初中数学经典《相似》题.doc

平面图形的认识试卷副标题1下列各组图形中不一定相似的有（）两个矩形；两个正方形；两个等腰三角形；两个等边三角形；两个直角三角形；两个等腰直角三角形A2个 B3个 C4个 D5个2将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（）A2：1 B：1 C：1 D1：13已知，则的值是（）ABCD4如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）ABC1D+15如图，已知直线abc，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A7B7.5C8D8.56如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A28cm2B27cm2C21cm2D20cm7若把ABC的各边扩大到原来的3倍后，得ABC，则下列结论错误的是（）AABCABCBABC与ABC的相似比为CABC与ABC的对应角相等DABC与ABC的相似比为8如图，点D在ABC的边AC上，要判定ADB与ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）AABD=CBADB=ABCCD9如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABCPQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A甲B乙C丙D丁10如图，在ABC中，EFBC，=，S四边形BCFE=8，则SABC=（）A9 B10 C12 D1311将一副三角板按如图叠放，ABC是等腰直角三角形，BCD是有一个角为30的直角三角形，则AOB与DCO的面积之比等于（）A B C D12四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则a=_cm13已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点AP2=ABPB；AP=AB；PB=AB；其中正确的是 （填“序号”）14甲、乙两农户各有两块土地（如图所示），今年这两个农户决定共同投资开发一个新的项目，需要将这四块土地换成一块土地，而这块地的宽为a+c米，为了使换的土地与原四块土地面积和形状相同，交换后的土地的长应该是米15将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画_个，你的理由是_16ABCDEF，若ABC的边长分别为5cm，6cm，7cm，而4cm是DEF中一边的长度，则DEF的另外两边的长度是 _17ABC中，AB=9cm，AC=6cm，D是AC上的一点，且AD=2cm，过点D作直线DE交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，则AE=_cm18有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD则AB与BC的数量关系为 19如图，在ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE=CF，D为BF的中点，AE：AF的值为 20如图，RtABC中，ACD=90，直线EFBD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F若SAEG=S四边形EBCG，则= 21如图，菱形，矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等设菱形相邻两个内角的度数分别为m和n，将菱形的“接近度”定义为|mn|，于是，|mn|越小，菱形越接近于正方形若菱形的一个内角为70，则该菱形的“接近度”等于_；当菱形的“接近度”等于_时，菱形是正方形22在ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）（1）如图，A=90，B=C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的ABC的相似线（其中l1BC，l2AC），此外，还有 条；（2）如图，C=90，B=30，当= 时，P（lx）截得的三角形面积为ABC面积的23已知=，求的值24如图，在ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟PBQ与ABC相似？试说明理由25ABCABC，AB边上的中线CD=4cm，ABC的周长为20cm，ABC的面积是64cm2，求：（1）AB边上的中线CD的长；（2）ABC的周长；（3）ABC的面积26如图，在ABC中，BAC=90，D为BC的中点，AEAD，AE交CB的延长线于点E（1）求证：EABECA；（2）ABE和ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，ABE和ADC一定相似27如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8m，窗高CD=1.2m，并测得OE=0.8m，OF=3m，求围墙AB的高度28如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值29如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与ABCD相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与ABCD相似？30如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，（1）当t=2时，求PBQ的面积；（2）当t=时，试说明DPQ是直角三角形；（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由参考答案1B【解析】试题分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解解：两个矩形，对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似；两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形，角都是60，故相似；两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；两个等腰直角三角形，都有一个直角和45的锐角，故相似所以共有3个不一定相似，故选B考点：相似图形点评：本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等2C【解析】试题分析：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则DM=AD=x又矩形DMNC与矩形ABCD相似=，即=即y2=x2x：y=：1故选C考点：相似多边形的性质点评：本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键3D【解析】试题分析：先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案解：令a，b分别等于13和5，a=13，=；故选D考点：比例的性质点评：此题考查了比例的性质此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形4C【解析】试题分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长解：A=DBC=36，C公共，ABCBDC，且AD=BD=BC设BD=x，则BC=x，CD=2x由于=，=整理得：x2+2x4=0，解方程得：x=1，x为正数，x=1+故选C考点：黄金分割点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长5B【解析】试题分析：由直线abc，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案解：abc，AC=4，CE=6，BD=3，解得：DF=，BF=BD+DF=3+=7.5故选B考点：平行线分线段成比例点评：此题考查了平行线分线段成比例定理题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用6B【解析】试题分析：根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC矩形FDCE，则设DF=xcm，得到：解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.56=27cm2考点：相似多边形的性质点评：本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键7B【解析】试题分析：根据相似三角形的性质逐个进行判断可知A、C、D正确，B错误解：A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以ABCABC，正确；B、可知ABC与ABC的相似比为，错误；C、所以ABC与ABC的对应角相等，正确；D、因为相似比即是对应边的比，所以ABC与ABC的相似比为，正确故选B考点：相似图形点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，若对应边的比都相等，则两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等8C【解析】试题分析：由A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用解：A是公共角，当ABD=C或ADB=ABC时，ADBABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当时，ADBABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当时，A不是夹角，故不能判定ADB与ABC相似，故C错误故选C考点：相似三角形的判定点评：此题考查了相似三角形的判定此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用9C【解析】试题分析：令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置解：根据题意，ABC的三边之比为：，要使ABCPQR，则PQR的三边之比也应为：，经计算只有丙点合适，故选C考点：相似三角形的判定点评：考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似10A【解析】试题分析：解：=，=，EFBC，AEFABC，=，9SAEF=SABC，S四边形BCFE=8，9（SABC8）=SABC，解得：SABC=9故选A考点：相似三角形的判定与性质点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目11C【解析】试题分析：设BC=a，则AB=BC=a，CD=aAB：CD=1：ABCDAOBCODAB：CD=1：AOB与DCO的面积之比为1：3故选C考点：相似三角形的判定与性质点评：通过两个直角三角形的公共边找到两个三角形之间的联系是解决本题的关键121【解析】试题分析：由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得 ，又由b=3cm，c=2cm，d=6cm，即可求得a的值解：四条线段a、b、c、d成比例，b=3cm，c=2cm，d=6cm，解得：a=1cm故答案为：1考点：比例线段点评：此题考查了比例线段的定义此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义13【解析】试题分析：根据黄金分割点的定义列出算式，然后求解得到AP与AB关系，再根据AB、AP、BP三者之间的关系对各小题整理即可判断正误解：P为AB的黄金分割点，=，AP2=ABPB，故小题正确；AP2=AB（ABAP），AP2+ABAPAB2=0，解得AP=AB，故小题正确；（ABPB）=AB，整理得，PB=AB，故小题正确；AP=AB，PB=ABAP=AB，=，故小题错误；=，故小题错误综上所述，正确故答案为：考点：黄金分割点评：本题考查了黄金分割，明确黄金分割点的定义列出比例式是求解的关键14a+b【解析】试题分析：由图可得四块土地的面积为a2+bc+ac+ab，此式可分解因式为（a+b）（a+c），据此可得解解：由题意得，四块土地的面积为a2+bc+ac+ab，所换的土地的面积=a2+bc+ac+ab=a（a+b）+c（a+b）=（a+b）（a+c），这块地的宽为a+c米，这块地的长为a+b故答案为：a+b考点：相似多边形的性质点评：此题主要考查分解因式的应用，读懂题意，列出代数式是关键15无数 多边形的形状发生了变化【解析】试题分析：如果将一个多边形缩小为原来的，只是周长缩小为原来的，根据相似多边形的定义，可知多边形的形状会发生变化，故这样的多边形可以画无数个解：将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画无数个，理由是：将一个多边形缩小为原来的时，只是周长缩小为原来的，对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，即多边形的形状发生了变化，故这样的多边形可以画无数个考点：相似图形点评：本题主要考查了相似多边形的定义：如果两个多边形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个多边形是相似多边形即形状相同，大小不一定相同的多边形叫做相似多边形16，；，；，【解析】试题分析：两个三角形相似，设另外两条边长为x，y如果是5cm和4cm的边长是对应边则=，解得x=cm，y=cm；如果6cm和4cm边长是对应边所以=，解得x=cm，y=cm，如果7cm和4cm边长是对应边则=，解得x=cm，y=cm，故答案为：，；，；， 考点：相似三角形的性质.点评：此题主要考查相似三角形的性质这一知识点，此题需要利用分类讨论的思想，从对应边的三种情况进行分析，这也是学生容易忽视的地方17cm或3cm【解析】试题分析：如图2，当ADEABC时，有AD：AE=AB：ACAB=9cm，AC=6cm，AD=2cmAE=cm；如图1，当AEDABC时，有AD：AE=AC：ABAB=9cm，AC=6cm，AD=2cmAE=3cmAE为cm或3cm考点：相似三角形的性质点评：此题主要考查学生对相似的三角形的性质的运用及分类讨论思想的掌握情况18AB=2BC【解析】试题分析：过A作AEBC于E、作AFCD于F，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，AE=2AF，纸条的两边互相平行，四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC，AD=BC，AEB=AFD=90，ABEADF，=，即=故答案为：AB=2BC考点：相似三角形的判定与性质点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键19【解析】试题分析：解：过F作FHAB交CE于H，FHAB，HFD=EBD，D为BF的中点，BD=DF，在BED和FHD中，BEDFHD（SAS），FH=BE，FHAB，CFHCAE，HF：AE=CF：AC，AC=AB，CF=AE，AF=BE=HF设AC=AB=1，AE=x，则=即为，解得x=，AF=，AE：AF=考点：相似三角形的判定与性质点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质及二元一次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键20【解析】试题分析：EFBDAEG=ABC，AGE=ACB，AEGABC，且SAEG=S四边形EBCGSAEG：SABC=1：4，AG：AC=1：2，又EFBDAGF=ACD，AFG=ADC，AGFACD，且相似比为1：2，SAFG：SACD=1：4，SAFG=S四边形FDCGSAFG=SADCAF：AD=GF：CD=AG：AC=1：2ACD=90AF=CF=DFCF：AD=1：2考点：相似三角形的判定与性质点评：本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方2140 0【解析】试题分析：若菱形的一个内角为70，求该菱形的“接近度”，可以求出菱形的相邻的另一内角的度数，这两个数的差的绝对值就是接近度；当菱形的“接近度”|mn|=0时，菱形是正方形解：若菱形的一个内角为70该菱形的相邻的另一内角的度数110“接近度”等于|11070|=40；当菱形的“接近度”等于0时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，则菱形是正方形考点：相似图形点评：题是一个阅读理解问题，真正读懂题目，理解“接近度”的含义是解决本题的关键22（1）1； （2）或或【解析】试题分析：（1）存在另外 1 条相似线如图1所示，过点P作l3BC交AC于Q，则APQABC；故答案为：1；（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1：2如图2所示，共有4条相似线：第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1AC，=；第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2BC，=；第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，=；第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，=，=故答案为：或或考点：相似三角形的判定与性质点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏23【解析】试题分析：先设=k，可得x=2k，y=3k，z=4k，再把x、y、z的值都代入所求式子计算即可解：设=k，可得x=2k，y=3k，z=4k，=考点：比例的性质点评：本题考查了比例的性质解题的关键是先假设=k，可得x=2k，y=3k，z=4k，降低计算难度24经2或0.8秒钟PBQ与ABC相似【解析】试题分析：设经x秒钟PBQ与ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，AB=8cm，BC=16cm，BP=ABAP=（82x）cm，B是公共角，当，即时，PBQABC，解得：x=2；当，即时，QBPABC，解得：x=0.8，经2或0.8秒钟PBQ与ABC相似考点：相似三角形的性质点评：此题考查了相似三角形的判定此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用25（1）8cm （2）40cm （3）16cm2【解析】试题分析：（1）ABCABC，AB边上的中线CD=4cm，=，CD=4cm2=8cm，AB边上的中线CD的长为8cm；（2）ABCABC，ABC的周长为20cm，=，CABC=20cm2=40cm，ABC的周长为40cm；（3）ABCABC，ABC的面积是64cm2，=，SABC=64cm24=16cm2，ABC的面积是16cm2考点：相似三角形的性质点评：本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方26见解析【解析】试题分析：（1）由题意，ABC中，BAC=90，D为BC的中点，可得，BD=CD，AD=CD，所以，C=DAC，又由AEAD，所以，EAB+BAD=90，BAD+DAC=90，所以，EAB=C，即可证得；（2）由（1）得，EAB=CAD，所以，当ABE=ADC或AB=BE或E=C或=时，ABE和ADC一定相似证明：（1）ABC中，BAC=90，D为BC的中点，BD=CD，AD=CD，C=DAC，又AEAD，EAB+BAD=90，BAD+DAC=90，EAB=C，EABECA；（2）由（1）得，EAB=CAD，当ABE=ADC或AB=BE或E=C或=时，ABE和ADC一定相似考点：相似三角形的判定点评：本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，是正确解答本题的基础274.4m【解析】试题分析：延长OD，DOBF，DOE=90，OD=0.8m，OE=0.8m，DEB=45，ABBF，BAE=45，AB=BE，设AB=EB=xm，ABBF，COBF，ABCO，ABFCOF，=，=，解得：x=4.4m经检验：x=4.4是原方程的解答：围墙AB的高度是4.4m考点：中心投影；相似三角形的判定与性质点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明ABFCOF282：3【解析】试题分析：过点F作FEBD，交AC于点E，求出=，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可解：过点F作FEBD，交AC于点E，=，AF：BF=1：2，=，=，即FE=BC，BC：CD=2：1，CD=BC，FEBD，=即FN：ND=2：3证法二、连接CF、AD，AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，=