【全程复习方略】高中数学 2.7向量应用举例课时作业 北师大版必修4.doc

向量应用举例一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014榆林高一检测)若向量of1=(1,1),of2=(-3,-2)分别表示两个力f1,f2,则|f1+f2|为()a.10b.2c.5d.15【解析】选c.由于f1+f2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|f1+f2|=(-2)2+(-1)2=5.2.在四边形abcd中,abbc=0,且ab=dc,则四边形abcd是()a.梯形b.菱形c.矩形d.正方形【解析】选c.由abbc=0,得abbc,又ab=dc,所以ab与dc平行且相等,从而四边形abcd是矩形.3.(2014安庆高一检测)如图所示,一力作用在小车上且力f的大小为10n,方向与水平面成60,当小车向前运动10m时,力f做的功为()a.100焦耳b.50焦耳c.503焦耳d.200焦耳【解题指南】先定位移,再求功.【解析】选b.设小车位移为s,则|s|=10,wf=fs=|f|s|cos60=101012=50(焦耳).4.过点a(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为()a.2x+y-7=0b.2x+y+7=0c.x-2y+4=0d.x-2y-4=0【解析】选a.设p(x,y)为直线上一点,则paa,即(2-x)2+(3-y)1=0,即2x+y-7=0.5.(2014渭南高一检测)在abc中,ab=4,abc=30,d是边bc上的一点,且adab=adac,则adab的值等于()a.-4b.0c.4d.8【解析】选c.由adab=adac得ad(ab-ac)=adcb=0,即adcb,所以|ad|=2,bad=60,所以adab=2412=4.【变式训练】点o是三角形abc所在平面内的一点,满足oaob=oboc=ocoa,则点o是abc的()a.三个内角的角平分线的交点b.三条边的垂直平分线的交点c.三条中线的交点d.三条高的交点【解析】选d.由oaob=oboc,得obca=0,即obac,同理可得oabc,ocab.故点o是abc的三条高的交点.6.(2013宿州高一检测)在abc所在的平面内有一点p,满足pa+pb+pc=ab,则pbc与abc的面积之比是()a.13b.12c.23d.34【解题指南】关键将面积之比转化为pc与ac之比求解.【解析】选c.由pa+pb+pc=ab,得pa+pb+ba+pc=0,即pc=2ap,所以点p是ca边上的三等分点,如图所示.故spbcsabc=pcac=23.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014汉中高一检测)已知向量a表示“向东航行3km”,b表示“向南航行3 km”,则a+b表示.【解析】作出图形可知.知a+b表示向东南航行32km.答案:向东南航行32km【误区警示】本题易忽视a+b的物理意义,只关注数量而没有指出方向导致错误.8.(2014江苏高考)如图,在平行四边形abcd中,已知ab=8,ad=5,cp=3pd,apbp=2,则abad的值是.【解题指南】选取一组不共线向量为基底,一般选取ab,ad,用这组向量表示题目中的其他向量进而用数量积公式求解.【解析】由题干图知,在三角形adp中ap=ad+dp=ad+14ab,在三角形bpc中bp=bc+cp=bc+34cd=ad-34ab,所以apbp=ad+14abad-34ab=ad2-12adab-316ab2=2,即25-12adab-31664=2,adab=22.答案:229.已知正方形abcd的边长为1,点e是ab上的动点,则dedc的最大值为.【解析】设de与dc的夹角为,则dedc=|de|dc|cos,而|de|cos就是向量de在dc方向上的射影,要想让dedc最大,即让射影最大,此时e点与b点重合,射影为|dc|,所以最大值为1.答案:1【变式训练】(2013通州高一检测)在边长为1的等边abc中,d为bc边上一动点,则abad的取值范围是.【解析】因为d在bc上,所以设bd=x,0x1,则bd=xbc.所以abad=ab(ab+bd)=ab2+abbd=1+xcos120=1-12x,因为0x1,所以121-12x1,即abad的取值范围是12,1.答案:12,1三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014阜阳高一检测)如图所示,正方形abcd中,p为线段bd上任一点,pecf为矩形,求证:(1)pa=ef.(2)paef.【证明】以d为坐标原点,dc,da所在直线为x轴,y轴建立坐标系.设c(1,0),a(0,1),p(x,x),则e(x,0),f(1,x),故pa=(-x,1-x),ef=(1-x,x),(1)|pa|=(-x)2+(1-x)2=2x2-2x+1,|ef|=(1-x)2+x2=2x2-2x+1,所以|pa|=|ef|,所以pa=ef.(2)因为paef=(-x)(1-x)+(1-x)x=0.所以paef,所以paef.11.如图,重力为g的均匀小球放在倾斜角为的斜面上,球被与斜面夹角为的木板挡住,斜面、木板均光滑,若使球对木板压力最小,求木板与斜面间的夹角应为多大.【解析】如图所示,小球重力为g(竖直向下),设斜面对小球的压力为n1(垂直于斜面向上),木板对小球的压力为n2(垂直于木板向下),则n1+n2+g=0.所以n1与n2的合力大小为|g|,方向竖直向上,如图,于是|n2|=.所以当sin=1,即=90时,|n2|取最小值|g|sin.故要使球对木板压力最小,木板与斜面间的夹角应为90.一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a,b是圆心为c,半径为5的圆上两点,且|ab|=5,则accb等于()a.-52b.52c.0d.532【解析】选a.易知abc为正三角形,accb=55cos120=-52.2.(2014马鞍山高一检测)一条河的宽度为d,一船从a出发到河的正对岸b处,船速为|v1|,水速为|v2|,则船行到b处时,行驶速度的大小为()a.v12-v22b.|v1|2-|v2|2c.d.【解析】选d.如图,由平行四边形法则和解直角三角形知识知|v|2=|v1|2-|v2|2.所以行驶速度的大小为|v|=.3.(2013兰州高一检测)已知平面上三点a,b,c满足(bc+ba)ac=0,则abc的形状是()a.等腰三角形b.等边三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形【解析】选a.设ac的中点为d,则bc+ba=2bd,所以2bdac=0,所以acbd,所以abc是等腰三角形.【变式训练】已知a(1,2),b(4,1),c(0,-1),则abc的形状为.【解析】因为a(1,2),b(4,1),c(0,-1),所以ab=(3,-1),ac=(-1,-3),所以|ab|=|ac|=10,abac=(3,-1)(-1,-3)=3(-1)+(-1)(-3)=0,所以abac,所以abc是等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形4.(2014南昌高一检测)如图,在abc中,adab,bc=3bd,|ad|=1,则acad=()a.23b.32c.33d.3【解析】选d.因为ac=ab+bc=ab+3bd,所以acad=(ab+3bd)ad=abad+3bdad,又因为abad,所以abad=0,所以acad=3bdad=3|bd|ad|cosadb=3|bd|cosadb=3|ad|=3.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(x,y),合力f1+f2+f3=0,则f3的坐标为.【解析】由f1+f2+f3=0,得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即3+2+x=0,4-5+y=0,所以x=-5,y=1,所以f3=(-5,1).答案:(-5,1)6.(2014宝鸡高一检测)已知向量a=(6,2),b=-4,12,过点a(3,-1)且与向量a+2b平行的直线l的方程为.【解析】由题意得a+2b=(-2,3),则直线l的方程为3(x-3)+2(y+1)=0,即3x+2y-7=0.答案:3x+2y-7=0【拓展延伸】向量在解析几何中的作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用ab等价于ab=0,ab等价于a=b(b0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知力f与水平方向的夹角为30(斜向上),f的大小为50n,f拉着一个重80n的木块在摩擦系数=0.02的水平平面上运动了20m,由力f和摩擦力f所做的功分别是多少?【解析】力在位移上所做的功是向量乘积的物理含义,设木块的位移为s,则fs=|f|s|cos30=502032=5003(j).f在铅垂方向上合力大小为|f|sin30=5012=25(n),所以摩擦力f的大小为|f|=(80-25)0.02=1.1(n),所以fs=|f|s|cos180=1.120(-1)=-22(j),所以f,f所做的功分别是5003j,-22 j.8.(2014合肥高一检测)如图,正三角形abc中,d,e分别是ab,bc上的一个三等分点,且ae,cd交于点p.用向量法求证:bpcd.【解题指南】先将bp,cd分别用向量ba与bc表示,再计算bpcd=0即可.【证明】设pd=cd(r),正三角形abc的边长为a,则pa=pd+da=cd+13ba=23ba-bc+13ba=13(2+1)ba-bc.又ea=ba-13bc,paea,所