【全程复习方略】高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课时作业 北师大版必修4.doc

从力做的功到向量的数量积一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014黄山高一检测)已知|b|=3,a在b方向上的投影是23,则ab为()a.13b.43c.3d.2【解析】选d.设a与b的夹角为,则a在b方向上的射影|a|cos=23,所以ab=|a|b|cos=233=2.2.(2014西安高一检测)已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,则向量a在向量b上的投影为()a.125b.3c.4d.5【解析】选a.设向量a与b的夹角为,则向量a在向量b上的投影为|a|cos=|a|=125.【举一反三】在本题的条件下,试求向量b在向量a方向上的投影.【解析】设向量a与向量b的夹角为,则cos=1235=45,向量b在向量a方向上的投影为|b|cos=545=4.3.(2014郑州高一检测)下列命题中,正确的是()a.若ab=0,则a=0或b=0b.若ab=0,则abc.若ab,则ab=(ab)2d.若|a|b|,则ab【解析】选c.对a,ab=0,a与b有可能为非零的垂直向量,故a错误.对b,ab=0,则ab,故b错误.对c,若ab,则ab=0,所以ab=(ab)2,故c正确.对d,|a|b|,由于a与b为向量,不是数量,不能比较大小,故d错误.4.设e1和e2是夹角为60的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则ab等于()a.-2b.-1c.1d.2【解题指南】先求e1e2,再计算ab.【解析】选d.因为|e1|=|e2|=1,e1e2=|e1|e2|cos60=1112=12,所以ab=(3e1+2e2)(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1e2=-912+812+612=2.5.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,则|a+b|等于()a.23b.35c.23d.35【解析】选c.|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=22+52+2(-3)=23.所以|a+b|=23,应选c.【误区警示】求a+b的模时,需先求|a+b|2=(a+b)2,再开方.求解时,易忘记开方,而误选a.6.(2013宜春高一检测)关于菱形abcd的下列说法中,不正确的是()a.abcdb.(ab+bc)(bc+cd)c.(ab-ad)(ba-bc)=0d.abad=bccd【解析】选d.如图所示,对于选项a,abcd正确,对于选项b,ab+bc=ac,bc+cd=bd,由菱形对角线互相垂直知(ab+bc)(bc+cd).对于选项c,因为ab-ad=db,ba-bc=ca,又因为dbca,所以(ab-ad)(ba-bc)=0,所以c正确.显然d不正确,因此选d.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014平顶山高一检测)已知向量a与b的夹角为120,且|a|=|b|=4,那么|a-3b|等于.【解析】|a-3b|=42-644cos120+942=413.答案:4138.向量a,b满足(a-b)(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则a与b的夹角等于.【解析】设a与b的夹角为,因为|a|=2,|b|=4,(a-b)(2a+b)=-4,所以2|a|2-|a|b|cos-|b|2=-4,即8-8cos-16=-4,所以cos=-12.又0,所以=23.答案:239.(2014宝鸡高一检测)已知非零向量a与b的夹角为120,若向量c=a+b,且ca,则的值为.【解析】因为c=a+b,又ca,所以ca=0,即(a+b)a=0,所以a2+ab=0,|a|2+|a|b|cos120=0,所以|a|-12|b|=0,所以=12.答案:12三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014合肥高一检测)已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)a,(b-2a)b,求a与b的夹角.【解析】设a与b的夹角为,由(a-2b)a,得(a-2b)a=0,即a2-2ab=0,由(b-2a)b,得(b-2a)b=0,即b2-2ab=0,所以a2=b2,即|a|=|b|,ab=12a2,cos=12,又因为0,则得=3.【变式训练】已知ab,且|a|=2,|b|=1,若对两个不同时为零的实数k,t,使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直,试求k的最小值.【解析】因为ab,所以ab=0,又由已知得a+(t-3)b(-ka+tb)=0,所以-ka2+t(t-3)b2=0,因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t(t-3)=0,所以k=14(t2-3t)=14t-322-916(t0).故当t=32时,k取最小值-916.11.(2013南昌高一检测)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)(a+b)=34.(1)求|b|.(2)当ab=-14时,求向量a与a+2b的夹角的值.【解析】(1)因为(a-b)(a+b)=34,即a2-b2=34.所以|b|2=|a|2-34=14,所以|b|=12.(2)因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4ab+|2b|2=1-1+1=1.所以|a+2b|=1.又因为a(a+2b)=|a|2+2ab=1-12=12,所以cos=12,又0180,所以=60.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014咸阳高一检测)若a为非零向量,ab=0,则满足此条件的向量b有()a.1个b.2个c.有限个d.无限个【解析】选d.由已知ab=0,又a0,则满足条件的向量b除0外,还有无限个,与a垂直均符合要求,故选d.【误区警示】本题易忽视ab=0ab,而误认为只有b=0,而误选a.2.(2014榆林高一检测)已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33,则a与b的夹角为()a.30b.60c.120d.150【解析】选c.因为(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2=57+4ab=33,所以ab=-6.设a与b的夹角为,则cos=-634=-12,又0180,所以=120.【变式训练】若向量a,b满足|a|=|b|=1,且(a+3b)(a+5b)=20,则向量a,b的夹角为()a.30b.45c.60d.90【解析】选c.因为(a+3b)(a+5b)=a2+15b2+8ab=16+8ab=20.所以ab=12.设向量a,b的夹角为,则ab=|a|b|cos=12,所以cos=12,所以=60.3.(2014天津高考)已知菱形abcd的边长为2,bad=120,点e,f分别在边bc,dc上,be=bc,df=dc.若aeaf=1,cecf=-23,则+=()a.12b.23c.56d.712【解析】选c.因为bad=120,所以abad=abadcos120=-2.因为be=bc,df=dc,所以ae=ab+ad,af=ab+ad.因为aeaf=1,所以ab+adab+ad=1,即2+2-=32同理可得-=-23,+得+=56.4.(2014阜阳高一检测)在abc中,若bc=a,ca=b,ab=c,且ab=bc=ca,则abc的形状是()a.等腰三角形b.直角三角形c.等边三角形d.以上都不对【解析】选c.由a+b+c=bc+ca+ab=0,得a+b=-c,(a+b)2=c2,即a2+b2+2ab=c2,同理可得b2+c2+2bc=a2-得a2=c2,所以|a|=|c|,同理可得|a|=|b|,故abc为等边三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013江西高考)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为3.若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为.【解题指南】向量a在b方向上的射影为|a|cos=,进而问题转化为求向量a,b的数量积与向量b的模.【解析】设a,b的夹角为,则向量a在b方向上的投影为|a|cos=|a|=,而ab=(e1+3e2)2e1=2+6cos3=5,|b|=2,所以所求为52.答案:526.(2014汉中高一检测)如图,a,b是函数y=3sin(2x+)的图象与x轴两相邻交点,c是图象上a,b间的最低点,则abac=.【解析】设ab,ac的夹角为,由已知可得|ab|=2,abac=|ab|ac|cos=|ab|ac|ab|2|ac|=|ab|ab|2=28.答案:28三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014安庆高一检测)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求ab的值.(2)求|a+b|的值.【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=61得4a2-4ab-3b2=61.又由|a|=4,|b|=3得a2=16,b2=9,代入上式得64-4ab-27=61,所以ab=-6.(2)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-6)+9=13,故|a+b|=13.【变式训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.(1)求ab的值.(2)求|a+b|的值.【解析】(1)由|a-b|=2,得a2-2ab+b2=4,因为|a|=2,|b|=1,所以ab=12.(2)|a+b|2=a2+2ab+b2=6,所以|a+b|=6.8.(2014西安高一检测)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】因为(2ta+7b)(a+tb)=2ta2+(2t2+7)ab+7tb2=2t|a|2+(2t2+7)|a|b|cos60+7t|b|2=8t+(2t2+7)+7t=2t2+15t+7.由2t2+15t+70(2t+1)(t+7