【全程复习方略】高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

椭圆及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014南充高二检测)设p是椭圆x225+y216=1上的点.若f1,f2是椭圆的两个焦点,则|pf1|+|pf2|等于()a.4b.5c.8d.10【解析】选d.由椭圆的方程x225+y216=1得2a=10.所以|pf1|+|pf2|=2a=10.2.(2014广州高二检测)设f1(-4,0),f2(4,0)为定点,动点m满足|mf1|+|mf2|=8,则动点m的轨迹是()a.椭圆b.直线c.圆d.线段【解析】选d.因为|mf1|+|mf2|=|f1f2|,所以动点m的轨迹是线段.3.已知椭圆x2a2+y22=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是()a.x24+y22=1b.x23+y22=1c.x2+y22=1d.x26+y22=1【解析】选d.由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为x26+y22=1,故选d.4.(2014济宁高二检测)已知点p是椭圆:x216+y28=1(x0,y0)上的动点,f1,f2是椭圆的两个焦点,o是坐标原点,若m是f1pf2的角平分线上一点,且f1mmp=0,则|om|的取值范围是()a.0,3)b.(0,22)c.22,3)d.0,4【解析】选b.由椭圆x216+y28=1的方程可得,c=22.由题意可得,当点p在椭圆与y轴交点处时,点m与原点o重合,此时|om|取最小值0.当点p在椭圆与x轴交点处时,点m与焦点重合,此时|om|趋于最大值c=22.因x0,y0,所以|om|的取值范围是(0,22).5.(2014南昌高二检测)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且b=25的椭圆方程是 ()a.x225+y220=1b.x280+y285=1c.x220+y245=1d.x220+y225=1【解析】选d.由9x2+4y2=36,得x24+y29=1,所以a12=9,b12=4,得c1=5,所以焦点坐标为(0,5),(0,-5).因为所求椭圆与9x2+4y2=36有相同焦点,设方程为y2a2+x2b2=1,则a2=b2+c2=(25)2+(5)2=25,所以所求方程为y225+x220=1.【一解多解】由9x2+4y2=36,得y29+x24=1,设与9x2+4y2=36共焦点的椭圆的方程为:y29+k+x24+k=1.由4+k=(25)2,得k=16.所以所求椭圆方程为y225+x220=1.6.已知椭圆x24+y2=1的焦点为f1,f2,点m在该椭圆上,且mf1mf2=0,则点m到x轴的距离为()a.233b.263c.33d.3【解题指南】由mf1mf2=0知mf1f2为直角三角形,可根据面积求m到x轴的距离.【解析】选c.由mf1mf2=0,得mf1mf2,可设|mf1|=m,|mf2|=n,在f1mf2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以sf1mf2=12mn=1,设点m到x轴的距离为h,则12|f1f2|h=1,又|f1f2|=23,故h=33,故选c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.设p是椭圆x216+y29=1上的点,f1,f2分别为椭圆的左、右焦点,则|pf1|pf2|的最大值是.【解析】由题意知:|pf1|+|pf2|=2a=8,所以|pf1|pf2|pf1|+|pf2|22=822=16,当且仅当|pf1|=|pf2|时取“=”号,故|pf1|pf2|的最大值是16.答案:168.(2014双鸭山高二检测)已知f1,f2是椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,p为椭圆c上的一点,且pf1pf2,若pf1f2的面积为9,则b=_【解析】因为pf1pf2,所以pf1pf2,因此|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2.即(|pf1|+|pf2|)2-2|pf1|pf2|=|f1f2|2,所以(2a)2-2|pf1|pf2|=(2c)2,因此|pf1|pf2|=2b2.由spf1f2=12|pf1|pf2|=b2=9,所以b=3.答案:3【变式训练】(2013德州高二检测)若f1,f2是椭圆x29+y27=1的两个焦点,a为椭圆上一点,且f1af2=45,则af1f2的面积为_.【解析】如图所示,|f1f2|=22,|af1|+|af2|=6,由|af1|+|af2|=6,得|af1|2+|af2|2+2|af1|af2|=36.又在af1f2中,|af1|2+|af2|2-|f1f2|2=2|af1|af2|cos45,所以36-2|af1|af2|-8=2|af1|af2|,所以|af1|af2|=282+2=14(2-2),所以saf1f2=12|af1|af2|sin45=1214(2-2)22=7(2-1).答案:7(2-1)9.(2014哈尔滨高二检测)已知椭圆x25+y2=1的焦点为f1,f2,设p(x0,y0)为椭圆上一点,当f1pf2为直角时,点p的横坐标x0=.【解析】由椭圆的方程为x25+y2=1,得c=2,所以f1(-2,0),f2(2,0),pf1=(-2-x0,-y0),pf2=(2-x0,-y0).因为f1pf2为直角,所以pf1pf2=0,即x02+y02=4,又x025+y02=1,联立消去y02得x02=154,所以x0=152.答案:152【举一反三】若把条件“当f1pf2为直角时”改为|pf1|=5+3,则f1pf2=.【解析】由椭圆的方程为x25+y2=1,得2a=25,2c=4,因为|pf1|+|pf2|=2a=25,所以|pf2|=5-3,而|pf1|2+|pf2|2=(5+3)2+(5-3)2=16=|f1f2|2,所以f1pf2为直角.答案:90三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014石家庄高二检测)如图,设p是圆x2+y2=25上的动点,点d是p在x轴上投影,m为pd上一点,且|md|=45|pd|.当p在圆上运动时,求点m的轨迹c的方程.【解题指南】设m(x,y),由等式|md|=45|pd|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点m的坐标是(x,y),p的坐标是(xp,yp),因为点d是p在x轴上投影,m为pd上一点,且|md|=45|pd|,所以xp=x,且yp=54y.因为p在圆x2+y2=25上,所以x2+54y2=25,整理得x225+y216=1,即c的方程是x225+y216=1.11.已知点p(6,8)是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,f1,f2为椭圆的两焦点,若pf1pf2=0.试求(1)椭圆的方程.(2)求sinpf1f2的值.【解析】(1)因为pf1pf2=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以f1(-10,0),f2(10,0),所以2a=|pf1|+|pf2|=(6+10)2+82+(6-10)2+82=125,所以a=65,b2=80.所以椭圆方程为x2180+y280=1.(2)因为pf1pf2,所以spf1f2=12|pf1|pf2|=12|f1f2|yp=80,所以|pf1|pf2|=160,又|pf1|+|pf2|=125,所以|pf2|=45,所以sinpf1f2=|pf2|f1f2|=4520=55.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014齐齐哈尔高二检测)对于常数m,n,“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.当m0且n0,但方程mx2+ny2=1不表示椭圆;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时,有m0,n0,mn,能得出mn0,故选b.2.(2014太原高二检测)已知f1(-1,0),f2(1,0)是椭圆c的两个焦点,过f2且垂直于x轴的直线交椭圆c于a,b两点,且|ab|=3,则椭圆c的方程为()a.x22+y2=1b.x23+y22=1c.x24+y23=1d.x25+y24=1【解析】选c.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,令x=c,则y=b2a,由|ab|=3,得2b2a=3,又a2-b2=c2=1,联立得a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为x24+y23=1.3.(2014福州高二检测)椭圆x225+y29=1上一点a到焦点f的距离为2,b为af的中点,o为坐标原点,则|ob|的值为()a.8b.4c.2d.32【解析】选b.如图,设椭圆的另一个焦点为f,则|af|+|af|=10,又|af|=2,所以|af|=8.因为b为af的中点,o为ff的中点,所以|ob|=12|af|=4.4.(2014唐山高二检测)已知椭圆c:x22+y2=1的焦点f(1,0),直线l:x=2,点al,线段af交c于点b,若fa=3fb,则|af|=()a.3b.2c.2d.3【解析】选c.设a(2,y0),b(x1,y1),fa=(1,y0),fb=(x1-1,y1),由fa=3fb,即(1,y0)=3(x1-1,y1),所以x1=43,y1=y03,又点b在椭圆c上,所以4322+y032=1,解得y0=1,所以a点坐标为(2,1),所以|af|=(2-1)2+(1-0)2=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014衡水高二检测)已知f1,f2分别为椭圆x216+y29=1的两个焦点,点p在椭圆上,若p,f1,f2是一个直角三角形的三个顶点,则pf1f2的面积为_.【解题指南】分别讨论以f1,f2,p为直角顶点,求出点p的坐标,进而求出pf1f2的面积.【解析】依题意,可知当以f1或f2为三角形的直角顶点时,点p的坐标为7,94,则点p到x轴的距离为94,此时pf1f2的面积为974;当以点p为三角形的直角顶点时,点p的纵坐标的绝对值为9773,舍去.故pf1f2的面积为974.答案:974【误区警示】本题在讨论以p点为三角形的直角顶点时,求出p点的纵坐标为977,而忽视p点在椭圆上,应满足yp3的限制,而得出面积为9的错误结论.【变式训练】(2014温州高二检测)已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是f1,f2,点p在该椭圆上,若|pf1|-|pf2|=2,则pf1f2的面积是_.【解析】由已知得|f1f2|=2c=22,|pf1|+|pf2|=4,所以得|pf1|=3,|pf2|=1,因此|pf2|2+|f1f2|2=|pf1|2,所以pf1f2是直角三角形,所以spf1f2=12|f1f2|pf2|=2.答案:26.(2014济南高二检测)若椭圆c1:x2a12+y2b12=1(a1b10)和椭圆c2:x2a22+y2b22=1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出如下四个结论:椭圆c1和椭圆c2一定没有公共点;a1a2b1b2;a12-a22=b12-b22;a1-a2a2,所以b1b2,所以正确;又a12-a22=b12-b22,a1b10,a2b20,所以正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014天津高二检测)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,点e在椭圆c上,且ef1f1f2,|ef1|=43,|ef2|=143,求椭圆c的方程.【解析】因为点e在椭圆c上,所以2a=|ef1|+|ef2|=43+143=6,即a=3.在rtef1f2中,|f1f2|=|ef2|2-|ef1|2=20=25,所以椭圆c的半焦距c=5.因为b=a2-c2=9-5=2,所以椭圆c的方程为x29+y24=1.8.(2014南京高二检测)设f1,f2分别是椭圆x24+y2=1的两焦点,b为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若p是该椭圆上的一个动点,求|pf1|pf2|的最大值.(2)若c为椭圆上异于b的一点,且bf1=cf1,求的值.(3)设p是该椭圆上的一个动点,求pbf1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=3,即|f1f2|=23,又因为|pf1|+|pf2|=2a=4,所以|pf1|pf2|pf1|+|pf2|22=422