高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数课件2 新人教A版选修11.ppt

3 3 2函数的极值与导数 f x 在 4 2 内单调递增 你记住了吗 求导数 求临界点 列表 写出单调性 f x 0 x 4 x 2 0 x2 f x 在 4 2 内单调递减 f x 0 x 4 x 2 0 4 x 2 有没有搞错 怎么这里没有填上 还记得高台跳水的例子吗 h t 4 9t2 6 5t 10 单调递增h t 0 单调递减h t 0 h a 0 2 跳水运动员在最高处附近的情况 1 当t a时 运动员距水面高度最大 h t 在此点的导数是多少呢 2 当t a时 h t 的单调性是怎样的呢 3 当t a时 h t 的单调性是怎样的呢 将最高点附近放大 t a t a t a 导数的符号有什么变化规律 在t a附近 h t 先增后减 h t 先正后负 h t 连续变化 于是有h a 0 h a 最大 对于一般函数是否也有同样的性质呢 h t 4 9t2 6 5t 10 1 探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值 重点 2 利用导数信息判断函数极值的情况 难点 探究点函数的极值与导数 即时训练 探究 根据函数极值的概念 回答下列问题 1 函数的极值点是否只能有一个 区间的端点能不能成为函数的极值点 提示 函数在其定义域上的极值点可能不止一个 也可能没有 极值点是函数定义域中的点 因而端点不可能是极值点 2 函数的极值点与函数的单调区间有什么关系 提示 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点 极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点 3 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是什么 提示 f x0 0 且在x0的左 右两侧 f x 的符号不同 4 函数的极大值一定比极小值大吗 提示 不一定 对函数极值概念的两点说明 1 与单调性的关系 若函数y f x 在 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内不是单调函数 2 极值点的分布 若函数y f x 在 a b 内有极值 它的极值点的分布是有规律的 即相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样 相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一般来说 当函数y f x 在 a b 上连续变化且有有限个极值点时 函数y f x 在 a b 内的极大值点 极小值点是交替出现的 注意 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的 是局部性质 因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值 并对同一个函数来说 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 下面正确的是 a 可导函数必有极值b 可导函数在极值点的导数一定等于零c 函数的极小值一定小于极大值 设极小值 极大值都存在 d 函数的极小值 或极大值 不会多于一个 b 即时训练 求可导函数f x 极值的步骤 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 把定义域划分为部分区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的符号如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 1 确定函数的定义域 提升总结 求函数的极值 解 令 0 解得x1 1 x2 1 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 1时有极大值 并且 y极大值 3 而 当x 1时有极小值 并且 y极小值 3 变式练习 1 函数y 1 3x x3有 a 极小值 1 极大值1b 极小值 2 极大值3c 极小值 2 极大值2d 极小值 1 极大值3 d 2 函数y x2 1 3 1的极值点是 a 极大值点x 1b 极大值点x 0c 极小值点x 0d 极小值点x 1 c 3 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图 则函数f x 无极大值点 有两个极小值点有三个极大值点 两个极小值点有两个极大值点 两个极小值点有四个极大值点 无极小值点 c x o y f x d 为 5 若函数f x mcosx sinx在x 处取得极值 则m 解析 函数f x mcosx sinx 所以f x msinx cosx 因为函数在x 处取得极值 所以f msin cos 0 解得m 答案 2 注意数形结合 极值定义两个关键 1 可导函数y f x 在极值点处的f x 0 2 极值点左右两边的导数必须异号 三个步骤 1 确定定义域 2 求f x 0的根 3 列成表格 用方程f x 0