【全程复习方略】高中数学 课时提升卷 第三讲 一般形式的柯西不等式 新人教A版选修45(1).doc

课时提升卷(十)一般形式的柯西不等式（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知a,b,c均大于0,a=a2+b2+c23,b=a+b+c3,则a,b的大小关系是()a.ab b.abc.ab d.ab2.已知a2+b2+c2=1,若a+b+2c|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是()a.x1或x-3 b.-3x1c.x-1或x3 d.-1x33.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()a.1 b.n c.n2 d.1n4.设a,b,c均为正数且a + b + c =9,则4a+9b+16c的最小值为()a.81 b.9 c.7 d.495.已知a2+b2+c2+d2=10,则ab+bc+cd+ad的最小值为()a.10 b.-10 c.100 d.-1006.(2013丹东高二检测)设非负实数1,2,n满足1+2+n=1,则y=22-1+22-2+22-n-n的最小值为()a.n2n-1 b.n2n+1 c.n+12n-1 d.2n22n-1二、填空题(每小题8分,共24分)7.(2013湖北高考)设x,y,zr,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=.8.(2013淮安高二检测)设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则a+b+cx+y+z=.9.设a1,a2,a2 012都是正数且a1+a2+a2 012=1,则a122+a1+a222+a2+a22 0112+a2 011+a22 0122+a2 012的最小值为.三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.(2013宿迁模拟)已知x,y,zr,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.11.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求a的最值.12.(能力挑战题)若n是不小于2的正整数,证明:471-12+13-14+12n-1-12n0,所以a2+b2+c23a+b+c3,故选b.2.【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+2c|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.【解析】选a.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)(a+b+2c)2,所以a+b+2c2,又因为a+b+2c|x+1|,所以|x+1|2,解之得x1或x-3.3.【解析】选c.设n个正数为x1,x2,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+xn)1x1+1x2+1xnx11x1+x21x2+xn1xn2=(1+1+1n个)2=n2.4.【解析】选b.考虑以下两组向量u=2a,3b,4c,v=(a,b,c).由(uv)2得2aa+3bb+4cc24a+9b+16c(a + b + c),当且仅当a24=b29=c216,即a=2,b=3,c=4时取等号,可得4a+9b+16c9(2+3+4)2=81,所以4a+9b+16c819=9.5.【解析】选b.由柯西不等式知:(ab+bc+cd+ad)2(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)=100,当且仅当ab=bc=cd=da,即|a|=|b|=|c|=|d|时取“=”.所以|ab+bc+cd+ad|10,即-10ab+bc+cd+ad10,故选b.6.【解析】选a.为了利用柯西不等式,注意到(2-1)+(2-2)+(2-n)=2n-(1+2+n)=2n-1,所以(2n-1)12-1+12-2+12-n=(2-1)+(2-2)+(2-n)12-1+12-2+12-n2-112-1+2-212-2+2-n12-n2=n2,所以y+n2n22n-1,y2n22n-1-n=n2n-1.等号当且仅当1=2=n=1n时成立,从而y有最小值n2n-1.【误区警示】构造柯西不等式使用的结构形式是容易出现错误的地方,要仔细体会其格式.7.【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件,求出相应的x,y,z的值.【解析】由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32),当且仅当x1=y2=z3取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=14,所以x=1414,y=21414,z=31414,x+y+z=61414=3147.答案:31478.【解析】由柯西不等式知:2536=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=302=2536,当且仅当ax=by=cz=k时取等号.由k2(x2+y2+z2)2=2536,解得k=56.所以a+b+cx+y+z=k=56.答案:569.【解题指南】将待求式子左端配凑成柯西不等式求解.【解析】(22012+1)a122+a1+a222+a2+a2 01222+a2 012=(2+a1)+(2+a2)+(2+a2012)a122+a1+a222+a2+a2 01222+a2 0122+a1a12+a1+2+a2a22+a2+2+a2 012a2 0122+a2 0122=(a1+a2+a2012)2=1,所以a122+a1+a222+a2+a2 01222+a2 012122 012+1=14 025.答案:14 025【拓展提升】利用柯西不等式求最值的技巧利用柯西不等式求最值,需抓住柯西不等式的结构特征,对目标式进行合理的变换,如凑配法、巧拆常数法、添项法,以保证出现常数,同时要注意等号成立的条件.10.【解析】由柯西不等式,得x+(-2)y+(-3)z212+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y-3z)214(x2+y2+z2),即1614(x2+y2+z2).所以x2+y2+z287,当且仅当x=y-2=z-3,即当x=27,y=-47,z=-67时,x2+y2+z2的最小值为87.11.【解析】由柯西不等式,有(2b2+3c2+6d2)12+13+16b+c+d2,即2b2+3c2+6d2(b+c+d)2,由条件可得,5-a2(3-a)2,解得1a2,当且仅当2b12=3c13=6d16时等号成立,代入b=12,c=13,d=16时,amax=2,代入b=1,c=23,d=13时,amin=1.12.【证明】1-12+13-14+12n-1-12n=1+12+13+14+12n-1+12n-212+14+12n=1n+1+1n+2+12n,所以所求证的式子等价于471n+1+1n+2+12nn2,于是:1n+