高中数学选修课程4-4中“参数方程”的内容分析及教学建议.pdf

盖 与 敦 学 同 行 2 0 0 7年第8 期 高中 江苏省睢宁县教育局教研室 魏本义 普通 高中数学课程标 准 实验 以下简称新 课标 选修系列 4 4 参数方程 它 相对 于原 全 日 制普通高级 中学数学教学大纲 是新增 内容 这部分 知识是在学生完成必修 系列课 程学习的基础上 为 希望在理工 经济等方面发展的学生设置的 因此教 师在实施教学的过程 中应首先 学好新 课标 其 次对 课程 内容 教学 目标 要求 教学 内容 的处理等方 面 要有一个清晰的认识 本文 主要对 参数方程 这部 分内容谈一些个人的认识与理解 设想与建议 以供 大 家参考 1 关注新课标要求 领悟新教材编者的意图 1 1 新课标对参数方程 内容的定位 参数方程 相对于普通方程 它是曲线的另一种 表示形式 它弥补 了普通方程表示曲线方程的不 足 为研究一类复杂的曲线 如摆线 心脏线等 提供 了 有力的工具 同时它还是 形 与 数 的又一次完美而 有机的结合 通过对参数方程的学习 使学生掌握参数方程 的 基本概念 了解曲线方程的多种表现形式 体会从实 际问题 中抽象出数学问题的过程 培养探究数学问题 的兴趣和能力 体会数学在实际中的应用价值 提高 应用意识和实践能力 1 2 新课标对参数方程的要求 1 通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的 关系 写 出抛 物运动 轨迹 的参 数方程 体会 参数 的 意义 2 分 析直线 圆和 圆锥 曲线 的几何 性 质 选 择 适 当的参数 写出它们的参数方程 3 举例说明某些曲线用参数方程表示 比用普通 方程表示更方便 感受参数方程的优越性 4 借助教具或计算机软件 观察圆在直线上滚 动时圆上定点的轨迹 平摆线 直线在圆上滚动时直 线上定点的轨迹 渐开线 了解平摆线和渐开线的生 成过程 并能推导出它们的参数方程 5 通过阅读材料 了解其他摆线 变 幅平摆线 变幅渐开线 外摆线 内摆线 环摆线 的生成过程 了 解摆线在实际 中应用的实例 例如 最速降线是平摆 线 椭圆是特殊 的内摆线 卡丹转 盘 圆摆线齿轮 与渐开线齿轮 收割机 翻土机等机 械装置 的摆线原 理与设计 星形线与公共汽车门 了解摆线在刻画行 星运动轨道中的作用 完成一个学习总结报告 报告应包括三方面的内 容 1 知识 的总结 对本专题 整体结构 和内容的理 解 进一步认识数形结合思想 思考本专题与高 中其 他 内容之间的联 系 2 拓展 通过查阅资料 调查研 究 访问求教 独立思考 进一步探讨参数方程 摆线 的应用 3 学习本专题 的感受 体会 1 3 体会新教材编者的用意 笔者近期研读 了在新课标要求下的几个版本 的 教材 受益匪浅 新教材是编者们聪明智慧的结晶 也 是他们从教多年积累经验的升华 更是集百家之长 精雕细琢的精品 1 3 1 编写过程 中突 出解析 几何研 究 问题的一般 方 法 几 何 问题 坐 标 法 翟 羹 集 质 位 置 关 系 r 1 3 2 内容 组 织的主要 形 式 代数问题 的解 由此可以看 出编者 的意 图是 通过创设情境 从 具 体实例 出发 展开数 学知 识 的发 生 发 展过 程 使 学 生能从 中发现 问题 提 出问题 经历数学的发 现和创 造过程 了解知识 的来龙去脉 同时还鼓 励学生 自主 探索 并在独立思考 探索和交流的过程中 获得对数 学较为全面的体验和理解 2 教学建议及案例赏析 参数方程是以 参数 作为中介来表示 曲线的方 程 具有一定的抽象性 刚开始学生不易接受 因此在 教学过程 中 教师要通过创设丰富的问题情境来组织 维普资讯 学生活动 从而达到建构数学概念和渗透数学思想 的 目的 2 1 师生共同学习 引言 2 几何学主要是研究空 间图形 的形状 大小和位置 关系 解析几何是将坐标方法引进几何 图形 的研究 把 形 和 数 有机地结合起来 使几何学的研究变得 更加精确 深刻 开创 了几何学研究的新篇章 我们 曾 经运用坐标方法成功地研究 了椭 圆 双曲线及抛物线 等二次曲线 的性质 然而 客观世界 中丰 富多彩 的曲 线仍然令我们 目不暇接 凸轮 齿轮等机械零件 由于它们 的轮廓线采用 了不 同类 型的曲线 在传动 自动化方 面具 有不 同的 功能 美丽的四叶玫瑰线 外摆线 又把我们带进一 个美妙的曲线世界 怎样拓展坐标系 运用多种代数形式刻画客观世 界中丰富多彩的几何 图形呢 阅读这散文诗一样的 引言 着实让人情不 自禁 地进入到数学大世界中 2 2 注重引导学生参与 学生是学习的主体 数学知识 的建构以及数学方 法的理解和运用 必须通过学生 的努力才能实现 新 课标要求 让学生经历知识的产生 发展过程 因此 在 参数 等概念的引入上 尽可能地让学生对这部分 知识的形 成过程进行探讨 体验引入 参 数 的必要 性 实用性 千万不要采用 填鸭式 的教学方法 案例 1 参数方程新课导人片断 选 自特级教师 陈光立 2 0 0 6 年 l 2月 8日在睢宁所上的一节公开课 教师 现在我们这样建立平面直角坐标系 每一 位同学对应着第一象限的一个格点 第一排 同学的纵 坐标是 1 第一列同学的横坐标是 1 相邻两个同学 的 间距是一个单位 下面我喊你们的坐标来提 问 首先 请 1 2 同学回答你对应 的点到原点的距离是多少 学生 教师 请 3 3 同学计算经过你和第一位 同学对 应 点 的直线 的斜 率 1 学生 3 斜率 k 一 教师 5 4 同学 你对应的点在刚才两点所确定 的直线上吗 为什么 学生 在 因为刚才两点确定的直线 l 一2 q 3 0经过 点 5 4 教师 完全正确 下面大家猜猜看我该提问谁 学生先 茫然 后议 论纷纷 教师 回想一下 我第 1次喊 的是 1 2 第 2次 喊的是 3 3 第 3次喊 的是 5 4 那么第 4次该轮 到谁呢 如果猜出来了 大家都 向她瞧 逐渐地 有学生把 目光投 向 7 5 同学 接着该 同学站了起来 教师 为什么是你呢 学生 7 5 因为点 7 5 在直线 一2 3 0上 教师 该直线上不止一个整点 为什 么轮到 7 5 呢 学生 因为前几个 同学对应 的横 纵坐标分别 是公差为 2和 1的等差数列 学生 横坐标是连续的奇数 纵坐标是从 2开 始的 自然数 教师 很好 第 4次轮 到 7 5 再想一想 照此 规律 我第 8次又该喊谁呢 考虑一下横坐标和纵坐 标分别与我喊的序号有什么关系 学生 横坐标是第 序号 个奇数 纵坐标是序 号加 1 教师 能用数学语言来表示吗 学生 z 设序号为 t 则 一2 一1 Y一 1 也就 是说 Y分别是 t的函数 教师 也就是说直线 l 一2 y 3 0上任意一点 一 9 1 的 坐 标 都是 某 个变数 的 函 数 并且 对于 I Y f 十 1 每一个实数 t 该方程组所确定的点 M x 都在直线 l 上 一 f一1 结论 方程组 为变量 表示直线 我 I Y一 十 l 们把它叫做直线 的参数方程 t叫做参 变数 简称 为 参数 参数方程是学生第一次接触的新概念 如何从学 生原有的认识结构出发 创设情境 让学生参 与概念 的产生和发展过程 从 中领悟参数 的作用 以及建立 参数方程的可能性和必要性 就显得 十分重要 本节 课这一概念 引入 的设计 贴近学生实 际 从学生熟悉 的知识 出发 引导 学生 积极地去探索未知 问题的规 律 理解概念的内涵 使学生 留下了较深刻的印象 取 得了较好的效果 2 3注重 实例分 析 参数思想的引进 不仅有利 于曲线方程 的表达 也成为研究曲线性质 解决相关问题的有力工具 案例 2 如 图 1 已知 M 是 一 2 2 椭圆 告一1 口 6 0 上在第 c 一 象限的点 A a 0 和 B O 6 是 椭圆的两个顶点 0为原点 求四 边形 MAO B面积的最大值 教学建议 图 1 解法 1 设 M x M Y M M 0 y M O 则 b辟 s 一S S 脚 维普资讯 一 丢 0 A 十 丢 0 B z M 一 1 a 6 1 一 碧 专 6 z M 一 丢 6 厢 一 百I 6 丽 一 6 丽 1 6 而 一 解 法 2 M 是 椭 圆x 2 T y2 1 口 6 0 上在第一 象限 的 点 由 于 椭 圆 y 2 1的参 数 方 程 为 j 二 c0 故 可 设M 口 c s b sin 其 中 0 号 O l V s ln 厶 因此 S 一S S 脚 一 oA y M 0B z M 一 专 a 6 s in c s 一 a 6 s in 号 所以 当 一 手时 四 边 形M A O B 面积的 最大 值 为 可以看到 在教师主导下 的两种解决问题 的方法 通过比较 学生将真正地感受到参数方程的优越性 2 4 鼓 励综合运 用 参数方程与学生已有 的解析几何 平面 向量 三 角函数等数学知识联系较紧 应鼓励学生将所学知识 综合运用 从多个角度理解和运用本专题 的内容 提 高学牛分 析问题 与解 决 问题 的能 力 案例 3 已知 圆 A 的半径是 r B是圆周上一点 当圆 A沿着一 条直线 z 滚动时 I 求 AB 的 中点 M 的轨 迹 方程 P是 AB延长线上一点且 AB一2 B P 求点 P的轨迹方程 教 学建议 图 2 1 引导学生依题意确定 以 B点的初始位置为 原点 直线 z 为 z轴 建立平面直角坐标系 图 2 2 引入参数 a 使 B AC a 2 5 借 助媒体 展示 本专题 向学生呈现出了大量优美 的曲线 在条件 允许 的情况下 借助教具或计算机软件 让学生观察 斜抛运动 包括弹道曲线 摆线 渐开线等轨迹的生 成过程 欣赏各种不 同的曲线 如心脏线 螺线 玫瑰 线 叶形线 变幅平摆线 外摆线 内摆线 环摆线等 使学生感受这些曲线的美 案例 4 数学鉴赏课 摆线是研究一个动圆在一 条曲线 基线 上滚动时 动圆上一点的轨迹 由于采 用不同类型的曲线作为基线 产生了摆线的大家族 当基线是直线时 就得 到平摆 线 简 称摆线 或变 幅平摆线 图 3 当基 线 是 圆且 动 圆在 定圆内滚动 时 就得 到内摆 线或 变 幅内摆 线 其 中 当 定圆半 径是 动 圆半 径 的 4 变 幅 平 摆 线 长幅 图 3 倍时 内摆线称为星形线 图 4 J 一 x 内摆线 J Y 变幅 内摆线 长幅 Y 星形线 变幅内摆线 图 4 教学建议 1 借助媒体展示摆线在不同条件中的图形 2 鉴赏数学的美 激发学生学习兴趣 3 提出问题 能否写出其参数方程 课外作业 2 6组 织 调 查 研 究 引导并组 织 学 生 通 过 网 络 收集 实 际 调查 计 算 机制作 学习整理等方式 体会坐