【全程复习方略】高中数学 3.1同角三角函数的基本关系课时作业 北师大版必修4.doc

同角三角函数的基本关系一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014南昌高一检测)若sin=55,则sin4-cos4的值为()a.-15b.-35c.15d.35【解析】选b.由sin=55,得sin2=15,cos2=45,sin4-cos4=(sin2+cos2)(sin2-cos2)=sin2-cos2=15-45=-35.2.(2014咸阳高一检测)已知tan=-13,则1cos2=()a.9b.10c.19d.109【解析】选d.因为tan=sincos=-13,所以sin=-13cos.又由sin2+cos2=1知109cos2=1,cos2=910,所以1cos2=109.【一题多解】1cos2=sin2+cos2cos2=tan2+1=-132+1=109.3.(2014黄山高一检测)已知2,sin2+=-35,则tan(-)的值为()a.34b.43c.-34d.-43【解析】选b.sin2+=cos=-35,又2,所以sin=1-cos2=45.tan(-)=-tan=-sincos=-45-35=43.4.(2013潍坊高一检测)已知sin,cos是方程3x2-2x+a=0的两根,则实数a的值为()a.65b.-56c.34d.43【解题指南】利用根与系数的关系可得:sin+cos=23,sincos=a3,因为求a的值,应根据sin2+cos2=1再结合以上两式,得到关于a的方程.但注意求出的a必须满足原方程有两个根,即方程的判别式0.【解析】选b.由0知,a13.结合选项,本题即可选b,若没有注意到选项,则继续以下解法:又sin+cos=23,sincos=a3,故sincos=-518=a3,所以a=-56.5.(2014重庆高一检测)已知sin=m-3m+5,cos=4-2mm+520,cos0,因此m=8,此时sin=513,cos=-1213,所以tan=sincos=-512.【误区警示】本题易忽视2,从而得到m=8或0两个值,而误选d.6.cosx1-sin2x+1-cos2xsinx-tanxtan2x所有可能的值组成的集合为()a.-3,1b.1,3c.-3,-1,1d.-1,1,3【解题指南】考虑x所在的象限,把所有可能都要考虑到,进行分类讨论,求出所有的值.【解析】选a.记f(x)=cosx1-sin2x+1-cos2xsinx-tanxtan2x=cosx|cosx|+|sinx|sinx-tanx|tanx|,(1)当x在第一象限时,f(x)=cosxcosx+sinxsinx-tanxtanx=1.(2)当x在第二象限时,f(x)=cosx-cosx+sinxsinx-tanx-tanx=1.(3)当x在第三象限时,f(x)=cosx-cosx+-sinxsinx-tanxtanx=-3.(4)当x在第四象限时,f(x)=cosxcosx+-sinxsinx-tanx-tanx=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014安庆高一检测)已知为第二象限的角,sin=35,则tan(3+)=.【解析】由已知得cos=-1-sin2=-1-352=-45.tan(3+)=tan=sincos=35-45=-34.答案:-348.已知tan=2,则sin2-sincos=.【解析】原式=sin2-sincossin2+cos2=sin2cos2-sincoscos2sin2cos2+cos2cos2=tan2-tantan2+1=25.答案:25【变式训练】已知tan=12,(1)求4sin-2cos5cos+3sin的值.(2)求2sin2-3sincos+5cos2的值.【解析】(1)因为tan=12,所以cos0,将4sin-2cos5cos+3sin的分子和分母同时除以cos,则4sin-2cos5cos+3sin=4tan-25+3tan=412-25+312=0.(2)2sin2-3sincos+5cos2=2sin2-3sincos+5cos2sin2+cos2=2tan2-3tan+5tan2+1=165.9.若0,2)且1-cos2+1-sin2=sin-cos,则的取值范围是.【解析】因为1-cos2+1-sin2=|sin|+|cos|=sin-cos,所以sin0,cos0,故2,.答案:2,【变式训练】(2012辽宁高考改编)已知sin-cos=2,(0,),则tan=.【解析】将等式sin-cos=2两边平方,得到2sincos=-1,整理得1+2sincos=0sin2+cos2+2sincos=0,所以(sin+cos)2=0,所以sin+cos=0.由sin-cos=2和sin+cos=0,解得sin=22,cos=-22,故tan=sincos=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)10.求证:1+tan21-tan2=11-2sin2.【证明】左边=1+tan21-tan2=1+sin2cos21-sin2cos2=cos2+sin2cos2cos2-sin2cos2=1cos2-sin2=1(1-sin2)-sin2=11-2sin2=右边,即原式成立.11.(2014西安高一检测)已知sin+cossin-cos=2,求下列各式的值:(1)3sin-cos2sin+3cos.(2)sin2-2sincos+1.【解析】由sin+cossin-cos=2,得sin=3cos.所以tan=3.(1)方法一:原式=33cos-cos23cos+3cos=8cos9cos=89.方法二:原式=3sincos-coscos2sincos+3coscos=3tan-12tan+3=33-123+3=89.(2)原式=sin2-2sincossin2+cos2+1=tan2-2tantan2+1+1=32-2332+1+1=1310.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014安庆高一检测)若tan=13,则sincos的值为()a.310b.310c.310d.310【解析】选b.原式=sincossin2+cos2=tantan2+1=13132+1=310.2.(2013阜阳高一检测)若sin+cos=2(sin-cos),则sin(-)sin2-=()a.34b.-34c.-310d.310【解析】选c.根据题意,由于sin+cos=2(sin-cos),所以sin+cossin-cos=2,所以tan=3,则sin(-)sin2-=-sincos=-sincossin2+cos2=-tantan2+1=-310.3.(2014南昌高一检测)函数y=54-sin2x-3cosx的最小值是()a.-74b.-2c.14d.-54【解析】选a.y=54-(1-cos2x)-3cosx=cos2x-3cosx+14=cosx-322-2,又cosx-1,1,所以当cosx=1时,ymin=1-322-2=-74.【变式训练】如果|x|4,那么函数f(x)=cos2x+sinx最小值为.【解析】函数f(x)=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-sinx-122+54,因为|x|4,所以-4x4,所以-22sinx22,所以当sinx=-22时,sinx-122取最大值3+224,此时,函数f(x)有最小值1-22.答案:1-224.(2014鞍山高一检测)若cos+2sin=-5,则tan等于()a.12b.2c.-12d.-2【解析】选b.由cos+2sin=-5,两边平方可得cos2+4sincos+4sin2=5,那么cos2+4sincos+4sin2=cos2+4sincos+4sin21=cos2+4sincos+4sin2sin2+cos2=1+4tan+4tan2tan2+1=5,即tan2-4tan+4=(tan-2)2=0,解得:tan=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014汉中高一检测)已知sincos=18,32,则sin+cos=.【解析】由32,得sin0,cos0,所以sin+cos=-1+2sincos=-1+218=-52.答案:-526.(2014淮南高一检测)已知f(x)=1-x1+x,若2,则f(cos)+f(-cos)可化简为.【解析】因为2,所以f(cos)+f(-cos)=1-cos1+cos+1+cos1-cos=1-cos|sin|+1+cos|sin|=2|sin|=2sin.答案:2sin【拓展延伸】化简的技巧与方法(1)技巧:化简就是将表达式经过某种变形,从而使结果尽可能简单,也就是项数尽可能少,次数尽可能低,函数的种类尽可能少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.(2)方法:主要是公式的正用、逆用,所谓逆用公式sin2+cos2=1,实质就是“1”的三角代换“1=sin2+cos2”“1=tan4”等,“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形中有着广泛的应用.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014南京高一检测)已知角的终边上有一点p(x,-1)(x0),且tan=-x.(1)求sin,cos的值.(2)求sin2+2sincos3sin2+cos2的值.【解析】(1)因为的终边过点(x,-1)(x0),所以tan=-1x,又tan=-x,所以x2=1,所以x=1.当x=1时,sin=-22,cos=22;当x=-1时,sin=-22,cos=-22.(2)当x=1时,tan=-1,sin2+2sincos3sin2+cos2=tan2+2tan3tan2+1=-14.当x=-1时,tan=1,sin2+2sincos3sin2+cos2=tan2+2tan3tan2