高考数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程课件 新人教A版必修2.ppt

第四章 4 1圆的方程 4 1 2圆的一般方程 学习目标 1 正确理解圆的方程的形式及特点 会由一般式求圆心和半径 2 会在不同条件下求圆的一般方程 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一圆的一般方程的定义1 当时 方程x2 y2 dx ey f 0叫做圆的一般方程 其圆心为 半径为 2 当d2 e2 4f 0时 方程x2 y2 dx ey f 0表示点 3 当时 方程x2 y2 dx ey f 0不表示任何图形 思考若二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0 表示圆 需满足什么条件 答案 d2 e2 4f 0 d2 e2 4f 0 答 a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 知识点二由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点m x0 y0 和圆的方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则其位置关系如下表 答案 返回 内 外 上 题型探究重点突破 题型一圆的一般方程的定义例1判断方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0能否表示圆 若能表示圆 求出圆心和半径长 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 解方法一由方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0 知d 4m e 2m f 20m 20 故d2 e2 4f 16m2 4m2 80m 80 20 m 2 2 因此 当m 2时 它表示一个点 方法二原方程可化为 x 2m 2 y m 2 5 m 2 2 因此 当m 2时 它表示一个点 当m 2时 原方程表示圆 对形如x2 y2 dx ey f 0的二元二次方程 判定其是否表示圆时有如下两种方法 1 由圆的一般方程的定义判断d2 e2 4f是否为正 若d2 e2 4f 0 则方程表示圆 否则不表示圆 2 将方程配方变为 标准 形式后 根据圆的标准方程的特征 观察是否可以表示圆 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1如果x2 y2 2x y k 0是圆的方程 则实数k的范围是 解析由题意可知 2 2 12 4k 0 解析答案 题型二求圆的一般方程例2已知 abc的三个顶点为a 1 4 b 2 3 c 4 5 求 abc的外接圆方程 圆心坐标和外接圆半径 反思与感悟 解析答案 解方法一设 abc的外接圆方程为x2 y2 dx ey f 0 a b c在圆上 反思与感悟 abc的外接圆方程为x2 y2 2x 2y 23 0 即 x 1 2 y 1 2 25 圆心坐标为 1 1 外接圆半径为5 方法二设 abc的外接圆方程为 x a 2 y b 2 r2 a b c在圆上 反思与感悟 圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 25 展开易得其一般方程为x2 y2 2x 2y 23 0 解析答案 kab kac 1 ab ac abc是以角a为直角的直角三角形 圆心是线段bc的中点 反思与感悟 外接圆方程为 x 1 2 y 1 2 25 展开得一般方程为x2 y2 2x 2y 23 0 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时 1 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题 一般采用圆的标准方程 再用待定系数法求出a b r 2 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系 一般采用圆的一般方程 再用待定系数法求出常数d e f 解析答案 解析答案 解析答案 题型三求动点的轨迹方程例3已知直角 abc的斜边为ab 且a 1 0 b 3 0 求直角顶点c的轨迹方程 反思与感悟 解析答案 解方法一设顶点c x y 因为ac bc 且a b c三点不共线 所以x 3 且x 1 所以直角顶点c的轨迹方程为x2 y2 2x 3 0 x 3 且x 1 方法二同方法一 得x 3 且x 1 由勾股定理 得 ac 2 bc 2 ab 2 即 x 1 2 y2 x 3 2 y2 16 化简得x2 y2 2x 3 0 反思与感悟 反思与感悟 所以直角顶点c的轨迹方程为x2 y2 2x 3 0 x 3 且x 1 方法三设ab的中点为d 由中点坐标公式 得d 1 0 由圆的定义 知动点c的轨迹是以d 1 0 为圆心 以2为半径长的圆 因为a b c三点不共线 所以应除去与x轴的交点 设c x y 则直角顶点的轨迹方程为 x 1 2 y2 4 x 3 且x 1 反思与感悟 求与圆有关的轨迹问题常用的方法 1 直接法 根据题目的条件 建立适当的平面直角坐标系 设出动点坐标 并找出动点坐标所满足的关系式 2 定义法 当列出的关系式符合圆的定义时 可利用定义写出动点的轨迹方程 3 相关点法 若动点p x y 随着圆上的另一动点q x1 y1 运动而运动 且x1 y1可用x y表示 则可将q点的坐标代入已知圆的方程 即得动点p的轨迹方程 解析答案 化简 得x2 y2 2x 3 0 即所求轨迹方程为 x 1 2 y2 4 代入法求圆的方程 解题方法 例4已知定圆的方程为 x 1 2 y2 4 点a 1 0 为定圆上的一个点 点c为定圆上的一个动点 m为动弦ac的中点 求点m的轨迹方程 解析答案 解后反思 分析由于点m依赖于动点c 且动点c在圆上 故只要找到点m与点c的坐标关系 再利用点c的坐标满足圆的方程 即可求得点m的轨迹方程 解设点m x y 点c x0 y0 解析答案 解后反思 因为点c与点a不重合 所以x0 1 即x 1 解后反思 又因为点c x0 y0 在圆 x 1 2 y2 4上 将 代入 得 2x 1 1 2 2y 2 4 x 1 即x2 y2 1 x 1 因此 动点m的轨迹方程为x2 y2 1 x 1 解后反思 对于 双动点 问题 若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程 则通常采用本例的方法 这种求轨迹方程的方法叫做代入法 解析答案 解后反思 例5已知圆的方程为x2 y2 2x 0 点p x y 在圆上运动 求2x2 y2的最值 返回 忽略有关圆的范围求最值致误 易错点 分析由x2 y2 2x 0 得y2 x2 2x 0 求得x的范围 而点p x y 在圆上 则可将2x2 y2转化为关于x的二次函数 就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题 解由x2 y2 2x 0 得y2 x2 2x 0 所以0 x 2 又因为2x2 y2 2x2 x2 2x x2 2x x 1 2 1 所以0 2x2 y2 8 所以当x 0 y 0时 2x2 y2有最小值0 当x 2 y 0时 2x2 y2有最大值8 故2x2 y2有最小值0 最大值8 解后反思 解后反思 在解答过程中易忽略隐含条件y2 x2 2x 0 即0 x 2 从而放大了x的范围导致错误 因此在解题时一定要仔细审题 明确题目中的已知条件和待求的问题 否则会忽略隐含条件而使范围变大或缩小 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 a 2 3 b 2 3 c 2 3 d 2 3 圆心坐标是 2 3 d 解析答案 2 方程x2 y2 x y k 0表示一个圆 则实数k的取值范围为 1 2 3 4 5 d 1 2 3 4 5 解析答案 3 m 3 0 是圆x2 y2 8x 2y 10 0内一点 过点m的最长弦所在的直线方程是 a x y 3 0b x y 3 0c 2x y 6 0d 2x y 6 0 b 解析过点m的最长弦应为过点m的直径所在的直线 解析答案 4 圆x2 y2 2x 4y 3 0的圆心到直线x y 1的距离为 1 2 3 4 5 d 1 2 3 4 5 解析答案 5 圆x2 y2 2x 4y m 0的直径为3 则m的值为 解析因 x 1 2 y 2 2 5 m 课堂小结 1 圆的一