矩阵论试题及答案.pdf

2006 矩阵论试题答案 2006 矩阵论试题答案 一 填空 每题 4 分 共 40 分 1 设 4131 122122 2832 A 则A的值域 4 R R Ay yAx x 的维数 dimAR 2 2 设A的若当标准型 100000 110000 011000 000200 000120 000002 J 则A的最小多项式 m 32 1 2 3 设 110 430 102 A 则 5432 333h AAAAAA 110 430 102 4 设埃尔米特阵为 20 051 11 i i ii A 则矩阵A为 正定的 埃尔米特阵 5 在 3 R中有下列两组向量 1 3 1 2 T 2 1 1 1 T 3 2 3 1 T 1 1 1 1 T 2 1 2 3 T 3 2 0 1 T 则由 321 到 321 的过渡矩阵 P 6191 13421 270 6 设 3 3 CA 2 1 33 2 2 11 ij m ji Aa H AA的非零特征值分别为15 5 3 则 2 m A23 7 设 12102101 11111137 AB 12 VV分别为齐次线性方程组 0Ax 0Bx 的解空间 则 dim 21 VV 1 8 设 1 1 1 1 121 321 n n n n n nn A nn nn 则lim n n A 1 3 11 e 9 设 213 121 202 A 则 A的 LDU分解为 A 100 1 210 12 51 20011 23 2 05 20011 5 004 5001 10 设 52 21 A 02 42 B 则 2448 2040 48 10 20 4 0 10 0 AB 二 10 分 设T为n维欧氏空间V中的线性变换 且满足 TyxyTx 试证明 T在标准正交基下的矩阵A为反对称阵 T AA 证明证明 设 n 21 为V的标准正交基 nnij aA 下证 jiij aa 由 21n T A n 21 知 nniiii aaaT 2211 nnjjjj aaaT 2211 jiji TT ji T jijnniii aaaa 2211 ji T ijnnjjji aaaa 2211 所以 jiij aa 三 10 分 在复数域上求矩阵 713 734 1024 A的若当标准形J 并求出可逆 矩阵P 使得JAPP 1 解解 A的若当标准形 210 021 002 J 令 123 Pppp 则有 11212323 2 2 2AppApppAppp 12132 6210062106210 4170 417 417 3150315315 ppppp 解得 123 2 1 1 0 1 0 1 2 1 TTT ppp 201 112 101 P 四 10 分 已知 654 321 xxx xxx X 16 2534 sin x x f Xex xx x 求 dX df 解答解答 16 16 123 4 65254 3225 5 1 6 cos cos x x x x fff xxx df dXfff xxx x exx xx xxx xx e 五 10 分 已知 311 202 113 A 求 4 sin A A e 解解 3 2 EA A的最小多项式 2 2 待定系数一 令 2 4 sin 2 qab 则21 0abb 4 sin AE 令 2 2 eqab 则 22 2 abebe 222 211 212 112 A eee Ee A 待定系数二 令 32 4 sin 2 qabc 则 222 2 241 4018 8 32 216 abc bcabc c 2 2 4 sin 44 32 AEEAAE 令 32 2 eqabc 则 2 2222 2 24 1 4 2 2 abce bceaebece ce 222 1 2 211 212 112 A eeEAAe 六 10 分 设 01 20 01 10 A 求A的奇异值分解 解答一解答一 50 02 AAH A的奇异值为5 2 20 05 2 5 HH VA AV 10 01 V 1 1 1 0 5 11 01 00 10 22 1022 00 10 55 1 0 2 UAV 12 00 55 11 00 22 21 00 55 11 00 22 U 12 00 55 1120 00 1005 22 2101 0 0 00 55 0 0 11 00 22 A 解答二解答二 50 02 AAH 那么A的奇异值为5 2 AAH对应于特征值 5 2 的标准特征向量为 0 1 1 0 21 xx 01 10 V 再计算 H AA的标准正交特征向量 解得分别与 5 2 0 0 对应的四个标准 正交特征向量 0 5 2 0 5 1 1 2 1 0 2 1 0 2 0 5 1 0 5 2 3 2 1 0 2 1 0 4 2 1 0 2 1 0 0 5 1 0 5 2 2 1 0 2 1 0 0 5 2 0 5 1 U 所以 H VUA 12 00 55 11 00 22 21 00 55 11 00 22 50 02 00 00 0 1 1 0 七 10 分 设 nn i A C0 2 rankrank ii AA 2 1 ni 且当ij 时 2 1 0njiAA ji 试用归纳法证明存在同一个可逆阵 nn P C使 得对所有的i 2 1 ni 有 1 PPEaA iiii 其中C i a 证明证明 1n 时 命题显然 假设nk 时 命题成立 当1nk 时 设 1 rankAr 由若当分解 11 111 0 00 D APP 其中 1 Cr rD 可逆 当2 jn 时 由 11 0 jj A AA A 可得 1 1 1 11 00 C 0 nn jj j APPB B 直接推出的 j B为 nrnr 的 再由0 ij A A 得0 ij B B 2 ij i jn 0 j B 2 rankrank jj BB 也是明显的 由假设知存在可逆阵 1 1 C nn Q 使得 1 jjjj Ba QE Q 其中C j a 2 jn 此时 再由 11 0 jj A AA A 得到 111 111