【全程复习方略】高中数学 3.1.5空间向量运算的坐标表示课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

空间向量运算的坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=3,152平行,则等于()a.23b.92c.-92d.-23【解析】选c.因为ab,所以23=-3,所以=-92.2.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于()a.(2,-4,2)b.(-2,4,-2)c.(-2,0,-2)d.(2,1,-3)【解析】选b.b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).【变式训练】已知a(2,-4,-1),b(-1,5,1),c(3,-4,1),d(0,0,0),令a=ca,b=cb,则a+b等于()a.(5,-9,2)b.(-5,9,-2)c.(5,9,-2)d.(5,-9,-2)【解析】选b.ca=(-1,0,-2)=a,cb=(-4,9,0)=b,所以a+b=(-5,9,-2).3.(2014临沂高二检测)已知a(0,0,0),b(1,1,1),c(1,2,-1),下列四个点中在平面abc内的点是()a.(2,3,1)b.(1,-1,2)c.(1,2,1)d.(1,0,3)【解析】选d.ad=xab+yac=(x+y,x+2y,x-y),对四个选项逐个检验,只有当(x+y,x+2y,x-y)=(1,0,3)时有解x=2,y=-1.4.(2014杭州高二检测)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2a-b),则()a.x=13,y=1b.x=12,y=-4c.x=2,y=-14d.x=1,y=-1【解析】选b.a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)(2a-b),所以2x+1=(2-x),4=3,4-y=(-2y-2),所以x=12,y=-4.5.(2014南宁高二检测)已知向量oa=(2,-2,3),向量ob=(x,1-y,4z),且平行四边形oacb对角线的中点坐标为0,32,-12,则(x,y,z)=()a.(-2,-4,-1)b.(-2,-4,1)c.(-2,4,-1)d.(2,-4,-1)【解析】选a.由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=20,32,-12,所以(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),所以x=-2,y=-4,z=-1.【变式训练】以棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1的棱ab,ad,aa1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形aa1b1b的对角线交点的坐标为()a.0,12,12b.12,0,12c.12,12,0d.12,12,12【解析】选b.连接ab1和a1b交于点o.据题意知ab1与a1b的交点即为ab1的中点.由题意得a(0,0,0),b1(1,0,1),所以ab1的中点坐标为12,0,12.6.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为()a.-1,2b.1,-2c.1,2d.-1,-2【解析】选a.由c=ma+nb+(4,-4,1),得c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1).因为c与a及b都垂直,所以得ca= m+4+m+2n-4+m-n+1= 3m+n+1=0,cb=2(m+2n-4)-(m-n+1)=m+5n-9=0,即m=-1,n=2.【变式训练】若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+b)a,则实数的值为()a.-1b.0c.1d.-2【解析】选d.a+b=(,1+,-1).由(a+b)a,知(a+b)a=0,所以1+1=0,解得=-2.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014启东高二检测)与a=(2,-1,2)共线且满足ax=-18的向量x=.【解析】设x=(x,y,z),由题意得2x-y+2z=-18,x2=y-1=z2,解得x=-4,y=2,z=-4.所以x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)8.已知a(0,2,4),b(5,1,3),在x轴上有一点p,使|pa|=|pb|,则p点坐标为.【解析】设p(x,0,0),则|pa|=(-x)2+22+42=x2+20,|pb|=(5-x)2+12+32=x2-10x+35,所以x2+20=x2-10x+35,解得x=32.所以点p坐标为32,0,0.答案:32,0,0【举一反三】本题条件“在x轴上有一点p”改为“在y轴上有一点p”,结果如何?【解析】设p(0,y,0),则|pa|=0+(2-y)2+42=y2-4y+20,|pb|=52+(1-y)2+32=y2-2y+35,所以y2-4y+20=y2-2y+35,解得y=-152.所以点p坐标为0,-152,0.9.(2014长春高二检测)已知a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.【解析】b-a=(1+t,1-t,t),|b-a|=(1+t)2+(1-t)2+t2=3t2+22.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.设正四棱锥s-p1p2p3p4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求sp1,p2p3的坐标.【解析】建立空间直角坐标系,其中o为底面正方形的中心,p1p2y轴,p1p4x轴,so在z轴上.因为|p1p2|=2,而p1,p2,p3,p4均在xoy平面上,所以p1(1,1,0),p2(-1,1,0).在xoy平面内,p3与p1关于原点o对称,p4与p2关于原点o对称,所以p3(-1,-1,0),p4(1,-1,0).又|sp1|=2,|op1|=2,所以在rtsop1中,|so|=2,所以s(0,0,2).所以sp1=(1,1,-2),p2p3=(0,-2,0).11.(2014福州高二检测)如图,在空间直角坐标系中,bc=2,原点o是bc的中点,点a的坐标是32,12,0,点d在平面yoz上,且bdc=90,dcb=30.(1)求向量od的坐标.(2)设向量ad和bc的夹角为,求cos的值.【解题指南】利用三角形的知识先求出点d的坐标,然后再利用向量夹角公式求解向量ad和bc的夹角的余弦值.【解析】(1)如图所示,过d作debc,垂足为e,在rtbdc中,由bdc=90,dcb=30,bc=2,得bd=1,cd=3.所以de=cdsin30=32.oe=ob-bdcos60=1-12=12,所以d点坐标为0,-12,32,即向量od的坐标为0,-12,32.(2)依题意:oa=32,12,0,ob=(0,-1,0),oc=(0,1,0).所以ad=od-oa=-32,-1,32,bc=oc-ob=(0,2,0).由于向量ad和bc的夹角为,则cos=adbc|ad|bc|=-320+(-1)2+320-322+(-1)2+32202+22+02=-210=-1510.所以cos=-105.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014黄山高二检测)已知空间三点a(1,1,1),b(-1,0,4),c(2,-2,3),则ab与ca的夹角的大小是()a.60b.120c.30d.150【解析】选b.因为ab=(-2,-1,3),ca=(-1,3,-2),所以cos=abca|ab|ca|=(-2)(-1)+(-1)3+3(-2)1414=-714=-12,又0180,所以=120.2.(2014泰安高二检测)设a(3,3,1),b(1,0,5),c(0,1,0),则ab的中点m到c的距离|cm|的值为()a.534b.532c.532d.132【解析】选c.由向量加减运算法则得cm=12(ca+cb)=12(3,2,1)+12(1,-1,5) =2,12,3,故|cm|=4+14+9=532.3.空间三点a(1,1,0),b(0,1,0),c12,12,12,下列向量中,与平面abc垂直的向量是()a.(1,0,1)b.(0,1,1)c.(1,0,-1)d.(1,1,0)【解题指南】将四个选项分别与平面上的向量求数量积,看是否为零,从而选出正确结果.【解析】选b.ab=(-1,0,0),bc=12,-12,12,ac=-12,-12,12,与平面abc垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,选项a中的向量(1,0,1)(-1,0,0)=-10,不合题意;选项b中的向量(0,1,1)与上述向量的数量积为零,合题意;选项c中的向量(1,0,-1)(-1,0,0)=-10,不合题意;选项d中的向量(1,1,0)(-1,0,0)=-10,不合题意,故选b.4.(2014长沙高二检测)若向量a=(1,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为89,则等于()a.2b.-2c.-2或255d.2或-255【解析】选c.由cos=2-+45+29=6-35+2=89,得54-9=245+2,即为552+108-4=0,=-2或=255.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点a(-1,3,1),b(-1,3,4),d(1,1,1),若ap=2pb,则|pd|的值是.【解析】设点p(x,y,z),则由ap=2pb,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),则x+1=-2-2x,y-3=6-2y,z-1=8-2z,解得x=-1,y=3,z=3,即p(-1,3,3),则|pd|=(-1-1)2+(3-1)2+(3-1)2=12=23.答案:236.已知点a(+1,-1,3),b(2,-2),c(+3,-3,9)三点共线,则实数+=.【解题指南】首先利用三点共线转化为向量共线,再利用向量共线的坐标关系建立,的等量关系.【解析】因为ab=(-1,1,-2-3),ac=(2,-2,6),若a,b,c三点共线,则abac,即-12=-12=-2-36,解得=0,=0,所以+=0.答案:0三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知abc三个顶点的坐标分别为a(1,2,3),b(2,-1,5),c(3,2,-5).(1)求abc的面积.(2)求abc中ab边上的高.【解析】(1)由已知得ab=(1,-3,2),ac=(2,0,-8),所以|ab|=1+9+4=14,|ac|=4+0+64=217,abac=12+(-3)0+2(-8)=-14,cos=abac|ab|ac|=-1414217=-14217,sin=1-1468=2734.所以sabc=12|ab|ac|sin=12142172734=321.(2)设ab边上的高为cd,则|cd|=2sabc|ab|=36.8.(2014银川高二检测)已知a(1,0,0),b(0,1,0),c(0,0,2).(1)若dbac,dcab,求点d的坐标.(2)问是否存在实数,使得ac=ab+bc成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)先设出点d的坐标,再利用向量共线的关系式,列出与点d坐标有关的等式.(2)探索型的问题的解决思路是先假设存在,再利用题目中的条件进行推导,若求出则存在,否则不存在.【解析】(1)设d(x,y,z),则db=(-x,1-y,-z),ac=(-1,0,2),dc=