章前引言和勾股定理及其证明 (2).doc

勾股定理的应用勾股定理的应用十分广泛，下面举例说明如下一、求边长例1已知：如图，在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，求CD的长.分析本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC，再运用三角形面积公式得到，于是不难求CD.即本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法”求CD.解：ABC是直角三角形，AB5，BC3，由勾股定理有 2C又 CD的长是2.4cm二、求面积例2（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）观察图11.正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个单位面积.在图12中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你能发现图11中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图12中的呢？（2）做一做：观察图13、图14，并填写下表：三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，中的规律对这个三角形仍然成立吗？分析注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：99991818；A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；A与B的面积之和等于C，图12中也是A与B的面积之和等于C.（2）答案：答案：.（3）答案：设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；，.成立.三、作线段例3作长为、的线段分析作法：1作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、证明：根据勾股定理，在RtACB中，AB0，AB=其他同理可证点评由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1的直角三角形的斜边长就是类似地也可作出；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看四、证明平方关系例4已知：如图，在中，是边上的中线，于，求证：.分析根据勾股定理，在中，在中，在中，.又，.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.五、实际应用例7台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？分析（1）由点A作ADBC于D，则AD就为城市A距台风中心的最短距离在RtABD中，B=30，AB220，AD=AB=110.由题意知，当A点距台风（124）20160（千米）时，将会受到台风影响故该城市会受到这次台风的影响（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AEAF160当台风中心从E到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得 EF2DE60.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为小时.（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风