【全程复习方略】高中数学 第二章平面向量单元质量评估(二) 新人教A版必修4 (1).doc

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 第二章平面向量单元质量评估(二) 新人教a版必修4 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2013三明高一检测)化简ac-bd+cd-ab得()a.abb.dac.bcd.02.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是()a.ab=1b.a2=b2c.aba=bd.ab=03.已知a，b，c为平面上不共线的三点，若向量ab=(1，1)，n=(1，-1)，且nac=2，则nbc等于()a.-2b.2c.0d.2或-24.点c在线段ab上，且ac=25ab，若ac=bc，则等于()a.23b.32c.-23d.-325.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)(a-mb)，则m=()a.-12b.12c.2d.-26.(2013牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且bc，则a在c方向上的投影是()a.115b.-11c.-115d.117.(2013兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且ca，则向量a与b的夹角为()a.30b.60c.120d.1508.已知abc满足ab222=abac+babc+cacb，则abc是()a.等边三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.钝角三角形9.(2013西城高一检测)在矩形abcd中，ab=3，bc=1，e是cd上一点，且aeab=1，则aeac的值为()a.3b.2c.32d.3310.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)b，c(a+b)，则c=()a.79,73b.-73,-79c.73,79d.-79,-7311.(2013六安高一检测)abc中，ab边上的高为cd，若cb=a，ca=b，ab=0，|a|=1，|b|=2，则ad=()a.13a-13bb.23a-23bc.35a-35bd.45a-45b12.在abc所在平面内有一点p，如果pa+pb+pc=ab，则pab与abc的面积之比是()a.13b.12c.23d.34二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|=.14.已知向量a=(1，3)，b=(-2，23)，则a与b的夹角是.15.(2013江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为3，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为.16.(2013武汉高一检测)下列命题中：ab存在唯一的实数r，使得b=a；e为单位向量，且ae，则a=|a|e；|aaa|=|a|3；a与b共线，b与c共线，则a与c共线；若ab=bc且b0，则a=c.其中正确命题的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知梯形abcd中，abcd，cda=dab=90，cd=da=12ab.求证：acbc.18.(12分)(2013无锡高一检测)设oa=(2，-1)，ob=(3，0)，oc=(m，3).(1)当m=8时，将oc用oa和ob表示.(2)若a，b，c三点能构成三角形，求实数m应满足的条件.19.(12分)在边长为1的等边三角形abc中，设bc=2bd，ca=3ce.(1)用向量ab，ac作为基底表示向量be.(2)求adbe.20.(12分)(2013唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2).(1)若|b|=25，且ab，求b的坐标.(2)若|c|=10，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角.21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（13，sinx），x(0，).(1)若ab，求sinx+cosxsinx-cosx的值.(2)若ab，求sinx-cosx的值.22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|(k0，kr).(1)求ab关于k的解析式f(k).(2)若ab，求实数k的值.(3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析1.【解析】选d.ac-bd+cd-ab=ac+cd-ab+bd=ad-ad=0.2.【解析】选b.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选b.因为nab=n(ac-bc)=nac-nbc，又nab=(1，-1)(1，1)=1-1=0，所以nbc=nac=2.4.【解析】选c.由ac=25ab知，|ac|bc|=23，且方向相反(如图所示)，所以ac=-23bc，所以=-23.5.【解析】选a.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)(a-mb)，所以(-1)2=4(1+3m)，解得m=-12.【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据(1)对于向量a，b，若存在实数，使得b=a，则向量a与b共线(平行).(2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量ab.(3)对于向量a，b，若|ab|=|a|b|，则a与b共线.向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性.6.【解析】选c.ac=(a+b)-bc=(a+b)c-bc.因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且bc，所以ac=(a+b)c=(1，2)(-3，-4)=1(-3)+2(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是ac|c|=-11(-3)2+(-4)2=-115.7.【解析】选c.因为c=a+b，ca，所以ca=(a+b)a=a2+ba=0，所以ab=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为，则cos=ab|a|b|=-112=-12，又0180，所以=120.8.【解析】选c.因为ab22=abac+babc+cacb，所以ab222=abac+abcb+cacb，所以ab(ab-ac-cb)=cacb，所以ab(cb-cb)=cacb，所以cacb=0，所以cacb，所以abc是直角三角形.【变式备选】在四边形abcd中，ab=a+2b，bc=-4a-b，cd=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形abcd为()a.平行四边形b.矩形c.梯形d.菱形【解析】选c.因为ad=ab+bc+cd=-8a-2b=2bc，所以四边形abcd为梯形.9.【解析】选b.如图所示，以a为原点，ab所在直线为x轴建立平面直角坐标系.a(0，0)，b(3，0)，c(3，1)，设点e坐标为(x，1)，则ae=(x，1)，ab=(3，0)，所以aeab=(x，1)(3，0)=3x=1，x=33，所以aeac=33,1(3，1)=333+11=2.10.【解析】选d.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)，a+b=(1，2)+(2，-3)=3,-1，因为(c+a)b，c(a+b)，所以x+12=y+2-3,3x-y=0,即3x+2y+7=0,3x-y=0,解得x=-79,y=-73,所以c=-79,-73.【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误.11.【解析】选d.因为ab=0，所以cacb，所以ab=12+22=5，又因为cdab，所以acdabc，所以acab=adac，所以ad=ac2ab=225=455，所以ad=45ab=45cb-ca=45(a-b)=45a-45b.12.【解题指南】先对pa+pb+pc=ab进行变形，分析点p所在的位置，然后结合三角形面积公式分析pab与abc的面积的关系.【解析】选a.因为pa+pb+pc=ab=pb-pa，所以2pa+pc=0，pc=-2pa=2ap，所以点p是线段ac的三等分点(如图所示).所以pab与abc的面积之比是13.13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3)=(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|=42+62=213.答案：21314.【解析】设a与b的夹角为，ab=(1，3)(-2，23)=1(-2)+323=4，|a|=12+(3)2=2，|b|=(-2)2+(23)2=4，所以cos=ab|a|b|=424=12，又0180，所以=60.答案：6015.【解析】设a，b的夹角为，则向量a在b方向上的射影为|a|cos=|a|ab|a|b|=ab|b|，而ab=(e1+3e2)2e1=2+6cos3=5，|b|=2，所以所求射影为52.答案：5216.【解析】错误.ab且a0存在唯一的实数r，使得b=a；正确.e为单位向量，且ae，则a=|a|e；正确.aaa=a2a=a2a=a3；错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有ab=bc.答案：17.【证明】以a为原点，ab所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设ad=1，则a(0，0)，b(2，0)，c(1，1)，d(0，1)，所以bc=(-1，1)，ac=(1，1)，bcac=-11+11=0，所以acbc.18.【解析】(1)当m=8时，oc=(8，3)，设oc=xoa+yob，则(8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以2x+3y=8,-x=3,所以x=-3,y=143,所以oc=-3oa+143ob.(2)因为a，b，c三点能构成三角形，所以ab，ac不共线，ab=(1，1)，ac=(m-2，4)，所以14-1(m-2)0，所以m6.19.【解析】(1)be=ba+ae=-ab+23ac.(2)adbe=ad(-ab+23ac)=ad(-ab)+23adac=|ad|ab|cos150+23|ad|ac|cos30=321-32+2332132=-14.20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为ab，所以y=2x；又因为|b|=25，所以x2+y2=20；由联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4).(2)由已知(2a+c)(4a-3c)，(2a+c)(4a-3c)=8a2-3c2-2ac=0，又|a|=5，|c|=10，解得ac=5，所以cos=ac|a|c|=22，0，所以a与c的夹角=4.21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用.【解析】(1)因为ab，所以sinx=13cosxtanx=13，所以sinx+cosxsinx-cosx=tanx+1tanx-1=13+113-1=-2.(2)因为ab，所以13+sinxcosx=0sinxcosx=-13，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=53.又因为x(0，)且sinxcosx0，所以sinx-cosx=153.22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求fk.(2)先根据k0和ab，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值.(3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值.【解析】(1)由已知|ka+b|=3|a-kb|有|ka+b|2=(3|a-kb|)2，k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3