山东省威海市高三数学上学期第一次模拟试卷 文（含解析）.doc

2015年山东省威海市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）abcd2已知集合a=x|x21，b=x|y=，则arb=（）a（2，+）b（，1（2，+）c（，1）（2，+）d1，02，+）3设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）ax+y=2bx+y2cx2+y22dxy14如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）a12，4b16，5c20，5d24，65已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）abcd6已知（，2），cos=，tan2=（）a2b2cd7定义：|=a1a4a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）abcd8如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）a2b3cd59已知函数f（x）=，则y=f（2x）的大致图象是（）abcd10已知m是abc内的一点（不含边界），且=2，bac=30若mbc，mab，mca的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=+，则f（x，y，z）的最小值为（）a26b32c36d48二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11向面积为s的abc内任投一点p，则随机事件“pbc的面积大于”的概率为12设x，y满足约束条件，则 x2+y2的最大值为13对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为14已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，点p为抛物线上的动点，点m为其准线上的动点，若fpm为边长是12的等边三角形，则此抛物线方程为15已知偶函数f（x）满足f（x+1）=，且当x1，0时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，sin（ba）=cosc（）求a，b，c；（）若sabc=3+，求a， c17某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：型号 甲样式 乙样式 丙样式300mlz25003000500ml300045005000按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个（）求z的值；（）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率18已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为sn，且s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），tn为数列bn的前n项和，若tnm恒成立，求m的最大值19如图所示，已知在四棱锥pabcd中，cdab，adab，bcpc，且ad=dc=pa=ab=a（）求证：bc平面pac；（）试在线段pb上找一点m，使cm平面pad，并说明理由；（）若点m是由（）中确定的，且paab，求四面体mpac的体积20已知函数f（x）=xalnx（ar）（）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（）若g（x）=，在1，e（e=2.71828）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围21在平面直角坐标系中，abc的两个顶点a，b的坐标分别是（，0），（，0），点g是abc的重心，y轴上一点m满足gmab，且|mc|=|mb|（）求abc的顶点c的轨迹e的方程；（）不过点a的直线l与轨迹e交于不同的两点p，q若以pq为直径的圆过点a时，试判断直线l是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由2015年山东省威海市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）abcd考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答： 解：由z（1+3i）=i，得，z的虚部为故选：a点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2已知集合a=x|x21，b=x|y=，则arb=（）a（2，+）b（，1（2，+）c（，1）（2，+）d1，02，+）考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 求出a中不等式的解集确定出a，求出b中x的范围确定出b，找出a与b补集的交集即可解答： 解：由a中不等式解得：x1或x1，即a=（，11，+），由b中y=，得到1log2x0，即log2x1=log22，解得：0x2，即b=（0，2，rb=（，0（2，+），则arb=（，1（2，+），故选：b点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）ax+y=2bx+y2cx2+y22dxy1考点： 充要条件分析： 先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件解答： 解：若时有x+y2但反之不成立，例如当x=3，y=10满足x+y2当不满足所以是x+y2的充分不必要条件所以x+y2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件故选b点评： 本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例4如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）a12，4b16，5c20，5d24，6考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5解答： 解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5故选：c点评： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查5已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）abcd考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率解答： 解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直双曲线的渐近线方程为y=3x=3，得b2=9a2，c2a2=9a2，此时，离心率e=故选：c点评： 本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题6已知（，2），cos=，tan2=（）a2b2cd考点： 二倍角的正切专题： 三角函数的求值分析： 利用同角三角函数的基本关系式求出正弦函数值，利用正切函数的二倍角公式求解即可解答： 解：（，2），cos=，sin=，tan=2tan2=故选：d点评： 本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力7定义：|=a1a4a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）abcd考点： 函数y=asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的图像与性质分析： 由题意可得解析式f（x）=2sin（x），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin（x+m），由m=k+，kz，即可求m的最小值解答： 解：由题意可得：f（x）=sinxcosx=2sin（x），将其图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m=k+，kz，故解得：m（m0）的最小值是故选：b点评： 本题主要考查了函数y=asin（x+）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查8如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）a2b3cd5考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由三视图可知该几何体是一组合体，下部为底面边长为2，高为2的正三棱柱，上部为球体，直径为1，再分别求体积，并且相加即可解答： 解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，下部为底面边长为2，高为2的正三棱柱，上部为球体，直径为1，所以该几何体的体积v=+=，故选：c点评： 本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是准确还原几何体，并由三视图中的相关数据求出所对应的几何元素的长度，考查空间想象力9已知函数f（x）=，则y=f（2x）的大致图象是（）abcd考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 先由f（x）的函数表达式得出函数f（2x）的函数表达式，由函数表达式易得答案解答： 解：函数f（x）=，则y=f（2x）=，故函数f（2x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有a符合，故选：a点评： 本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑10已知m是abc内的一点（不含边界），且=2，bac=30若mbc，mab，mca的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=+，则f（x，y，z）的最小值为（）a26b32c36d48考点： 函数的最值及其几何意义专题： 综合题；不等式的解法及应用分析： 先由条件求得abac=4，再由sabc=abacsin30=1，可得x+y+z=1 再由f（x，y，z）=+=（+）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值解答： 解：=2，bac=30，abaccos30=2，abac=4sabc=abacsin30=1=x+y+zf（x，y，z）=+=（+）（x+y+z）=1+4+9+14+4+6+12=36，即f（x，y，z）=+的最小值为36，故选：c点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11向面积为s的abc内任投一点p，则随机事件“pbc的面积大于”的概率为考点： 几何概型专题： 概率与统计分析： 首先分析题目求在面积为s的abc的边ab上任取一点p，则pbc的面积大于 的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么再根据几何关系求解出它们的比例即可解答： 解：记事件a=pbc的面积大于，基本事件空间是三角形abc的面积，（如图）事件a的几何度量为图中阴影部分的面积（d、e分别是三角形的边上的三等分点），因为adeabc，且相似比为，=，阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以p（a）=故答案为：点评： 本题主要考查了几何概型由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意12设x，y满足约束条件，则 x2+y2的最大值为29考点： 简单线性规划的应用专题： 不等式的解法及应用分析： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示（0，0）到可行域的距离的平方，只需求出（0，0）到可行域的距离的最大值即可解答： 解：根据约束条件画出可行域z=x2+y2表示（0，0）到可行域的距离的平方，当在区域内点a时，距离最大，可得a（2，5）最大距离为， x2+y2的最大值为：29故答案为：29点评： 本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用几何意义求最值，属于中档题13对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9考点： 等差数列的通项公式；数列的函数特性专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意可得a3a2=73=4=22，a4a3=137=6=23，amam1=2（m1），累加由等差数列的求和公式可得am，验证可得解答： 解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3a2=73=4=22，a4a3=137=6=23，amam1=2（m1），以上m2个式子相加可得ama2=（m+1）（m2），am=a2+（m+1）（m2）=m2m+1，当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题14已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，点p为抛物线上的动点，点m为其准线上的动点，若fpm为边长是12的等边三角形，则此抛物线方程为y2=12x考点： 抛物线的标准方程专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用抛物线的定义得出pm垂直于抛物线的准线，设（，m），求出pmf的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到fm，列出方程求出m、p的值，得到抛物线方程解答： 解：据题意知，pmf为等边三角形，pf=pm，pm抛物线的准线，设p（，m），则m（，m），等边三角形边长为+=12，f（，0）所以由pm=fm，得=12，解得p=6，m=6，抛物线方程为y2=12x故答案为：y2=12x点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力15已知偶函数f（x）满足f（x+1）=，且当x1，0时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是5，+）考点： 抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系专题： 综合题；函数的性质及应用分析： 根据f（x+1）=，可得f（x）是周期为2的周期函数 再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得函数在1，3上的解析式根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围解答： 解：函数f（x）满足f（x+1）=，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得当x0，1时，f（x）=x2，故当x1，1时，f（x）=x2 ，当x1，3时，f（x）=（x2）2由于函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有4个交点，所以可得1loga（3+2），实数a的取值范围是5，+）故答案为：5，+）点评： 本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，sin（ba）=cosc（）求a，b，c；（）若sabc=3+，求a，c考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数专题： 解三角形分析： （）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求a，b，c；（）通过sabc=3+，以及正弦定理即可求a，c解答： 解：（），sinccosa+sinccosb=coscsina+coscsinb，即 sinccosacoscsina=coscsinbsinccosb，得 sin（ca）=sin（bc） ca=bc，或ca=（bc）（不成立） 即 2c=a+b，得，则，或（舍去） （）又，即 ，点评： 本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力17某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：型号 甲样式 乙样式 丙样式300mlz25003000500ml300045005000按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个（）求z的值；（）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法专题： 概率与统计分析： （）设在丙样式的杯子中抽取了x个，利用抽样比直接求解即可（）设所抽样本中有m个300ml的杯子，求出从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件个数，求出至少有1个300ml的杯子的基本事件个数，然后求解概率解答： 解：（）设在丙样式的杯子中抽取了x个，由题意，x=40在甲样式的杯子中抽取了1004035=25个，解得z=2000（）设所抽样本中有m个300ml的杯子，=4k2b24（k2+3）（b26）=12（k2b2+6）0，m=2也就是抽取的5个样本中有2个300ml的杯子，分别记作a1，a2；3个500ml的杯子，分别记作b1，b2，b3则从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件为（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共10个其中至少有1个300ml的杯子的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a1，a2），共7个至少有1个300ml的杯子的概率为点评： 本题考查古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，基本知识的考查18已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为sn，且s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），tn为数列bn的前n项和，若tnm恒成立，求m的最大值考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （）法一：由s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式（）法二：由s1+a1，s3+a3，s2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式（）求出，利用错位相减法求出，转化tnm恒成立，为（tn）minm，通过tn为递增数列，求解m的最大值即可解答： 解：（）法一：由题意可知：2（s3+a3）=（s1+a1）+（s2+a2）s3s1+s3s2=a1+a22a3，即4a3=a1，于是，q0，； a1=1，（）法二：由题意可知：2（s3+a3）=（s1+a1）+（s2+a2）当q=1时，不符合题意；当q1时，2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，4q2=1，q0，a1=1，（），（1）（2）（1）（2）得：=tnm恒成立，只需（tn）minmtn为递增数列，当n=1时，（tn）min=1，m1，m的最大值为1点评： 本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力19如图所示，已知在四棱锥pabcd中，cdab，adab，bcpc，且ad=dc=pa=ab=a（）求证：bc平面pac；（）试在线段pb上找一点m，使cm平面pad，并说明理由；（）若点m是由（）中确定的，且paab，求四面体mpac的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （）过c作ceab，垂足为e，证明acbc结合bcpc，通过直线与平面垂直的判定定理证明bc平面pac（）当m为pb中点时，cm平面pad证明：取ap中点为f，连接cm，fm，df证明cmdf通过直线与平面平行的判定定理证明cm平面pad（）法一：利用，求出底面面积与高，即可求解几何体的体积法二：通过证明ce面pam，利用求解即可解答： 解：（）过c作ceab，垂足为e，又已知在四边形abcd中，adab，cdab，ad=dc，四边形adce是正方形，acd=ace=45又，be=ae=cebce=45acb=90acbc又bcpc，acpc=c，bc平面pac（）当m为pb中点时，cm平面pad证明：取ap中点为f，连接cm，fm，df则fmab，且cdab，fmcd，fm=cd四边形cdfm为平行四边形，cmdfdf平面pad，cm平面pad，cm平面pad（）法一：由（）知，bc平面pac，m为pb中点，所以点m到平面pac的距离等于， 在bpa中，paab，所以在bcp中，在pac中，pac是，法二：也可以利用点评： 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力空间想象能力20已知函数f（x）=xalnx（ar）（）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（）若g（x）=，在1，e（e=2.71828）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： （）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程（）求出函数的定义域，函数的导函数，a1时，a1时，分别求解函数的单调区间即可（）转化已知条件为函数在1，e上的最小值h（x）min0，利用第（）问的结果，通过ae1时，a0时，0ae1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围解答： 解：（）当a=2时，f（x）=x2lnx，f（1）=1，切点（1，1），k=f（1）=12=1，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y1=（x1），即x+y2=0（），定义域为（0，+），当a+10，即a1时，令h（x）0，x0，x1+a令h（x）0，x0，0x1+a当a+1