山东省各市中考数学分类解析 专题9 三角形.doc

山东各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形1、 选择题1. （2012山东滨州3分）把abc三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角a的正弦函数值【 】a不变b缩小为原来的c扩大为原来的3倍d不能确定【答案】a。【考点】锐角三角函数的定义。【分析】因为abc三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角a的大小没改变，所以锐角a的正弦函数值也不变。故选a。2. （2012山东德州3分）为了测量被池塘隔开的a，b两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中abbe，efbe，af交be于d，c在bd上有四位同学分别测量出以下四组数据：bc，acb； cd，acb，adb；ef，de，bd；de，dc，bc能根据所测数据，求出a，b间距离的有【 】a1组 b2组 c3组 d4组【答案】c。【考点】解直角三角形的应用，相似三角形的应用。【分析】此题比较综合，要多方面考虑：知道acb和bc的长，可利用acb的正切直接求ab的长；可利用acb和adb的正切设方程组求出ab；abdefd，可利用相似三角形对应边成比例，求出ab；无法求出a，b间距离。因此共有3组可以求出a，b间距离。故选c。3. （2012山东济南3分）如图，在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若abc的三个顶点在图中相应的格点上，则tanacb的值为【 】abcd3 【答案】a。【考点】网格问题，锐角三角函数的定义。【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解：由图形知：tanacb=。故选a。4. （2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明aoc=boc的依据是【 】asss basa caas d角平分线上的点到角两边距离相等【答案】a。【考点】作图（基本作图），全等三角形的判定和性质。【分析】连接nc，mc，根据sss证oncomc，即可推出答案：在onc和omc中，on=om，nc=mc，oc=oc，oncomc（sss）。aoc=boc。故选a。5. （2012山东聊城3分）如图，在abc中，点d、e分别是ab、ac的中点，则下列结论不正确的是【 】abc=2debadeabcc dsabc=3sade【答案】d。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】根据三角形的中位线定理得出de是abc的中位线，再由中位线的性质得出adeabc，进而可得出结论：在abc中，点d、e分别是边ab、ac的中点，debc，de=bc，bc=2de。故a正确。debc，adeabc，故b正确。adeabc，故c正确。de是abc的中位线，ad：bc=1：2，sabc=4sade，故d错误。故选d。 .6. （2012山东泰安3分）如图，为测量某物体ab的高度，在在d点测得a点的仰角为30，朝物体ab方向前进20米，到达点c，再次测得点a的仰角为60，则物体ab的高度为【 】a米b10米c米d米【答案】a。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】在直角三角形adc中，d=30，=tan30。bd=。在直角三角形abc中，acb=60，bc=。cd=20，cd=bdbc=。解得：ab=。故选a。7. （2012山东泰安3分）如图，abcd，e，f分别为ac，bd的中点，若ab=5，cd=3，则ef的长是【 】a4b3c2d1【答案】d。【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接de并延长交ab于h，cdab，c=a，cde=ahe。e是ac中点，de=eh。dcehae（aas）。de=he，dc=ah。f是bd中点，ef是dhb的中位线。ef=bh。bh=abah=abdc=2。ef=1。故选d。8. （2012山东烟台3分）如图是跷跷板示意图，横板ab绕中点o上下转动，立柱oc与地面垂直，设b点的最大高度为h1若将横板ab换成横板ab，且ab=2ab，o仍为ab的中点，设b点的最大高度为h2，则下列结论正确的是【 】ah2=2h1bh2=1.5h1ch2=h1dh2=h1【答案】c。【考点】三角形中位线定理。【分析】直接根据三角形中位线定理进行解答即可：如图所示：o为ab的中点，ocad，bdad，ocbd，oc是abd的中位线。h1=2oc。同理，当将横板ab换成横板ab，且ab=2ab，o仍为ab的中点，设b点的最大高度为h2，则h2=2oc。h1=h2。故选c。9. （2012山东枣庄3分）如图，直角三角板abc的斜边ab=12，a=30，将三角板abc绕c顺时针旋转90至三角板的位置后，再沿cb方向向左平移，使点落在原三角板abc的斜边ab上，则三角板平移的距离为【 】a. 6 b. 4 c.（6 ） d.（）【答案】c。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，旋转的性质。【分析】如图，过b作bdac，垂足为b，在rtabc中，ab=12，a=30，bc=ab=6，ac=absin30=。由旋转的性质可知bc=bc=6，ab=acbc=。在rtabd中，a=30，bd=abtan30=（cm）。故选c。二、填空题1. （2012山东滨州4分）如图，在abc中，ab=ad=dc，bad=20，则c= 【答案】40。【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。【分析】ab=ad，bad=20，b=。adc是abd的外角，adc=b+bad=80+20=100。ad=dc，c=。2. （2012山东滨州4分）如图，锐角三角形abc的边ab，ac上的高线ce和bf相交于点d，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）【答案】bdecdf，abface。【考点】相似三角形的判定。【分析】（1）在bde和cdf中，bde=cdf，bed=cfd=90，bdecdf；（2）在abf和ace中，a=a，afb=aec=90，abface。3. （2012山东济宁3分）在abc中，若a、b满足|cosa|+（sinb）2=0，则c= 【答案】75。【考点】非负数的性质，绝对值，偶次方，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。【分析】|cosa|+（sinb）2=0，cosa=0，sinb=0。cosa=，sinb=。a=60，b=45。c=180ab=1806045=75。4. （2012山东济宁3分）如图，在等边三角形abc中，d是bc边上的一点，延长ad至e，使ae=ac，bae的平分线交abc的高bf于点o，则tanaeo= 【答案】。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】abc是等边三角形，abc=60，ab=bc。bfac，abf=abc=30。ab=ac，ae=ac，ab=ae。ao平分bae，bao=eao。在bao和eao中，ab=ae，bao=eao，ao=ao，baoeao（sas）。aeo=abo=30。tanaeo=tan30=。5. （2012山东临沂3分）在rtabc中，acb=90，bc=2cm，cdab，在ac上取一点e，使ec=bc，过点e作efac交cd的延长线于点f，若ef=5cm，则ae= cm【答案】3。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】acb=90，ecf+bcd=90。cdab，bcd+b=90。ecf=b，在abc和fec中，ecf=b，ec=bc，acb=fec=90，abcfec（asa）。ac=ef。ae=acce，bc=2cm，ef=5cm，ae=52=3cm。6. （2012山东潍坊3分）如图所示，ab=db，abd=cbe，请你添加一个适当的条件 ， 使abcdbe (只需添加一个即可)【答案】bde=bac（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定，开放型。【分析】根据abd=cbe可以证明得到abc=dbe，然后根据利用的证明方法，“asa”“sas”“aas”分别写出第三个条件即可：abd=cbe，abd+abe=cbe+abe，即abc=dbe。ab=db，用“asa”，需添加bde=bac；用“sas”，需添加be=bc；用“aas”，需添加acb=deb。7. （2012山东烟台3分）计算：tan45+cos45= 【答案】2。【考点】特殊角的三角函数值，二次根式的计算。【分析】把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解：原式=1+=2。8. （2012山东枣庄4分）如图所示，de为abc的中位线，点f在de上，且afb90，若ab5，bc8，则ef的长为 _【答案】。【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】由于de为abc的中位线，bc8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得de4；又由于afb90，点d为ab的中点，ab5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得df。因此efdedf4。三解答题1. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形abcd的4个顶点a，b，c，d都在这些平行线上过点a作afl3于点f，交l2于点h，过点c作cel2于点e，交l3于点g（1）求证：adfcbe；（2）求正方形abcd的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形abcd的面积s2. （2012山东东营9分）如图某天上午9时,向阳号轮船位于a处，观测到某港口城市p位于轮船的北偏西67.5，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达b处，这时观测到城市p位于该船的南偏西36.9方向，求此时轮船所处位置b与城市p的距离？（参考数据：sin36.9，tan36.9，sin67.5，tan67.5）【答案】解：根据题意得：pcab，设pc=x海里 在rtapc中，。在rtpcb中，。ac+bc=ab=215，解得x=60。，（海里）。向阳号轮船所处位置b与城市p的距离为100海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。【分析】根据题意可得pcab，然后设pc=x海里，分别在rtapc中与rtpcb中，利用正切函数求得出ac与bc的长，由ab=215，即可得方程，解此方程即可求得x的值，从而求得答案。3. （2012山东菏泽6分）如图，dab=cae，请补充一个条件： ，使abcade【答案】解：d=b或aed=c。【考点】相似三角形的判定。【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可。4. （2012山东菏泽10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，abc和def的顶点都在格点上，p1，p2，p3，p4，p5是def边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形abc为直角三角形；（2）判断abc和def是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为p1，p2，p3，p4，p5中的3个格点并且与abc相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）【答案】解：（1）根据勾股定理，得ab=2，ac=，bc=5；显然有ab2+ac2=bc2，根据勾股定理的逆定理得abc 为直角三角形。（2）abc和def相似。理由如下：根据勾股定理，得ab=2，ac=，bc=5，de=4，df=2，ef=2。abcdef。（3）如图： 【考点】勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，相似变换作图。【分析】（1）利用网格借助勾股定理得出ab=2，ac= ，bc=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可。（2）求出ab=2，ac=，bc=5，de=4，df=2，ef=2，利用三角形三边比值关系得出即可。 （3）根据p2p4 p5三边与abc三边长度得出答案即可：连接p2p5，p2p4，p4p5，p2p5=，p2p4=，p4p5=2，ab=2，ac=，bc=5，de=4，。abcp2p4 p5。5. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16的斜坡ab上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示已知支架ac与斜坡ab的夹角为28，支架bdab于点b，且ac、bd的延长线均过o的圆心，ab12m，o的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考数据：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7)【答案】解：如图，过点o作水平地面的垂线，垂足为点e。 在rtaob中，即， 。bae=160，oae=280160=440。在rtaoe中，即，9.3331.5=10.83310.83（m）。答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】如图，过点o作水平地面的垂线，构造rtaoe。解rtaob，求出oa；解rtaoe，求出oe，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。6. （2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边p处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）小船从p处出发，沿北偏东60划行200米到达a处，接着向正南方向划行一段时间到达b处在b处小亮观测妈妈所在的p处在北偏西37方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.41，1.73）【答案】解：作pdab于点d，由已知得pa=200米，apd=30，b=37，在rtpad中，由cos30=，得pd=pacos30=200=100（米）。在rtpbd中，由sin37=，得pb=（米）。答：小亮与妈妈的距离约为288米。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。【分析】作pdab于点d，分别在直角三角形pad和直角三角形pbd中求得pd和pb即可求得结论。7. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼ab的后面有一建筑物cd，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子ce；而当光线与地面的夹角是45时，教学楼顶a在地面上的影子f与墙角c有13m的距离(b、f、c在一条直线上)(1)求教学楼ab的高度；(2)学校要在a、e之间挂一些彩旗，请你求出a、e之间的距离(结果保留整数)(参考数据：sin22，cos22，tan22)【答案】解：（1）过点e作emab，垂足为m。设ab为x 在rtabf中，afb=45，bf=ab=x。bc=bffc=x13。在rtaem中，aem=22，am=abbm=abce=x2，又，解得：x12。教学楼的高12m。（2）由（1）可得me=bc=x+1312+13=25。在rtame中，ae=me cos22。a、e之间的距离约为27m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】（1）首先构造直角三角形aem，利用 ，求出即可。（2）利用rtame中，求出ae即可。8. （2012山东泰安8分）如图，在abc中，abc=45，cdab，beac，垂足分别为d，e，f为bc中点，be与df，dc分别交于点g，h，abe=cbe（1）线段bh与ac相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：bg2ge2=ea2【答案】解：（1）线段bh与ac相等。证明如下：bdc=bec=cda=90，abc=45，bcd=45=abc，a+dca=90，a+abe=90，db=dc，abe=dca，在dbh和dca中，dbh=dca，bd=cd，bdh=cda， dbhdca（asa）。bh=ac。（2）证明：连接cg，f为bc的中点，db=dc，df垂直平分bc。bg=cg。abe=cbe，beac，aeb=ceb。在abe和cbe中，aeb=ceb，be=be，cbe=abe，abecbe（asa）。ec=ea。在rtcge中，由勾股定理得：cg2ge2=ec2。bg2ge2=ea2。【考点】全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出bcd=abc，abe=dca，推出db=cd，根据asa证出dbhdca即可。（2）根据db=dc和f为bc中点，得出df垂直平分bc，推出bg=cg，根据beac和abe=cbe得出ae=ce，在rtcge中，由勾股定理即可推出答案。9. （2012山东威海11分）探索发现：已知：在梯形abcd中，cdab，ad、bc的延长线相交于点e，ac、bd相交于点o，连接eo并延长交ab于点m，交cd于点n。（1）如图，如果ad=bc，求证：直线em是线段ab的垂直平分线；（2）如图，如果adbc，那么线段am与bm是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形abcd的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：ad=bc，cdab，ac=bd，dab=cba。ae=be。 点e在线段ab的垂直平分线上。 在abd和bac中，ab=ba，ad=bc，ac=bd， abdbac（sss）。dba=cab。oa=ob。 点o在线段ab的垂直平分线上。 直线em是线段ab的垂直平分线。（2）相等。理由如下： cdab，edneam，encemb，edceab。 cdab，ondomb，oncoma，ocdoab。 。am2=bm2。am=bm。（3）作图如下： 作法： 连接ac，bd，两线相交于点o1； 在梯形abcd外dc上方任取一点e，连接ea，eb，分别交dc于点g，h； 连接bg，ah，两线相交于点o2； 作直线eo2，交ab于点m； 作直线mo1。则直线mo1。就是矩形abcd的一条对称轴。【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】（1）一方面由已知可得点e在线段ab的垂直平分线上；另一方面可由sss证明abdbac，从而得dba=cab，因此oa=ob，得出点o在线段ab的垂直平分线上。从而直线em是线段ab的垂直平分线。l （2）一方面由cdab，得edneam，encemb，edceab，利用对应边成比例可得；另一方面由cdab，得ondomb，oncoma，ocdoab，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到am=bm的结论。（3）按（2）的结论作图即可。10. （2012山东潍坊10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点c，再在笔直的车道上确定点d，使cd与垂直，测得cd的长等于21米，在上点d的同侧取点a、b，使cad=300，cbd=600 (1)求ab的长(精确到0.1米，参考数据：)； (2)已知本路段对校车限速为40千米小时，若测得某辆校车从a到b用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由 11. （2012山东烟台10分）（1）问题探究如图1，分别以abc的边ac与边bc为边，向abc外作正方形acd1e1和正方形bcd2e2，过点c作直线kh交直线ab于点h，使ahk=acd1作d1mkh，d2nkh，垂足分别为点m，n试探究线段d1m与线段d2n的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点c作直线k1h1，k2h2，分别交直线ab于点h1，h2，使ah1k1=bh2k2=acd1作d1mk1h1，d2nk2h2，垂足分别为点m，nd1m=d2n是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图3，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变d1m=d2n是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）【答案】解：（1）d1m=d2n。证明如下：acd1=90，ach+d1ck=18090=90。ahk=acd1=90，ach+hac=90。d1ck=hac。在ach和cd1m中，d1ck=hac，ahc=c m d1=90，ac=c d1， achcd1m（aas）。d1m=ch。同理可证d2n=ch。d1m=