【全程复习方略】高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

空间向量的正交分解及其坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知a,b,c是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是()a.ab.bc.a+2bd.a+2c【解析】选d.能与p,q构成基底,则与p,q不共面.因为a=p+q2,b=p-q2,a+2b=32p-12q,所以a,b,c都不合题意.因为a,b,c为基底,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底.2.(2014济宁高二检测)设o-abc是四面体,g1是abc的重心,g是og1上的一点,且og=3gg1.若og=xoa+yob+zoc,则(x,y,z)为()a.14,14,14b.34,34,34c.13,13,13d.23,23,23【解析】选a.因为og=34og1=34(oa+ag1)=34oa+342312(ab+ac)=34oa+14(ob-oa)+(oc-oa)=14oa+14ob+14oc,而og=xoa+yob+zoc,所以x=14,y=14,z=14.3.(2014成都高二检测)若向量ma,mb,mc的起点m和终点a,b,c互不重合且无三点共线,则能使向量ma,mb,mc成为空间一个基底的关系是()a.om=13oa+13ob+13ocb.ma=mb+mcc.om=oa+ob+ocd.ma=2mb-mc【解析】选c.对于选项a,由结论om=xoa+yob+zoc(x+y+z=1)m,a,b,c四点共面知,ma,mb,mc共面;对于b,d选项,易知ma,mb,mc共面,故只有选项c中ma,mb,mc不共面.4.(2014兰州高二检测)已知点a在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点a在基底i,j,k下的坐标为()a.(12,14,10)b.(10,12,14)c.(14,10,12)d.(4,2,3)【解析】选a.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,所以点a在基底i,j,k下的坐标为(12,14,10).5.(2014西安高二检测)已知空间四边形oabc,m,n分别是oa,bc的中点,且oa=a,ob=b,oc=c,用a,b,c表示向量mn为()a.12a+12b+12cb.12a-12b+12cc.-12a+12b+12cd.-12a+12b-12c【解析】选c.如图所示,连接on,an,则on=12(ob+oc)=12(b+c),an=12(ac+ab)=12(oc-2oa+ob)=12(-2a+b+c)=-a+12b+12c,所以mn=12(on+an)=-12a+12b+12c.【变式训练】如图所示,空间四边形oabc中,g是abc的重心,d为bc的中点,h为od的中点.设oa=a,ob=b,oc=c,试用向量a,b,c表示向量gh.【解析】gh=oh-og.因为oh=12od=12(ob+oc)=12(b+c),og=oa+ag=oa+23ad=oa+23(od-oa)=13oa+2312(ob+oc)=13a+13(b+c),所以gh=12(b+c)-13a-13(b+c)=-13a+16b+16c,即gh=-13a+16b+16c.6.已知e1,e2,e3为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,则,分别为()a.52,-1,-12b.1,2,3c.1,1,1d.1,-1,1【解析】选a.因为d=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3,所以+=1,+-=2,-+=3,解得=52,=-1,=-12.【拓展延伸】用基底表示向量的三个关注点(1)若a,b,c不共面,则对空间任一向量p=xa+yb+zc,(x,y,z)是惟一的.(2)用基底表示向量,可从要表示的向量入手,运用向量线性运算的法则,结合图形逐步向基向量转化.(3)求a在单位正交基底下的坐标,关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系,将a表示为a=xe1+ye2+ze3.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014南昌高二检测)设i,j,k是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别是.【解析】a的坐标为(2,-4,5),b的坐标为(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)8.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,用ac,ab1,ad1作为基向量,则ac1=.【解析】2ac1=2aa1+2ad+2ab=(aa1+ad)+(aa1+ab)+(ad+ab)=ad1+ab1+ac,所以ac1=12(ad1+ab1+ac).答案:12(ad1+ab1+ac)9.(2014长春高二检测)如图所示,直三棱柱abc-a1b1c1中,abac,d,e分别为aa1,b1c的中点,若记ab=a,ac=b,aa1=c,则de=(用a,b,c表示).【解析】de=da1+a1e=12aa1+12(a1b1+a1c)=12aa1+12(ab+ac-aa1)=12c+12(a+b-c)=12a+12b.答案:12a+12b【一题多解】在三角形b1dc中,因为e为b1c的中点,利用平行四边形法则有de=12(db1+dc),db1=da1+a1b1=12aa1+a1b1=12aa1+ab=12c+a,dc=da+ac=12a1a+ac=-12c+b.所以三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014安庆高二检测)如图,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,以底面正方形abcd的中心为坐标原点o,分别以射线ob,oc,aa1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体顶点a1,b1,c1,d1的坐标.【解析】设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.因为底面正方形的中心为o,边长为2,所以ob=2.由于点b在x轴的正半轴上,所以ob=2i,即点b的坐标为(2,0,0).同理可得c(0,2,0),d(-2,0,0),a(0,-2,0).又ob1=ob+bb1=2i+2k,所以ob1=(2,0,2).即点b1的坐标为(2,0,2).同理可得c1(0,2,2),d1(-2,0,2),a1(0,-2,2).11.如图所示,在平行六面体abcd-abcd中,ab=a,ad=b,aa=c,p是ca的中点,m是cd的中点,n是cd的中点,点q在ca上,且cqqa=41,用基底a,b,c表示以下向量:(1)ap.(2)am.(3)an.(4)aq.【解题指南】利用空间图形中的平面图形如三角形、平行四边形建立目标向量与已知向量间的关系.【解析】连接ac,ad.(1)ap=12(ac+aa)=12(ab+ad+aa)=12(a+b+c).(2)am=12(ac+ad)=12(ab+2ad+aa)=12(a+2b+c).(3)an=12(ac+ad)=12(ab+ad+aa)+(ad+aa)=12(ab+2ad+2aa)=12a+b+c.(4)aq=ac+cq=ac+45(aa-ac)=15ac+45aa=15ab+15ad+45aa=15a+15b+45c.【变式训练】(2014牡丹江高二检测)如图,已知正方体abcd-abcd,点e是上底面abcd的中心,分别取向量ab,ad,aa为基向量,若(1)bd=xad+yab+zaa,试确定x,y,z的值.(2)ae=xad+yab+zaa,试确定x,y,z的值.【解析】(1)因为bd=bd+dd=ba+ad+dd=-ab+ad+aa,又bd=xad+yab+zaa,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为ae=aa+ae=aa+12ac=aa+12(ab+ad)=aa+12ab+12ad=12ad+12ab+aa,又ae=xad+yab+zaa,所以x=12,y=12,z=1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014南宁高二检测)有以下命题:如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;o,a,b,c为空间四点,且向量oa,ob,oc不构成空间的一个基底,则点o,a,b,c一定共面;已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是()a.b.c.d.【解析】选c.如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是共线的;如果a,b有一个向量为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底,所以不正确.o,a,b,c为空间四点,且向量oa,ob,oc不构成空间的一个基底,那么点o,a,b,c一定共面,这是正确的.已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底;因为三个向量非零且不共线,正确.故选c.2.(2014广州高二检测)在三棱锥s-abc中,g为abc的重心,则有()a.sg=12(sa+sb+sc)b.sg=13(sa+sb+sc)c.sg=14(sa+sb+sc)d.sg=sa+sb+sc【解析】选b.sg=sa+ag=sa+13(ab+ac)=sa+13(sb-sa)+13(sc-sa) =13(sa+sb+sc).3.如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,m为a1c1的中点,若ab=a,aa1=c,bc=b,则下列向量与bm相等的是()a.-12a+12b+cb.12a+12b+cc.-12a-12b+cd.12a-12b+c【解析】选a.bm=bb1+b1m=aa1+12(b1a1+b1c1)=aa1+12(ba+bc)=12(-a+b)+c=-12a+12b+c.4.(2014泰安高二检测)已知向量a,b,c是空间的一基底,向量a+b,a-b,c是空间的另一基底,一向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为()a.12,32,3b.32,-12,3c.3,-12,32d.-12,32,3【解析】选b.设p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基底a+b,a-b,c下的坐标为32,-12,3.【举一反三】若把题目中的“基底a,b,c”与“基底a+b,a-b,c”互换,结果如何?【解析】设p在基底a,b,c下的坐标为(x,y,z),由向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(1,2,3),得p=(a+b)+2(a-b)+3c=3a-b+3c=xa+yb+zc,所以x=3,y=-1,z=3,故p在基底a,b,c下的坐标为(3,-1,3).二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014福州高二检测)在平行六面体abcd-a1b1c1d1中,若ac1=xab+2ybc+3zc1c,则x+y+z=.【解析】如图所示,有ac1=ab+bc+cc1=ab+bc+(-1)c1c.又因为ac1=xab+2ybc+3zc1c,所以x=1,2y=1,3z=-1,解得x=1,y=12,z=-13.所以x+y+z=1+12-13=76.答案:766.设a,b,c是三个不共面的向量,现从a+b;a-b;a+c;b+c;a+b-c中选出一个,使其与a,b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量有 .【解题指南】判断a,b,c可否作为空间的一个基底,即判断a,b,c是否共面,若不共面则可以作为基底,否则不能作为基底,实际判断时,假设a=b+c,运用空间向量基本定理建立,的方程组,若有解则共面,否则不共面.【解析】a+b,a-b均与a,b共面.事实上以a,b为邻边作平行四边形oacb,令oa=a,ob=b,oc=a+b,ba=a-b,而共面向量不可以作为空间向量的基底.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,点e,f分别在线段a1d,ac上,且efa1d,efac,以点d为坐标原点,da,dc,dd1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量ef的坐标.(2)求证:efbd1.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量ef,bd1,从而使问题得解.【解析】(1)因为正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,根据题意知da,dc,dd1为单位正交基底,设da=i,dc=j,dd1=k,所以向量ef可用单位正交基底i,j,k表示,因为ef=ed+dc+cf,ed与da1共线,cf与ca共线,所以设ed=da1,cf=ca,则ef=da1+dc+ca=(da+dd1)+dc+(da-dc)=(+)da+(1-)dc+dd1=(+)i+(1-)j+k,因为efa1d,efac,即efa1d,efac,所以efa1d=0,efac=0,又a1d=-i-k,ac=-i+j,所以,整理得-(+)-=0,-(+)+(1-)=0,即2+=0,+2=1,解得=-13,=23,所以ef=13i+13j-13k所以ef的坐标是(13,13,-13).(2)因为bd1=bd+dd1=-i-j+k,所以ef=-13bd1,即ef与bd1共线,又ef与bd1无公共点,所以efbd1.8.(20