【中考攻略】中考数学 专题18 动态几何之和差问题探讨.doc

【2013年中考攻略】专题18：动态几何之和差问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题进行了探讨，本专题对和差问题进行探讨。结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨：（1）静态和差问题；（2）和差为定值问题；（3）和差最大问题；（4）和差最小问题。一、静态和差问题：典型例题：例1：（2012海南省3分）如图，在abc中，b与c的平分线交于点o. 过o点作debc，分别交ab、ac于d、e若ab=5，ac=4，则ade的周长是 .【答案】9。【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】ob是b的平分线，dbo=obc。 又debc，obc =bod。dbo=bod。do=db。 同理，eo=ec。 又ab=5，ac=4， ade的周长=addeae=addoeoae=addbecae=abac=54=9。例2：（2012湖北荆门3分）如图，已知正方形abcd的对角线长为2，将正方形abcd沿直线ef折叠，则图中阴影部分的周长为【 】a 8 b 4 c 8 d 6【答案】c。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形abcd的对角线长为2，即bd=2，a=90，ab=ad，abd=45，ab=bdcosabd=bdcos45=2。ab=bc=cd=ad=2。由折叠的性质：am=am，dn=dn，ad=ad，图中阴影部分的周长为am+bm+bc+cn+dn+ad=am+bm+bc+cn+dn+ad=ab+bc+cd+ad=2+2+2+2=8。故选c。例3：（2012四川内江3分）如图，在矩形abcd中，ab=10，bc=5点e、f分别在ab、cd上，将矩形abcd沿ef折叠，使点a、d分别落在矩形abcd外部的点a1、d1处，则阴影部分图形的周长为【 】a.15 b.20 c.25 d.30【答案】d。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得a1e=ae，a1d1=ad，d1f=df，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。故选d。例4：（2012山东枣庄3分）如图：矩形abcd的对角线ac=10，bc=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】a、14 b、16 c、20 d、28 【答案】d。【考点】平移的性质，勾股定理。【分析】由勾股定理，得ab=，将五个小矩形的所有上边平移至ad，所有下边平移至bc，所有左边平移至ab，所有右边平移至cd，五个小矩形的周长之和=2（ab+cd）=2（6+8）=28。故选d。例5：（2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形abcd中，过点a作ae垂直于直线bc于点e，作af垂直于直线cd于点f，若ab5，bc6，则cecf的值为【 】a11 b11c11或11 d11或1【答案】c。【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。【分析】依题意，有如图的两种情况。设be=x，df=y。 如图1，由ab5，be=x，得。 由平行四边形abcd的面积为15，bc6，得， 解得（负数舍去）。 由bc6，df=y，得。由平行四边形abcd的面积为15，ab5，得， 解得（负数舍去）。 cecf=（6）（5）=11。 如图2，同理可得be= ，df=。 cecf=（6）（5）=11。 故选c。例6：（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形abcd中，abc90，cdad，ad2cd22ab2（1）求证：abbc；（2）当bead于e时，试证明：beaecd【答案】解：（1）证明：连接ac。abc90，ab2bc2ac2。cdad，ad2cd2ac2。ad2cd22ab2，ab2bc22ab2。abbc。（2）证明：过c作cfbe于f。bead，四边形cdef是矩形。cdef。abebae90，abecbf90，baecbf。又abbc，beacfb，baecbf（aas）。aebf。bebfef aecd。【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接ac，构造直角三角形，利用勾股定理证明。（2）可采用“截长”法证明，过点c作cfbe于f，易证cd=ef，只需再证明ae=bf即可，这一点又可通过全等三角形获证.例7：（2012内蒙古呼和浩特7分）如图，四边形abcd是正方形，点g是bc边上任意一点，deag于e，bfde，交ag于f（1）求证：afbf=ef；（2）将abf绕点a逆时针旋转，使得ab与ad重合，记此时点f的对应点为点f，若正方形边长为3，求点f与旋转前的图中点e之间的距离【答案】（1）证明：如图，正方形abcd，ab=ad，bad=bag+ead=90。 deag，aed=90。ead+ade=90。ade=baf。又bfde，aeb=aed=90。在aed和bfa中，aeb=aed，ade=baf，ad = ab。aedbda（aas）。bf=ae。afae=ef，afbf=ef。（2）解：如图，根据题意知：faf=90，de=af=af，fae=aed=90，即fae+aed=180。afed。四边形aedf为平行四边形。又aed=90，四边形aedf是矩形。ef=ad=3。点f与旋转前的图中点e之间的距离为3。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）由四边形abcd为正方形，可得出bad为90，ab=ad，进而得到bag与ead互余，又de垂直于ag，得到ead与ade互余，根据同角的余角相等可得出ade=baf，利用aas可得出三角形abf与三角形ade全等，利用全等三角的对应边相等可得出bf=ae，由afae=ef，等量代换可得证。（2）将abf绕点a逆时针旋转，使得ab与ad重合，记此时点f的对应点为点f，连接ef，如图所示，由旋转的性质可得出faf为直角，af=af，由（1）的全等可得出af=de，等量代换可得出de=af=af，再利用同旁内角互补两直线平行得到af与de平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出aedf为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出aedf为矩形，根据矩形的对角线相等可得出ef=ad，由ad的长即可求出ef的长。例8：（2012重庆市10分）已知：如图，在菱形abcd中，f为边bc的中点，df与对角线ac交于点m，过m作mecd于点e，1=2（1）若ce=1，求bc的长；（2）求证：am=df+me【答案】解：（1）四边形abcd是菱形，abcd。1=acd。 1=2，acd=2。mc=md。mecd，cd=2ce。ce=1，cd=2。bc=cd=2。（2）证明：f为边bc的中点，bf=cf=bc。cf=ce。在菱形abcd中，ac平分bcd，acb=acd。在cem和cfm中，ce=cf，acb=acd，cm=cm，cemcfm（sas），me=mf。延长ab交df于点g，abcd，g=2。1=2，1=g。am=mg。在cdf和bgf中，g=2，bfg=cfd，bf=cf，cdfbgf（aas）。gf=df。由图形可知，gm=gf+mf，am=df+me。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据菱形的对边平行可得abd，再根据两直线平行，内错角相等可得1=acd，所以acd=2，根据等角对等边的性质可得cm=dm，再根据等腰三角形三线合一的性质可得ce=de，然后求出cd的长度，即为菱形的边长bc的长度。（2）先利用sas证明cem和cfm全等，根据全等三角形对应边相等可得me=mf，延长ab交df于点g，然后证明1=g，根据等角对等边的性质可得am=gm，再利用aas证明cdf和bgf全等，根据全等三角形对应边相等可得gf=df，最后结合图形gm=gf+mf即可得证。例9：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段ac=n+1（其中n为正整数），点b在线段ac上，在线段ac同侧作正方形abmn及正方形bcef，连接am、me、ea得到ame当ab=1时，ame的面积记为s1；当ab=2时，ame的面积记为s2；当ab=3时，ame的面积记为s3；当ab=n时，ame的面积记为sn当n2时，snsn1= 例10：（2012贵州铜仁4分）如图，在abc中，abc和acb的平分线交于点e，过点e作mnbc交ab于m，交ac于n，若bm+cn=9，则线段mn的长为【 】a6b7c8d9【答案】d。【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】abc、acb的平分线相交于点e，mbe=ebc，ecn=ecb，mnbc，ebc=meb，nec=ecb。mbe=meb，nec=ecn。bm=me，en=cn。mn=me+en，即mn=bm+cn。bm+cn=9mn=9。故选d。例11：（2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张abc纸片，点d、e分别是边ab、ac上，将abc沿着de折叠压平，a与a重合，若a=75，则1+2=【 】a150b210c105d75【答案】a。【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。【分析】ade是abc翻折变换而成，aed=aed，ade=ade，a=a=75。aed+ade=aed+ade=18075=105，1+2=3602105=150。故选a。例12：（2012湖北孝感3分）已知是锐角，与互补，与互余，则的值是【 】a45 b60 c90 d180【答案】c。【考点】余角和补角、【分析】根据互余两角之和为90，互补两角之和为180，结合题意即可得出答案：由题意得，=180，=90，两式相减可得：=90。故选c。例13：（2012湖南长沙3分）如图，abcdef，那么bac+ace+cef= 度【答案】360。【考点】平行线的性质。【分析】abcd，bac+acd=180。cdef，cef+ecd=180。+得，bac+acd+cef+ecd=180+180=360，即bac+ace+cef=360。练习题：1. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角abc中，bac=90，ab=8，ac=6，de是ab边的垂直平分线，垂足为d，交边bc于点e，连接ae，则ace的周长为【 】a、16 b、15 c、14 d、132. （2012吉林省3分）如图，在等边abc中，d是边ac上一点，连接bd将bcd绕点b逆时针旋转60得到bae，连接ed若bc=10，bd=9，则aed的周长是_ _.3. （2012福建龙岩3分）如图，rtabc中，c=90，ac = bc = 6，e是斜边ab上任意一点，作efac于f，egbc于g，则矩形cfeg的周长是 4. （2012福建宁德4分）如图，在矩形abcd中，ab2，bc3，点e、f、g、h分别在矩形abcd的各边上，efhg，ehfg，则四边形efgh的周长是【 】a b c2 d25. （2012内蒙古包头10分）如图，已知ab为o的直径，过o上的点c的切线交ab 的延长线于点e , adec 于点d 且交o于点f ，连接bc , cf , ac 。（1）求证：bc=cf；（2）若ad=6 , de=8 ，求be 的长；（3）求证：af + 2df = ab。6. （2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且dfbe求证：cecf；（2）如图2，在正方形abcd中，e是ab上一点，g是ad上一点，如果gce45，请你利用（1）的结论证明：gebegd（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形abcd中，adbc（bcad），b90，abbc，e是ab上一点，且dce45，be4，de=10, 求直角梯形abcd的面积7. （2012黑龙江牡丹江8分）如图，abc中。ab=ac，p为底边bc上一点，peab，pfac， chab，垂足分别为e、f、h易证pe+pf=ch证明过程如下：（1）如图，p为bc延长线上的点时，其它条件不变，pe、pf、ch又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若a=300，abc的面积为49，点p在直线bc上，且p到直线ac的距离为pf，当pf=3时，则ab边上的高ch= 点p到ab边的距离pe= 8. （2012江苏南通3分）如图，在abc中，c70，沿图中虚线截去c，则12【 】a360 b250 c180 d1409.（2012江苏南京2分）如图，、是五边形abcde的4个外角，若，则 10.（2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，1+2=【 】。a225 b235 c270 d与虚线的位置有关11.（2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中+的度数是【 】a b c d 二、和差为定值问题：典型例题：例1： （2012广西崇左10分）如图所示，在正方形abcd中，点e、f分别在bc、cd上移动，但点a到ef的距离ah始终保持与ab的长度相等，问在点e、f移动过程中；（1）eaf的大小是否发生变化？请说明理由.（2）ecf的周长是否发生变化？请说明理由.【答案】解：（1）eaf的大小不会发生变化。理由如下：在正方形abcd中，ahef，ahf=d=90，af=af，ah=ad，rtahfrtadf(hl)。haf=daf。同理rtahertabe，hae=bae。haf+daf+hae+bae=90，eaf=haf+hae=45。eaf的大小不会发生变化。（2）ecf的周长不会发生变化。理由如下：由（1）知：rtahfrtadf， rtahertabe，fh=fd，eh=eb。ef=eh+fh=eb+fd。ce+cf+ef= ce+cf+ eb+fd=bc+cd。ce+cf+ef= ce+cf+ eb+fd=bc+cd。【考点】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）由hl证得rtahfrtadf和rtahertabe即可得eaf=haf+hae=45，即eaf的大小不会发生变化。（2）由（1）两个全等即可得ce+cf+ef= ce+cf+ eb+fd=bc+cd，即ce+cf+ef= ce+cf+ eb+fd=bc+cd。【点评】第二问，ecf的周长即ce+cf+ef为定值：正方形abcd边长的2倍。例2：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片abcd，点p为正方形ad边上的一点（不与点a、点d重合）将正方形纸片折叠，使点b落在p处，点c落在g处，pg交dc于h，折痕为ef，连接bp、bh（1）求证：apb=bph；（2）当点p在边ad上移动时，pdh的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设ap为x，四边形efgp的面积为s，求出s与x的函数关系式，试问s是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图1，pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp，即pbc=bph。又adbc，apb=pbc。apb=bph。（2）phd的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过b作bqph，垂足为q。由（1）知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp，abpqbp（aas）。ap=qp，ab=bq。又ab=bc，bc=bq。又c=bqh=90，bh=bh，bchbqh（hl）。ch=qh。phd的周长为：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。（3）如图3，过f作fmab，垂足为m，则fm=bc=ab。又ef为折痕，efbp。efm+mef=abp+bef=90。efm=abp。又a=emf=90，ab=me，efmbpa（asa）。em=ap=x在rtape中，（4be）2+x2=be2，即。又四边形pefg与四边形befc全等，。，当x=2时，s有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出pbc=bph，进而利用平行线的性质得出apb=pbc即可得出答案。（2）先由aas证明abpqbp，从而由hl得出bchbqh，即可得ch=qh。因此，pdh的周长=pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8为定值。（3）利用已知得出efmbpa，从而利用在rtape中，（4be）2+x2=be2，利用二次函数的最值求出即可。例3：（2012黑龙江绥化8分）如图，点e是矩形abcd的对角线bd上的一点，且be=bc，ab=3，bc=4，点p为直线ec上的一点，且pqbc于点q，prbd于点r（1）如图1，当点p为线段ec中点时，易证：pr+pq= （不需证明）（2）如图2，当点p为线段ec上的任意一点（不与点e、点c重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，当点p为线段ec延长线上的任意一点时，其它条件不变，则pr与pq之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【答案】解：（2）图2中结论prpq=仍成立。证明如下：连接bp，过c点作ckbd于点k。四边形abcd为矩形，bcd=90。又cd=ab=3，bc=4，。sbcd=bccd=bdck，34=5ck，ck=。sbce=beck，sbep=prbe，sbcp=pqbc，且sbce=sbepsbcp，beck=prbepqbc。又be=bc，ck=prpq。ck=prpq。又ck=，prpq=。（3）图3中的结论是prpq=【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。【分析】（2）连接bp，过c点作ckbd于点k根据矩形的性质及勾股定理求出bd的长，根据三角形面积相等可求出ck的长，最后通过等量代换即可证明。（3）图3中的结论是prpq=125 。连接bp，sbpesbcp=sbec，sbec 是固定值，be=bc 为两个底，pr，pq 分别为高，从而prpq=。例4：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于a(2，o)、b(2，0)、c(0，l)三点，过坐标原点o的直线y=kx与抛物线交于m、n两点分别过点c、d(0，2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以on为直径的圆与直线相切； (3)求线段mn的长(用k表示)，并证明m、n两点到直线的距离之和等于线段mn的长【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc，则 解得。抛物线对应二次函数的解析式 所以。 （2）设m(x1，y1)，n(x2，y2)，因为点m、n在抛物线上， ，x22=4(y2+1)。又，。又y2l，on=2y2。设on的中点e，分别过点n、e向直线作垂线，垂足为p、f， 则 ，on=2ef，即on的中点到直线的距离等于on长度的一半，以on为直径的圆与相切。（3）过点m作mhnp交np于点h，则，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。mn2=(1+k2)(x2一xl)2。又点m、n既在y=kx的图象上又在抛物线上，即x24kx4=0，x2x1=4k，x2x1=4。mn2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2xl =16(1+k2)2。mn=4(1+k2)。延长np交于点q，过点m作ms交于点s，则msnq=y12y22= ms+nq=mn，即m、n两点到距离之和等于线段mn的长。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2）要证以on为直径的圆与直线相切，只要证on的中点到直线的距离等于on长的一半即可。（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出mn和m、n两点到直线的距离之和，相比较即可。例5：（2012江苏苏州9分）如图，正方形abcd的边ad与矩形efgh的边fg重合，将正方形abcd以1cm/s的速度沿fg方向移动，移动开始前点a与点f重合.在移动过程中，边ad始终与边fg重合，连接cg，过点a作cg的平行线交线段gh于点p，连接pd.已知正方形abcd的边长为1cm，矩形efgh的边fg、gh的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段gp的长为y（cm），其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；记dgp的面积为s1，cdg的面积为s2试说明s1s2是常数；当线段pd所在直线与正方形abcd的对角线ac垂直时，求线段pd的长.【答案】解：（1）cgap，cgd=pag，则。gf=4，cd=da=1，af=x，gd=3x，ag=4x。，即。y关于x的函数关系式为。当y =3时，解得:x=2.5。（2），为常数。（3）延长pd交ac于点q.正方形abcd中，ac为对角线，cad=45。pqac，adq=45。gdp=adq=45。dgp是等腰直角三角形，则gd=gp。，化简得：，解得：。0x2.5，。在rtdgp中，。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出ag、gd的长度，再由可解出x的值。（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出s1、s2，然后作差即可。（3）延长pd交ac于点q，然后判断dgp是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在rtdgp中，解直角三角形可得出pd的长度。练习题：1. （广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点c（0，1），且与轴交于不同的两点a、b，点a的坐标是（1，0）（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线1交于c、d两点，设a、b、c、d四点构成的四边形的对角线相交于点p，记pcd的面积为s1，pab的面积为s2，当01时，求证：s1s2为常数，并求出该常数2. （2011湖南岳阳8分）如图，将菱形纸片ab（e）cd（f）沿对角线bd（ef）剪开，得到abd和ecf，固定abd，并把abd与ecf叠放在一起（1）操作：如图，将ecf的顶点f固定在abd的bd边上的中点处，ecf绕点f在bd边上方左右旋转，设旋转时fc交ba于点h（h点不与b点重合），fe交da于点g（g点不与d点重合）求证：bhgd=bf2（2）操作：如图，ecf的顶点f在abd的bd边上滑动（f点不与b、d点重合），且cf始终经过点a，过点a作agce，交fe于点g，连接dg探究：fd+dg= 请予证明3. （2011福建莆田10分） 如图，将矩形oabc放在直角坐际系中，o为坐标原点点a在x轴正半轴上点e是边ab上的个动点(不与点a、n重合)，过点e的反比例函数的图象与边bc交于点f。（1）(4分)若oae、ocf的而积分别为s1、s2且s1s2=2，求的值：（2）(6分) 若oa=20c=4问当点e运动到什么位置时，四边形oaef的面积最大其最大值为多少?4. （2011黑龙江龙东五市8分）如图，点e是矩形abcd的对角线bd上的一点，且be=bc，ab=3，bc=4，点p为直线ec上的一点，且pqbc于点q，prbd于点r。（1）如图1，当点p为线段ec中点时，易证：pr+pq=（不需证明）。（2）如图2，当点p为线段ec上的任意一点（不与点e、点c重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3，当点p为线段ec延长线上的任意一点时，其它条件不变，则pr与pq之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。5. （2011湖南永州10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的点，且满足eaf=45，连接ef，求证de+bf=ef感悟解题方法，并完成下列填空：将ade绕点a顺时针旋转90得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad，bg=de, 1=2，abg=d=90，abg+abf=9090=180，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf=45 23=badeaf=9045=451=2， 13=45即gaf=_又ag=ae，af=afgaf_=ef，故debf=ef 方法迁移：如图，将rtabc沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf=dab试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，并证明你的猜想问题拓展：如图，在四边形abcd中，ab=ad，e，f分别为dc,bc上的点，满足eaf=dab,试猜想当b与d满足什么关系时，可使得de+bf=ef请直接写出你的猜想（不必说明理由）6.（2011福建莆田14分）已知菱形abcd的边长为1adc=60，等边aef两边分别交边dc、cb于点e、f。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点e、f分别是边dc、cb的中点求证：菱形abcd对角线ac、bd交点o即为等边aef的外心；（2）若点e、f始终分别在边dc、cb上移动记等边aef的外心为点p （4分）猜想验证：如图2猜想aef的外心p落在哪一直线上，并加以证明； （6分）拓展运用：如图3，当aef面积最小时，过点p任作一直线分别交边da于点m，交边dc的延长线于点n，试判断是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。三、和差最大问题：典型例题：例1： （2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a0）的顶点坐标为点a（2，3），且抛物线与y轴交于点b（0，2）. （1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点p使pab为等腰三角形，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点p是x轴上任意一点，则当papb最大时，求点p的坐标.【答案】解：（1）抛物线的顶点坐标为a(2，3)，可设抛物线的解析式为。由题意得 ，解得。物线的解析式为，即。（2）设存在符合条件的点p，其坐标为（p，0），则pa=，pb=，ab=当pa=pb时，=，解得；当pa=pb时，=5，方程无实数解；当pb=ab时，=5，解得。x轴上存在符合条件的点p，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。（3）papbab，当a、b、p三点共线时，可得papb的最大值，这个最大值等于ab，此时点p是直线ab与x轴的交点。设直线ab的解析式为，则，解得。直线ab的解析式为，当=0时，解得。当papb最大时，点p的坐标是（4，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。（2）分pa=pb、pa=pb、pb=a三种情况讨论即可。（3）求得papb最大时的位置，即可求解。例3：（2012广东广州14分）如图，在平行四边形abcd中，ab=5，bc=10，f为ad的中点，ceab于e，设abc=（6090）（1）当=60时，求ce的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得efd=kaef？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接cf，当ce2cf2取最大值时，求tandcf的值【答案】解：（1）=60，bc=10，sin=，即sin60=，解得ce=。（2）存在k=3，使得efd=kaef。理由如下：连接cf并延长交ba的延长线于点g，f为ad的中点，af=fd。在平行四边形abcd中，abcd，g=dcf。在afg和cfd中，g=dcf， g=dcf，af=fd，afgcfd（aas）。cf=gf，ag=cd。ceab，ef=gf。aef=g。ab=5，bc=10，点f是ad的中点，ag=5，af=ad=bc=5。ag=af。afg=g。在afg中，efc=aef+g=2aef，又cfd=afg，cfd=aef。efd=efc+cfd=2aef+aef=3aef，因此，存在正整数k=3，使得efd=3aef。设be=x，ag=cd=ab=5，eg=ae+ag=5x+5=10x，在rtbce中，ce2=bc2be2=100x2。在rtceg中，cg2=eg2+ce2=（10x）2+100x2=20020x。cf=gf（中已证），cf2=（cg）2=cg2=（20020x）=505x。ce2cf2=100x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。当x=，即点e是ab的中点时，ce2cf2取最大值。此时，eg=10x=10，ce=，。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）利用60角的正弦值列式计算即可得解。（2）连接cf并延长交ba的延长线于点g，利用“角边角”证明afg和cfd全等，根据全等三角形对应边相等可得cf=gf，ag=cd，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ef=gf，再根据ab、bc的长度可得ag=af，然后利用等边对等角的性质可得aef=g=afg，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得efc=2g，然后推出efd=3aef，从而得解。设be=x，在rtbce中，利用勾股定理表示出ce2，表示出eg的长度，在rtceg中，利用勾股定理表示出cg2，从而得到cf2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。例4：（2012河北省12分）如图1和2，在abc中，ab=13，bc=14，cosabc=探究：如图1，ahbc于点h，则ah= ，ac= ，abc的面积sabc= ；拓展：如图2，点d在ac上（可与点a，c重合），分别过点a、c作直线bd的垂线，垂足为e，f，设bd=x，ae=m，cf=n（当点d与点a重合时，我们认为sabd=0）（1）用含x，m，n的代数式表示sabd及scbd；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点d，指出这样的x的取值范围发现：请你确定一条直线，使得a、b、c三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值【答案】解：探究：12；15；84。拓展：（1）由三角形面积公式，得，。 （2）由（1）得， abc中ac边上的高为，x的取值范围为。 随x的增大而减小，当时，的最大值为15，当时，的最小值为12。（3）x的取值范围为或。发现：直线ac，a、b、c三点到这条直线的距离之和最小，最小值为。【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角有三角函数值，勾股定理， 垂直线段的性质，反比例函数的性质。【分析】探究：在rtabh中，ab=13，bh=ab。 根据勾股定理，得。 bc=14，hc=bcbh=9。根据勾股定理，得。 。拓展：（1）直接由三角形面积公式可得。 （2）由（1）和即可得到关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当bdac时，x最小，由面积公式可求得；因为ab=13，bc=14，所以当bd=bc=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n）的最大值和最小值。 （3）当时，此时bdac，在线段ac上存在唯一的点d；当时，此时在线段ac上存在两点d；当时，此时在线段ac上存在唯一的点d。因此x的取值范围为或。发现：由拓展（2）知，直线ac，a、b、c三点到这条直线的距离之和（即abc中ac边上的高）最小，最小值为（它小于bc边上的高12和ab边上的高）。练习题：1. （2011内蒙古乌兰察布4分）如图，是半径为 6 的d的圆周，c点是上的任意一点， abd是等边三角形,则四边形abcd的周长p的取值范围是 2.（2011四川广安12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形abcd是直角梯形，bcad，bad=90，bc与y轴相交于点m，且m是bc的中点，a、b、d三点的坐标分别是a（），b（），d（3，0）连接dm，并把线段dm沿da方向平移到on若抛物线经过点d、m、n（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点p，使得pa=pc，若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由（3）设抛物线与x轴的另一个交点为e，点q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点q在什么位置时有|qe-qc|最大？并求出最大值3. （2011河南省11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于a、b两点，点a在轴上，点b的横坐标为8（1）求该抛物线的解析式；（2）点p是直线ab上方的抛物线上一动点（不与点a、b重合），过点p作轴的垂线，垂足为c，交直线ab于点d，作peab于点e设pde的周长为，点p的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；连接pa，以pa为边作图示一侧的正方形apfg随着点p的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点f或g恰好落在轴上时，直接写出对应的点p的坐标4. （2011山东青岛10分）)问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式m、n的大小，只要作出它们的差mn，若mn0，则mn；若mn0，则mn；若mn0，则mn问题解决：如图1，把边长为b(b)的大正方形分割成两个边长分别是、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和m与两个矩形面积之和n的大小解：由图可知：m22，n2mn222()2，()20mn0mn类别应用：(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(、是正数，且)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低(2)试比较图2和图3中两个矩形周长m1、n1的大小()联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中bac0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由四、和差最小问题：典型例题：例1：（2012浙江台州4分）如图，菱形abcd中，ab=2，a=120，点p，q，k分别为线段bc，cd，bd上的任意一点，则pk+qk的最小值为【 】a1 b c 2 d1【答案】b。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析： （1）若点p，q固定，此时点k的位置：如图，作点p关于bd的对称点p1，连接p1q，交bd于点k1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 p1k1 = p k1，p1k=pk。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得p1kqkp1q= p1k1q k1= p k1q k1。 此时的k1就是使pk+qk最小的位置。 （2）点p，q变动，根据菱形的性质，点p关于bd的对称点p1在ab上，即不论点p在bc上任一点，点p1总在ab上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当p1qab时p1q最短。 过点a作aq1dc于点q1。 a=120，da q1=30。 又ad=ab=2，p1q=aq1=adcos300=。 综上所述，pk+qk的最小值为。故选b。例2：（2012四川攀枝花4分）如图，正方形abcd中，ab=4，e是b