高三二轮专题突破 专题三 第3讲推理与证明.doc

第3讲推理与证明【高考考情解读】1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法考查“归纳猜想证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大1 合情推理(1)归纳推理归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理的思维过程如下：(2)类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理的思维过程如下：2 演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般性原理小前提所研究的特殊情况结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确3 直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为得到一个明显成立的条件4 间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示5 数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时结论成立(2)假设nk(kN*，且kn0)时结论成立，证明nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对任意nn0，且nN*时，结论都成立考点一归纳推理例1(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000. 归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠 (1)在数列an中，若a12，a26，且当nN*时，an2是anan1的个位数字，则a2 014等于()A2 B4 C6 D8答案A解析由a12，a26，得a32，a42，a54，a68，a72，a86，据此周期为6，又2 01463354，所以a2 014a42，故答案选A.(2)如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上a每次只能移动一个金属片；b在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)则f(3)_；f(n)_.答案72n1解析f(1)1，f(2)3，f(3)2f(2)17.先把上面的n1个金属片移到2号针，需要f(n1)次，然后把最下面的一个金属片移到3号针，需要1次，再把2号针上的n1个金属片移到3号针，需要f(n1)次，所以f(n)2f(n1)1，得f(n)12f(n1)1，故数列f(n)1是以2为首项，公比为2的等比数列，所以f(n)12n，于是f(n)2n1.考点二类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOMkAB.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOMkAB_.答案(1)(2)解析(1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有将A，B代入双曲线1中得1，1，两式相减得，即，即，即kOMkAB. 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等 (1)若数列an是等差数列，bn，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()Adn BdnCdn Ddn(2)命题p：已知椭圆1(ab0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线1(ab0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作F1PF2的_的垂线，垂足为M，则OM的长为定值_答案(1)D(2)内角平分线a解析(1)由an为等差数列，设公差为d，则bna1d，又正项数列cn为等比数列，设公比为q，则dnc1q，故选D.(2)对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q.由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2PQ，从而OMF1Q且OMF1Q.而F1QF1PPQF1PPF22a，所以OMa.对于双曲线，过F2作F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OMa.因为OMF1Q(PF1PF2)2aa.考点三直接证明与间接证明例3已知数列an满足：a1，anan10 (n1)；数列bn满足：bnaa (n1)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列(1)解已知化为，而1a，所以数列1a是首项为，公比为的等比数列，则1an1，则a1n1，由anan10，知数列an的项正负相间出现，因此an(1)n1 ，bnaann1n1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设mn.(1)解2，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(n1)2n1，即an.(2)证明12n，所以bn，所以Pn(1b1)(1b3)(1b2n1)(11).用数学归纳法证明如下：当n1时，P12.假设当nk(k1)时命题成立，即Pk(1b1)(1b3)(1b2k1)(11)，则nk1时，Pk1(1b1)(1b3)(1b2k1)(1b2k1)(11).因为，所以P()22()20，所以Pk1，即当nk1时结论成立由可得对于任意正整数n，Pn都成立 (1)用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到nk1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题，运用放缩法时，要注意放缩的“度”(2)用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明 已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2n1a，nN*，数列bn满足bnTn为数列bn的前n项和(1)求an，bn；(2)试比较T2n与2n2的大小解(1)设an首项为a1，公差为d，在S2n1a中，令n1,2得即解得a12，d4，an4n2.bn(2)T2n1223222432422n222n31222422n24(12n)3n43n2n2n.T2n(2n2)(4n4n1)当n1时，(4n4n1)0，当n3时，(4n4n1)0，猜想当n2时，T2n2n2，即n2时，4n4n1.下面用数学归纳法证明：当n2时，4216,4219,169，成立；假设当nk(k2)时成立，即4k4k1.则当nk1时，4k144k4(4k1)16k44k54(k1)1，nk1时成立由得，当n2时，4n4n1成立综上，当n1时，T2n2n2.1 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式2 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程3 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明nk1时要用上nk时的假设，其次要明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同中间的计算过程千万不能省略(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论.1 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为_答案2 013解析观察数阵，记第n行的第1个数为an，则有a2a12，a3a24，a4a36，a5a48，anan12(n1)将以上各等式两边分别相加，得ana124682(n1)n(n1)，所以ann(n1)1，所以a451 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 9811622 013.2 在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法，计算“123234n(n1)(n2)”的结果为_答案n(n1)(n2)(n3)解析类比k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，可得到k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，先逐项裂项，然后累加即得n(n1)(n2)(n3)(推荐时间：60分钟)一、选择题1 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()Aann2n1 BanCan Dan答案C解析从图中观察五角星构成规律，n1时，有1个；n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；所以an1234n.2 已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，所以不正确；对于，其假设正确3 已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a30，则f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒为正数 B恒为负数C恒为0 D可正可负答案A解析由已知得f(0)0，a1a52a30，所以a1a5.由于f(x)单调递增且为奇函数，所以f(a1)f(a5)f(a5)f(a5)0，f(a3)0.选A.4 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()A(7,5) B(5,7) C(2,10) D(10,1)答案B解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有个整数时，注意到60.(1)解f(x)2xex1x2ex1x22xx(x2)(ex11)令f(x)0得x2或x0或x1，易得f(x)在(2,0)，(1，)上符号为正，在(，2)，(0,1)上符号为负，故函数yf(x)的单调增区间为(2,0)，(1，)，单调减区间为(，2)，(0,1)(2)证明设gn(x)ex1(x1)，当n1时，只需证明当x(