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第6章常微分方程数值解法 绪论 在工程和科学计算中 所建立的各种常微分方程的初值或边值问题 除很少几类的特殊方程能给出解析解 绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的 其主要原因在于积分工具的局限性 因此 人们转向用数值方法去解常微分方程 并获得相当大的成功 讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的 6 1初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 初值问题的Euler方法 6 1 2误差概述 误差概述 误差概述 误差概述 6 1 3数值稳定性分析 数值稳定性分析 定义6 1 3若某数值算法的绝对稳定性区域包含h 平面上的左半平面Re h 0 则称该方法是A稳定的 隐式Euler法是A稳定的 6 2Runge Kutta方法 Runge Kutta方法 Runge Kutta方法 Runge Kutta方法 6 2 2四阶Runge Kutta方法 四阶Runge Kutta方法 6 2 3R K法的稳定性 R K法的稳定性 R K法的稳定性 6 2 5隐式R K法 隐式R K法 隐式R K法 隐式R K法 隐式R K法 6 3线形多步法 单步法主要依据yn的信息去计算yn 1 线性多步法是想依据yn yn 1 yn r r 1 的信息去计算yn 1 考虑到线性组合较为方便 因此 线性多步法一般形式可设为 6 3 1基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 基于数值积分的方法 Adams预估 校正法预估校正并取 6 3 2基于Taylar展开式的方法 基于Taylar展开式的方法 基于Taylar展开式的方法 6 4一阶常微分方程组数值解法 在许多实际问题中 常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组 通过引入新的变量 总可化为一阶微分方程组 由此可知 讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的 6 4 1解一阶常微分方程组的R K方法 一阶常微分方程组的R K方法 一阶常微分方程组的R K方法 一阶常微分方程组的R K方法 一阶常微分方程组的R K方法 一阶常微分方程组的R K算法 一阶常微分方程组的R K方法 6 4 2刚性方程组 刚性方程组 刚性方程组 6 5常微分方程边值问题的数值解法 设二阶线性常微分方程为常见边界条件有三类 6 5 1差分方程的建立 差分方程的建立 差分
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