【全程复习方略】高中数学 1.4.11.4.2平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差课时提升作业 北师大版必修3.doc

平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差一、选择题(每小题3分,共18分)1.在一次数学测验中,某小组14名学生的成绩分别与全班的平均分85分的差是:2,3,-3,-5,12,12,8,2,-1,4,-10,-2,5,5,那么这个小组的平均分是()a.97.2b.87.29c.92.32d.82.86【解析】选b.平均分=85+(2+3-3-5+12+12+8+2-1+4-10-2+5+5)14=87.29.2.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为()a.92,2b.92,2.8c.93,2d.93,2.8【解析】选b.平均值=90+90+93+94+935=92.s2=15(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2=2.8.3.有50个数,它们的平均数是45,若将其中的两个数32和58舍去,则余下数的平均数是()a.40.5b.47c.45d.52【解析】选c.设50个数的平均数为x甲,48个数的平均数为x乙,则x乙=50x甲-(32+58)48=45.4.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示:甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是()a.甲b.乙c.丙d.丁【解析】选c.由表可知,乙、丙的成绩最好,平均环数都为8.9,但乙的方差大,说明乙的波动性大,所以丙为最佳人选.5.(2013安徽高考)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()a.这种抽样方法是一种分层抽样b.这种抽样方法是一种系统抽样c.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差d.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【解析】选c.因为x男=15(86+94+88+92+90)=15450=90,x女=15(88+93+93+88+93)=15455=91,所以s男2=15(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2=405=8,s女2=15(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2=305=6,所以s男2s女2,故选c.【误区警示】计算平均值时因数字较大易出错,可采用简便方法.6.(2014天津高一检测)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为()a.1b.2c.3d.4【解析】选d.依题意,可得10=x+y+10+11+95,2=15(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8x=12,y=8或x=8,y=12,所以|x-y|=4.二、填空题(每小题4分,共12分)7.学校篮球队五名队员的年龄分别为15,13,15,14,13.其方差为0.8,则三年后这五名队员年龄的方差为_.【解析】由题意知,新数据是在原来每个数上加上3得到,原来的平均数为x,则新平均数变为x+3,则每个数都加了3,原来的方差s12=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2=0.8,现在的方差s22=1n(x1+3-x-3)2+(x2+3-x-3)2+(xn+3-x-3)2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2=0.8,方差不变.故三年后这五名队员年龄的方差不变,仍是0.8.答案:0.88.(2014上海高一检测)一组数据的方差为s2,将这一组数据中的每个数都乘2,所得到的一组新数据的方差为_.【解析】每个数都乘以2,则x=2x,s2=1n(2x1-2x)2+(2xn-2x)2=4n(x1-x)2+(xn-x)2=4s2.答案:4s2【知识拓展】统计量的性质(1)若x1,x2,xn的平均数是x,那么mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数是mx+a.(2)数据x1,x2,xn与数据x1+a,x2+a,xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,xn的方差为s2,那么ax1,ax2,axn的方差为a2s2.9.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是_,_.【解析】平均数增加60为62.8,方差不变,仍为3.6.答案:62.83.6【拓展提升】关于方差与平均数的公式数据a1,a2,a3,an的方差为2,平均数为,则数据ka1+b,ka2+b,ka3+b,kan+b(kb0)的标准差为k,平均数为k+b.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014西安高一检测)某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示(虚线为高一年级,实线为高二年级).团体成绩众数平均数方差高一年级85.739.6高二年级85.726.8(1)请把上边的表格填写完整.(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些?【解析】(1)高一年级众数是80,高二年级众数是85.(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.11.某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少?【解题指南】围绕相同数据和两个不同数据代入公式进行计算.【解析】设没统计错的数据为x1,x2,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,x48,t49=115,t50=65,那么,150(x1+x2+x48+95+85)=90,所以150(x1+x2+x48)=90-185,所以x=150(x1+x2+x48+t49+t50)=150(x1+x2+x48)+150(115+65)=90-185+185=90.由s12=150(x1-90)2+(x48-90)2+(95-90)2+(85-90)2.s22=150(x1-90)2+(x48-90)2+(115-90)2+(65-90)2得:s22-s12=150(252+252-52-52)=1501200=24,所以s22=s12+24=52+24=49,所以s2=7,即该50名学生实际成绩的平均分为90分,标准差为7分.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014青岛高一检测)期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为m,如果把m当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为n,那么mn为()a.4041b.1c.4140d.2【解析】选b.m=x1+x2+x4040,n=x1+x2+x40+m41=40m+m41=m,所以mn=1.2.(2014长沙高一检测)甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中,甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛进球个数的标准差为3;乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球个数的标准差为0.3,下列说法正确的有()甲队的技术比乙队好;乙队发挥比甲队稳定;乙队几乎每场都进球;甲队的表现时好时坏a.1个b.2个c.3个d.4个【解题指南】标准差确定稳定性,平均值说明水平高低,两个方面结合决定哪个队的好坏.【解析】选d.s甲s乙,说明乙队发挥比甲队稳定,x甲x乙,说明甲队平均进球多于乙队,但乙队平均进球数为1.8,标准差仅有0.3,说明乙队的确很少不进球.3.在一次国际乒乓球单项锦标赛中,我国一年轻运动员,在先输三局的情况下,连扳4局,反败为胜,终以43淘汰一外国名将,这七局的比分依次是:611,1012,711,118,1311,1210,116,我国运动员七局得分分别为6,10,7,11,13,12,11,其众数、中位数、平均数分别是()a.6,11,11b.11,12,10c.11,11,9d.11,11,10【解析】选d.观察七局的得分可知众数是11,按从小到大的顺序排列为6,7,10,11,11,12,13,中位数是11,x=17(6+7+10+11+11+12+13)=10.【举一反三】本题的条件不变,则众数、中位数、平均数的大小关系如何?【解析】由原题可知,众数是11,中位数是11,平均数是10,因为11=1110,所以本题中的众数=中位数平均数.4.(2014芜湖高一检测)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如表所示:甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有()a.s3s1s2b.s2s1s3c.s1s2s3d.s2s3s1【解析】选b.将已知数据代入求平均数、标准差的公式即可解决问题.设甲、乙、丙三人的平均成绩分别为x1,x2,x3,经计算可得x1=x2=x3=8.5,s12=120(7-8.5)25+(8-8.5)25+(9-8.5)25+(10-8.5)25=2520,s1=2520;s22=120(7-8.5)26+(8-8.5)24+(9-8.5)24+(10-8.5)26=2920,s2=2920;s32=120(7-8.5)24+(8-8.5)26+(9-8.5)26+(10-8.5)24=2120,s3=2120.所以s2s1s3,故选b.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_.【解题指南】利用平均数公式与方差公式求解.【解析】x甲=87+91+90+89+935=90,x乙=89+90+91+88+925=90,故s甲2=(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)25=4,s乙2=(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)25=2.答案:26.(2014淮北高一检测)若样本x1+2,x2+2,xn+2的平均值为10,则样本2x1+3,2x2+3,2xn+3的平均值为_.【解题指南】由x1+2,x2+2,xn+2的平均值为10,可算出x1,x2,xn的平均值为8,从而得出所求平均值.【解析】因为x1+2,x2+2,xn+2的平均值为10,所以x1,x2,xn的平均值为8,所以2x1+3,2x2+3,2xn+3的平均值为28+3=19.答案:19三、解答题(每小题12分,共24分)7.某市对上、下班时的交通情况做抽样调查,在上、下班时间各抽取了12辆机动车,行驶时速如下(单位:km/h):上班时间303318273240262821283520下班时间271932293629302225161730用茎叶图表示上面的样本数据,并求出样本数据的中位数、平均数及众数.【解析】根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图,如图所示:由图可知,上班时间的中位数为28+282=28(km/h),下班时间的中位数为27+292=28(km/h).上班时间的众数为28km/h,下班时间的众数为29km/h和30km/h.上班时间的平均数为8+1+6+7+8+8+2+3+5+10+206+304+401228.2(km/h),下班时间的平均数为6+7+9+2+5+7+9+9+2+6+103+205+30412=26(km/h).【拓展延伸】众数、中位数与平均数的异同(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系.(3)众数考察各数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时其众数往往更能反映问题.(4)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.8.(2014广东高考)某车间20名工人年龄数据如表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差.(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图.(3)求这20名工人年龄的方差.【解题指南】第(1)问众数和极差可根据概念直接从表里得出,第(2)问茎叶图也容易画出,第(3)问先求平均数,再利用公式求方差.【解析】(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21.(2)这20名工人年龄的茎叶图为:(3)年龄的平均数x=19+283+293+305+314+323+4020=3