【三维设计】高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）用样本估计总体教学案.doc

用样本估计总体知识能否忆起一、作频率分布直方图的步骤1求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)2确定组距与组数3将数据分组4列频率分布表5画频率分布直方图二、频率分布折线图和总体密度曲线1频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图2总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线三、样本的数字特征数字特征定义众数中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数,在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数样本数据的算术平均数即 (x1x2xn)方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中s为标准差四、茎叶图茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示小题能否全取1242035630114121.(教材习题改编)在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是()a23与26b31与26c24与30 d26与30解析：选b观察茎叶图可知，这组数据的众数是31，中位数是26.2(教材习题改编)把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)，4；40,50)，5；50,60)，4；60,70，2，则在区间10,50)上的数据的频率是()a0.05b0.25c0.5 d0.7解析：选d由题知，在区间10,50)上的数据的频数是234514，故其频率为0.7.3(2012长春模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在120,130内的学生人数为()a20 b25c30 d35解析：选c由题意知a100.350.20.10.051，则a0.03，故学生人数为0.310030.4(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是_解析：7，s4.4，则ss，故乙的成绩较稳定答案：乙5(2012山西大同)将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为234641，且前三组数据的频数之和为27，则n_.解析：依题意得，前三组的频率总和为，因此有，即n60.答案：601.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标2注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距3方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差用样本的频率分布估计总体分布典题导入例1(2012广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445自主解答(1)由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073(分)(3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分数段的人数依次为0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,4020,3040,2025.故数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10.在本例条件下估计样本数据的众数解：众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故约为65.由题悟法解决频率分布直方图问题时要抓住(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距，即矩形的面积(3)直方图中每组样本的频数为频率总体数以题试法1(2012深圳调研)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是50,100，样本数据分组为50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在60,90)内的学生人数为_解析：依题意得，样本中成绩小于70分的频率是(0.0100.020)100.3；样本中成绩在60,90)内的频率是(0.0200.0300.025)100.75，因此样本中成绩在60,90)内的学生人数为90.答案：90茎叶图的应用典题导入例2(2012陕西高考)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲、乙两组数据的平均数分别为甲、乙，中位数分别为m甲、m乙，则()a.甲m乙b.甲乙，m甲乙，m甲m乙 d.甲乙，m甲m乙自主解答甲(41433030382225271010141818568)，乙(42434831323434382022232327101218).甲乙又m甲20，m乙29，m甲m乙答案b由题悟法由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示其缺点是当样本容量较大时，作图较繁以题试法2(2012淮北模考)如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是_.078999101223众数是9；平均数是10；中位数是9或10；标准差是3.4.解析：由茎叶图知，该组数据为7,8,9,9,9,10,11,12,12,13，众数为9，正确；中位数是9.5，错；平均数是(789991011121213)10，正确；方差是s2(710)2(810)2(910)2(910)2(910)2(1010)2(1110)2(1210)2(1210)2(1310)23.4，标准差s，错答案：样本的数字特征典题导入例3(1)(2012江西高考)样本(x1，x2，xn)的平均数为，样本(y1，y2，ym)的平均数为()若样本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均数(1)，其中0，则n，m的大小关系为()anmcnm d不能确定(2)(2012山东高考)在某次测量中得到的a样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若b样本数据恰好是a样本数据每个都加2后所得数据，则a，b两样本的下列数字特征对应相同的是()a众数 b平均数c中位数 d标准差自主解答(1)，则.由题意知0，nm.(2)对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变答案(1)a(2)d由题悟法(1)众数体现了样本数据的最大集中点，但无法客观地反映总体特征(2)中位数是样本数据居中的数(3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据越分散，标准差、方差越小，数据越集中以题试法3(2012淄博一检)一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为()a120 b80c15 d150解析：选d根据题意知，该组数据的平均数为450，所以该组数据的方差为(0220210210202102202102)150.1(2013豫西五校联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8,12,10,11,9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为()a8分钟b9分钟c11分钟 d10分钟解析：选d依题意，估计此人每次上班途中平均花费的时间为10分钟2(2012湖北高考)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为()a0.35 b0.45c0.55 d0.65解析：选b求得该频数为2349，样本容量是20，所以频率为0.45.3某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()aabc bbcaccab dcba解析：选d把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a(10121414151516171717)14.7，中位数b15，众数c17，则abc.4(2013济宁模拟)为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm的株数大约是()a3 000 b6 000c7 000 d8 000解析：选c底部周长小于110 cm的频率为：(0.010.020.04)100.7，所以底部周长小于110 cm的株数大约是10 0000.77 000.5(2012江西高考)小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图1图2a30% b10%c3% d不能确定解析：选c由图1得到小波一星期的总开支，由图2得到小波一星期的食品开支，从而再借助图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比由图2知，小波一星期的食品开支为30401008050300元，由图1知，小波一星期的总开支为1 000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为100%3%.6(2012江西盟校二联)若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则()a.5，s22 b.5，s22c.5，s22 d.5，s22解析：选a设(x1x2x8)5，(x1x2x85)5，5，由方差定义及意义可知加新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，s22.7(2012湖北模拟)下图为150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在60,70)内的汽车大约有_辆解析：由频率分布直方图可知，汽车速度在60,70)内的频率为0.04100.4，故速度在60,70)内的汽车为1500.460辆答案：608(2012湖南高考)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分11，方差s2(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)26.8.答案：6.89(2012北京海淀)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：)用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是_解析：根据茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为16，乙城市上半年的平均温度为19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大答案：乙乙10(2012郑州模拟)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：数学成绩分组0,30)30,60)60,90)90,120)120,150人数6090300x160(1)为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解：(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为，故甲同学被抽到的概率p.(2)由题意得x1 000(6090300160)390.故估计该中学达到优秀线的人数m160390290.(3)频率分布直方图如图所示该学校本次考试的数学平均分90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分11 (2012江西重点中学联考)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345频率a0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率解：(1)由频率分布表得a0.20.45bc1，即abc0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c0.1.从而a0.35bc0.1.所以a0.1，b0.15，c0.1.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，所有可能的结果为：x1，x2，x1，x3，x1，y1，x1，y2，x2，x3，x2，y1，x2，y2，x3，y1，x3，y2，y1，y2，共10个设事件a表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级系数相等”，则a包含的基本事件为：x1，x2，x1，x3，x2，x3，y1，y2，共4个故所求的概率p(a)0.4.12(2012北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a0，abc600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值注：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为数据x1，x2，xn的平均数解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件a，则事件表示“生活垃圾投放正确”事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即p()约为0.7，所以p(a)约为10.70.3.(3)当a600，bc0时，s2取得最大值因为(abc)200，所以s2(600200)2(0200)2(0200)280 000.1(2013西宁模拟)已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于()abc d无法求解解析：选b这组数据的平均数为a4，又因为这组数据的方差等于1，所以(a1a4)2(a2a4)2(a3a4)2(a4a4)2(a5a4)2(a6a4)2(a7a4)21，即4d21，解得d.2(2012安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()a甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数b甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数c甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差d甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选c由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，a错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，b错；甲、乙的成绩的方差分别为(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，c对；甲、乙的成绩的极差均为4，d错3(2012山西山大附中月考)如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题(1)求样本中月收入在2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在1 500,2 000)的这组中应抽多少人？(