【全程复习方略】高中数学 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课时提升作业（九）新人教A版选修23.doc

课时提升作业(九)“杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题(每小题3分,共18分)1.x+1xn的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是()a.第8项b.第9项c.第8项或第9项d.第11项或第12项【解析】选d.因为x+1xn展开式中的第8项为cn7(x)n-71x7为常数,即n-212=0,所以n=21.所以展开式中系数最大的项为第11项或第12项.2.(2014临沂高二检测)在二项式1-12xn的展开式中,偶数项二项式系数为32,则展开式的中间项为()a.-52b.52c.-52x3d.52x3【解析】选c.因为偶数项二项式系数和为2n-1=25,所以n=6,所以展开式共7项,则中间项为t4=c63-12x3=-52x3.3.(2014日照高二检测)如果3x-13x2n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中1x3的系数是()a.7b.-7c.21d.-21【解析】选c.令x=1,则(3-1)n=128=2n,所以n=7,所以3x-13x27展开式中通项为tr+1=c7r(3x)7-rx-23r(-1)r=c7r37-rx7-5r3(-1)r.令7-5r3=-3,得r=6,所以1x3的系数为c763=21.4.(2014北海高二检测)设(x+2)(2x+3)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+a11的值为()a.0b.1c.6d.15【解析】选b.令x=-1,则1=a0+a1+a2+a11,故选b.5.(2014郑州高二检测)已知x+13xn的展开式中,各项系数之和大于8且小于32,则展开式中系数最大的项是()a.63xb.4xc.4x6xd.4x或4x6x【解析】选a.由条件可得82n32,所以n=4,又二项式中两项系数均为1,所以展开式中系数最大的项就是二项式系数最大项,即为c42(x)213x2=63x.6.(2014北京高二检测)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于()a.20b.21c.22d.23【解题指南】由图可知,各行数字中除两端的数代表行数外,其他元素均等于上一行中其肩上的数的和,如4=2+2,7=3+4,11=4+7,14=7+7,据此规律进行求解.【解析】选c.由a=7,可知b左肩上的数为6,右肩上的数为(11+5)即16,所以b=6+16=22.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在二项式(1-2x)6的展开式中,所有项的系数之和为.【解析】令x=1,得(1-2x)6展开式中所有项的系数和为(1-2)6=1.答案:18.(2014天津高二检测)设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,当a0+a1+a2+an=254时,则n=.【解析】令x=1,得a0+a1+a2+an=2+22+23+2n=2(2n-1)2-1=254,所以2n=128,即n=7.答案:7【变式训练】(2014温州高二检测)若(1-2x)2014=a0+a1x+a2x2+a2014x2014(xr),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2014)=.(用数字作答)【解析】在(1-2x)2014=a0+a1x+a2x2+a2014x2014中,令x=0,则a0=1,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a2014=(-1)2014=1,故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2014)=2013a0+a0+a1+a2+a3+a2014=2014.答案:20149.已知(x+1)2+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11,则a0+a1等于.【解题指南】给等式中的x赋值-2,求出a0;再将等式中的x+1用x+2表示,利用二项展开式的通项公式求出a1,最后求出a0+a1.【解析】令等式中x=-2,得0=a0,原式可变形为(x+2)-12+(x+2)-111=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11,(x+2)-12展开式的(x+2)的系数为-c12=-2,(x+2)-111展开式的(x+2)的系数为c1110=11,所以a1=11-2=9,所以a0+a1=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)10.设(2-3x)100=a0+a1x+a2x2+a100x100,求下列各式的值.(1)a0.(2)a1+a2+a3+a4+a100.(3)a1+a3+a5+a99.(4)(a0+a2+a100)2-(a1+a3+a99)2.(5)|a0|+|a1|+|a100|.【解析】(1)令x=0,则展开式为a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a100=(2-3)100,(*)所以a1+a2+a100=(2-3)100-2100.(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+3)100.与(2)中(*)式联立相减得a1+a3+a99=(2-3)100-(2+3)1002.(4)原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-3)(2+3)100=1100=1.(5)因为tr+1=(-1)rc100r2100-r(3)rxr,所以a2k-10(kn*).所以|a0|+|a1|+|a2|+|a100|=a0-a1+a2-a3+a100=(2+3)100.【拓展延伸】求展开式中若干项系数的和或差的方法(1)求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”.(2)赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的,它普遍适用于恒等式,是一种重要的解题方法.(3)实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想,在考题中屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应用尤为明显,巧赋特值可减少运算量.11.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nn*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值.(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.【解题指南】(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数,列出方程得到m,n的关系,利用二项展开式的通项公式求出x2的系数,将m,n的关系代入,得到关于m的二次函数,配方求出最小值.(2)通过对x分别赋值1,-1,两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和.【解析】(1)由已知cm1+2cn1=11,所以m+2n=11,x2的系数为cm2+22cn2=m(m-1)2+2n(n-1)=m2-m2+(11-m)11-m2-1=m-2142+35116.因为mn*,所以m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014济宁高二检测)若(x+3y)n展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为()a.5b.8c.10d.15【解析】选a.(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.2.若x22-13xn展开式的各项系数和为-127,则展开式中常数项是()a.-7b.7c.-72d.72【解题指南】令x=1,可求出展开式中的各项系数之和,由已知求出n,利用二项展开式的通项公式求出答案.【解析】选d.令x=1,展开式中的各项系数之和为-12n,所以-12n=-127,所以n=7.所以二项展开式的通项为tr+1=c7rx227-r-13xr=(-1)r127-rc7rx14-7r3,令14-73r=0,可得r=6,二项式展开式中常数项为c7612=72,故选d.3.若(1-2x)2013=a0+a1x+a2013x2013(xr),则a12+a222+a2 01322 013的值为()a.2b.0c.-1d.-2【解析】选c.令x=12,可得a0+a12+a222+a2 01322 013=0,所以a12+a222+a2 01322013=-a0,再令x=0,可得a0=1,所以a12+a222+a2 01322013=-1.4.(2014宿州高二检测)设(3-x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,若n=4,则a0-a1+a2+(-1)nan=()a.256b.136c.120d.16【解析】选a.在展开式中令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=44=256.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10.若数列a1,a2,a3,ak(1k11,kz)是一个单调递增数列,则k的最大值是.【解题指南】由题意可知展开式的各项系数为其二项式系数,由二项式系数的性质可得.【解析】(x+1)10展开式的各项系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的中间项第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.答案:6【变式训练】二项式(1+sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为52,则x在0,2内的值为.【解析】由题意得t4=c63sin3x=20sin3x=52,所以sinx=12,因为x0,2,所以x=6或56.答案:6或566.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家,他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面,杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关.如图是一个7阶的杨辉三角.给出下列四个命题:记第i(in*)行中从左到右的第j(jn*)个数为aij,则数列aij的通项公式为cij;第k行各数的和是2k;n阶杨辉三角中共有(n+1)22个数;n阶杨辉三角的所有数的和是2n+1-1.其中正确命题的序号为.【解题指南】根据第i行各个数是(a+b)i的展开式的二项式系数,故可求数列aij的通项公式为cij-1;据各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和,由(a+b)n的二项式系数和为2n得解,第k行各数的和是2k;第k行共有k+1个数,可求n阶杨辉三角中数的个数.【解析】据第i行各个数是(a+b)i的展开式的二项式系数,故数列aij的通项公式为cij-1,故错;各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和,第k行各数的和是2k,故正确;第k行共有k+1个数,从而n阶杨辉三角中共有1+2+(n+1)=(n+1)(n+2)2个数,故错;n阶杨辉三角的所有数的和是1+2+22+2n=2n+1-1,故正确.答案:三、解答题(每小题13分,共26分)7.已知(1-2x+3x2)7=a0+a1x+a2x2+a13x13+a14x14,求(1)a1+a2+a14.(2)a1+a3+a5+a13.【解析】(1)令x=1,得a0+a1+a2+a14=27.令x=0,得a0=1,所以a1+a2+a14=27-1.(2)由(1)得a0+a1+a2+a14=27,令x=-1得a0-a1+a2-a13+a14=67,由-得:2(a1+a3+a5+a13)=27-67,所以a1+a3+a5+a13=27-672.8.(2014昆明高二检测)已知12+2xn.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.【解析】(1)因为cn4+cn6=2cn5,所以n2-21n+98=0.解得n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是t4和t5.所以t4的系数=c73