式解为a2x1或a0时，a(1-a)0，aa2，不等式解为ax0。解题思路分析：首先对二次项系数a讨论，以确定不等式的类型：当a=0时，原不等式为4x+40，x-1。当a0时，不等式为二次不等式，其解的情况应考虑判别式=16-16a=16(1-a)及二次项系数a的符号这两个因素，也就是讨论的标准为a与1与0的大小比较。当a1时，不等式可化为 =，不等式的解为r当0a0，解的形式为两根之外，求得方程两根为，不等式的解为，或。当a0，解的形式为两根之间，不等式的解为，注意此时两根大小已改变。当a=1时，原不等式可化为x2+4x+40，(x+2)20 x-2注：含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为0，判别式的符号，两根的大小关系。在判别式0时，应注意区别不等式的解是r或。关于不等式解的一般形式是两根之间还两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号方向为大于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间。通常将二次项系数化为常数。 【例3】 已知不等式组的整数解的集合是-2，求实数k的取值范围。解题思路分析：不妨记a=x|2x2+(2k+5)x+5k0=x|(x+k)(2x+5)0，b=x|x2。 -2a (-2+k)(-4+5)0 k2 再考虑单元素集-2在整数集中的唯一性显然，若-k-，则a=x|-kx-，a=x|-x-k结合数轴分析，数-k在数轴上对应的点向右可运动到3对应的点为止即 3 -3k 由得：-3k1）。解题思路分析： （1）这是一个高次不等式，第一步可通过换元的途径转化为二次问题 (x+5)(x-4)=x2+x-20 (x+2)(x-1)=x2+x-2含未知数的项x2+x为公共项 可令x2+x=t则 (t-20)(t-2)-80 t2-22t+1200 (t-10)(t-12)0 (x2+x-10)(x2+x-12)0第二步再分解二次因式： 0利用序轴标根法可得不等式解为： -4x，或x3注：也可令x2+x-2=u，或x2+x-11=v，此时不等式可化为(v-9)(v+9)-80，v21，-1v1，此时更加简捷一些。 （2）移项、通分得： 由m1得 ， 由序轴标根法：原不等式的解为： ，或0x0，2，+35，0t若，-2，1，t2 函数值域为0，+） 【例6】 某地区上年度电价为每千瓦时0.8元，年用电量为a千瓦时，本年度计划将电价降到每千瓦时0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为每千瓦0.4元。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力成本价为每千瓦0.3元，设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？解题思路分析：解决实际应用题，首先要理清数量之间关系，如本题：收益 = 实际用电量(实际电价-成本价)。其次，将关键文字语言转换成适当的数学模型，如“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比”翻译为数学模型就是“设实际电价为x，则新增用电量=”，“电力部门的收益比去年至少增长20%”翻译为数学模型就是“本年度收益，去年收益(0.8-0.3)a，(0.8-0.3)a(1+20%)”。令 k=0.2a，解不等式： (0.8-0.3)(1-20%)a即 x2-1.1x+0.30得：x0.6，或x0.5又 0.55x0.75 x=0.6五、同步练习 （一）选择题 1、设命题甲：0x5，命题乙：|x-2|3，则a、甲是乙的充分非必要条件 b、甲是乙的必要非充分条件c、甲是乙的充要条件 d、甲既不是乙的充分条件也不是必要条件2、不等式组的解集是a、x|0x2| b、x|0x2.5 c、x|0x d、x|0xb，关于x的不等式的解集是a、x|xa b、x|xbc、x|bxa d、x|-axb5、不等式解集是a、x|2x4 b、x|2x2 d、x|0x46、已知关于x的不等式的解集为（0，3，则实数k的取值范围是a、k0 b、k0 c、0k3 d、-7、已知loga(a2+1)loga2a0，则a的取值范围是a、0a1 b、a1 c、0a0且a18、已知x|ax2+bx+c0=(-,2)，则关于x的不等式cx2+bx+a0 d、010、函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4定义域为r，值域为（-，0，则实数a的取值范围是a、（-，2 b、（-，-2） c、-2 d、）-2，2） （二）填空题11、不等式的解集为_。12、不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)120的解是_。13、当不等式2x2+px+106中恰有一个解时，实数p的值是_。14、若2+sin（r）恒成立，不等式的解集是_。15、不等式lgx2(lgx)2的解集是_。 （三）解答题16、已知集合a=x|,b=x2-ax+b0，且ab=x|2mx+3的解集为（4，n），求m、n的值。18、已知当m(1，2)时，不等式mx2+2(m-1)x-20成立，求实数x的取值范围。19、已知函数f(x)=（1） 求函数f(x)的定义域；（2） 解不等式fx(x-)20、关于实数x的不等式与x2-3(a+1)x+2(3a+1)0（ar）的解集为a与b，求使ab的a的取值范围。六、参考答案（一） 选择题1、a。 化简|x-2|3得-1x5，若记集合p=x|0x5，q=x|-1x5，则pq，甲是乙的充分不必要条件。2、c。 去绝对值符号。当x2时，原不等式可化为2x2-120，-，2x；当0x2，原不等式恒成立，0x2，综上所述，0x0，xa。5、a。 原不等式同解于，解之得2x4。6、a。 令x=3，则3k0，k0=（-，2）得: 即由a0，0设x|cx2+bx+a0=x|x1x2x3（x1x2）则 x1=-3，x2= x|cx2+bx+a0=(-3，)9、d。 1 0 又 x3-x2+x-1=x2(x-1)+x-1=(x-1)(x2+1) 0 0 0。10、c。 a=-2 （二）填空题11、 (-1，0)(1，+) ，用序轴标根法。12、 x-1，或x6 原不等式可化为(x2-5x+4)(x2-5x+6)-1200，令t2=x2-5x+5，则 (t-1)(t+1)-1200 t11，或t-11由 t11得：x2-5x+511，x-1，或x6由t-11得：x2-5x+5-11，无解。13、 4 设f(x)=x2+px+10，由图象可知，f(x)=6只有一解，f(x)=6即为x2+px+4=0，=p2-16=0，p=4。14、 3，4） 原不等式 (2+sin)min 3x0 t2 0x100 （三）解答题 16、解：可化为 -2x a=x|-2x显然br，b，设b=x|x1xx2（x1x2）结合数轴可知，将x=3代入x2-ax+b=0得3a-b=9又 -3x1x2 -3b a，b满足的关系式为3a-b=9，-3b17、解：令则 x=y2 原问题转化为：关于y的不等式2my2-2y+30得：(x2+2x)m-2x-20令 f(m)=(2x2+2x)m-2x-2则 f(m)0 x，或x19、解（1）x满足， f(x)定义域为（0，2） （2）易证f(x)在（0，2）上递减又 f(1)= 原不等式可化为fx(x-)f(1) 0x(x-)1 ，或20、解：a=3x|2axa2+1，b=x|(x-2)x-(3a+1)0（1） 当a时，3a+1时，3a+12，b=2，3a+1则 ，1a3，满足条件 （3）当a=时，b=2，a=，舍综上所述，1a3，或a=-1七、附录例1的解： x2-(a+a2)x+a3=(x-a)(x-a2) 当a1，或a0时，不等式的解为axa2 当0a1时，不等式的解为a2x0，x-1，为原不等式的解 当0a1时，原不等式可化为x2+ 不等式的解为r 当a0，x-2，原不等式解为xr，且x-2例4的解 （1）(x+5)(x-4)(x+2)(x-1)-80 (x2+x-20)(x2+x-2)-80令 t=x2+x则 (t-20)(t-2)-80 t