【全程复习方略】高考数学第一轮总复习 考点43 直线与圆锥曲线的位置关系提能训练（含高考真题）新人教A版(1).doc

考点43 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. （2013新课标高考文科8）为坐标原点，为抛物线：的焦点，为c上一点，若，则pof的面积为（ ）a.b.c.d.【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.【解析】选c.设，则，解得，因为为c上一点，则，得 ，所以.2.（2013江西高考文科9）已知点a（2，0），抛物线c：x2=4y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|：|mn|= （ ）a.2: b.1:2 c. 1: d. 1:3【解题指南】由抛物线的定义把转化为点m到准线的距离，再结合直线的斜率，借助直角三角形进行求解.【解析】选c.设直线fa的倾斜角为，因为f（0,1），a（2,0），所以直线fa的斜率为，即，过点m作准线的垂线交准线于点q，由抛物线定义得，在中,可得，即|fm|：|mn|=.3. （2013重庆高考文科10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）a. b. c. d.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可.【解析】选a.由题意知, 直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，所以渐近线斜率满足,解得.故选a.4. （2013新课标高考理科10）已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）a. b. c. d. 【解题指南】本题中给出的中点坐标，所以在解题时先设出，两点坐标，然后采用点差法求解.【解析】选d.由椭圆得，因为过点的直线与椭圆交于，两点，设，,则，则 由-得，化简得.， 又直线的斜率为，即.因为，所以，解得，.故椭圆方程为.二、解答题5.（2013安徽高考理科18）设椭圆的焦点在轴上（）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。【解析】(1)因为焦距为1，所以，解得，从而椭圆e的方程为.（2） 设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，故直线的方程为, 当x=0时，即点q坐标为，因此直线的斜率。由于，所以化简得 将 代入椭圆e的方程，由于点在第一象限，解得，即点p在定直线x+y=1上。6. （2013天津高考文科18） 与（2013天津高考理科18）相同设椭圆的左焦点为f, 离心率为, 过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设a, b分别为椭圆的左、右顶点, 过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c, d两点. 若, 求k的值. 【解题指南】()由离心率及过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b的值，写出椭圆方程. ()写出过点f且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示求解.【解析】()设由知过点f且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又，从而，所以椭圆方程为. ()设，由得直线cd的方程为由方程组消去y，整理得 可得因为所以由已知得，解得7.（2013北京高考文科19）直线y=kx+m(m0)与椭圆w:+y2=1相交于a，c两点，o是坐标原点。（1）当点b的坐标为（0，1），且四边形oabc为菱形时，求ac的长；（2）当点b在w上且不是w的顶点时，证明：四边形oabc不可能为菱形。【解题指南】(1)把线段ob的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点a,c的坐标,再求ac的长.(2)用反证法.假设oabc为菱形,则只需证明若oa=oc,则a点与c点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.【解析】（1）线段ob的垂直平分线为，因此a、c点的坐标为，于是ac的长为。（2）只需证明若oa=oc，则a点与c点的横坐标相等或互为相反数。设oa=oc=r（r1)，则a、c为圆与椭圆的交点。， ，点与c点的横坐标互为相反数或相等，此时b点为顶点。因此四边形oabc不可能是菱形。8. （2013新课标全国高考理科20）平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：(ab0)右焦点的直线x+y-=0交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为（1）求m的方程（2）c,d为m上的两点，若四边形acbd的对角线cdab，求四边形acbd面积的最大值【解题指南】（1）涉及到弦ab的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确立m的方程；（2）将四边形的面积表示出来，可转化为s，然后利用函数的知识求最值.【解析】设，则, ,-得.因为，设，因为p为ab的中点，且op的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以m的方程为.(2)因为，直线ab的方程为，所以设直线cd方程为，将代入得：，解得 不防令、b，所以可得，将代入得：，设，则又因为，即，所以当时，cd取得最大值4,所以四边形acbd面积的最大值为9. （2013辽宁高考文科20）与（2013辽宁高考理科20）相同如图，抛物线点在抛物线上，过作的切线，切点为(为原点时，重合于).当时，切线的斜率为。求的值；当在上运动时，求线段的中点的轨迹方程（重合于，中点为）.【解题指南】利用导数的几何意义，求切线的斜率，建立相关参数的方程求参数；根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系，消去相关点的坐标，可得轨迹方程。【解析】设，则已知切线在抛物线上的切点为，由导数的几何意义得，所以从而故点由点斜式得切线的方程：由于点在抛物线上，又在切线上，所以得将代入上述方程组，即得故的值为2.设又点在抛物线上，则，由于为线段的中点，所以 切线的方程分别为： 由得切线得交点的坐标 又由于点在抛物线上，所以 由得 由得， 将代入得 由得.当时，重合于，中点n为,其坐标满足方程综上可知，线段的中点的轨迹方程为.10. （2013湖南高考文科20）已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。（）求圆的方程；()设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。【解题指南】第（）问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长，圆心就是原点关于直线的对称点，否则会增加许多计算量。第()问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长，利用弦长公式 求直线被椭圆截得的弦长，然后再根据化简的结果用相关知识去解题。【解析】（i）由题设知的坐标分别是，圆c的半径为2，圆心为原点o关于直线的对称点，设圆心坐标为，由得，所以圆c的方程为（ii）由题意，可设直线方程为，则圆心到直线的距离为，所以，由得，设与e的两个交点坐标分别为，则，于是，从而，当且仅当，即时等号成立，故当时，最大，此时，直线的方程为或，即，或.11.(2013浙江高考理科t21)如图,点p(0,-1)是椭圆c1: 的一个顶点,c1的长轴是圆c2:x2+y2=4的直径. l1,l2是过点p且互相垂直的两条直线,其中l1交圆c2于a,b两点,l2交椭圆于另一点d.(1)求椭圆c1的方程.(2)求abd面积取最大值时直线l1的方程.【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a,b的值;(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k),把abd的面积表示出来(一定是关于k的表达式),当abd面积取最大值时,求k的值.【解析】(1)由题意得,a=2,b=1,所以椭圆c1的方程为: .(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),d(x0,y0).由题意知,直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为:y=kx-1,又圆：，故点到直线的距离所以又，故直线的方程为：由，消去，整理得故，所以设的面积为，则所以，当且仅当时取等号所以所求的方程为.12.（2013安徽高考文科21）已知椭圆c:的焦距为4，且过点。（1）求椭圆c的方程；（2）设为椭圆c上一点，过点q作x轴的垂线，垂足为e。取点，连接ae，过点a作ae的垂线交x轴于点d.点g是点d关于y轴的对称点，作直线qg，问这样作出的直线qg是否与椭圆c一定有唯一的公共点？并说明理由。【解题指南】（1）由题设的两个条件可得a,b；（2）设点，由 用，写出，联立直线qg与椭圆的方程，整理转化为关于x的一元二次方程问题求解。【解析】(1)因为焦距为4，所以，又因为椭圆c过点，所以，故，从而椭圆c的方程为.（2） 一定有唯一的公共点.由题意,设e点坐标为,d点坐标为(xd,0),则，再由知，即，由于，故，因为点g是点d关于y轴的对称点，所以点.故直线qg的斜率又因为在椭圆c上，所以，从而故直线qg的方程为, 将代入椭圆c方程，得 再将代入，化简得，解得，即直线qg与椭圆c一定有唯一的公共点.13.(2013浙江高考文科t22)已知抛物线c的顶点为o(0,0),焦点f(0,1).(1)求抛物线c的方程.(2)过f作直线交抛物线c于a,b两点.若直线ao,bo分别交直线l:y=x-2于m,n两点,求|mn|的最小值.【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出a,b两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|mn|表示出来,进行求解.【解析】(1)由题意可设抛物线c的方程为x2=2py(p0),则=1,p=2,所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab的方程为:y=kx+1,由，消去，整理得所以从而由解得点的横坐标同理点的横坐标，所以令，则当时，当时，综上所述，当时，即时，的最小值是.14. （2013山东高考理科22）椭圆c：（ab0）的左、右焦点分别是f1、f2,离心率为 ，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为l.（）求椭圆c的方程；（）点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，连接pf1、pf2,设f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m（m，0），求m的取值范围；（）在（）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点，设直线pf1,pf2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值.【解题指南】（）由椭圆及过f1的线段长，可列出方程求出椭圆的方程；（）先设出点p的坐标，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距；离相等，可列出方程求出点p的横坐标与m的关系，由椭圆的范围求出m的范围.（）可先设出直线的点斜式方程，与椭圆联立消去y，由于l与椭圆c有且只有一个公共点，即，可得出k与点p的坐标的联系，然后将斜率用坐标表示出来的式子代入即可.【解析】（）由于，x=-c代入椭圆方程，得，由题意知，即，又，所以a=2,b=1,所以椭圆c的方程为（）设，又,所以直线的方程分别为:，:，由题意知，m到直线的距离相等，所以，由于点p在椭圆上，所以所以因为，可得，所以因此（）设，则直线的方程为，联立整理得.由l与椭圆c有且只有一个公共点，所以，即即，又所以，故，由（）知，所以，因此为定值，这个定值为-8.15. （2013山东高考文科22）在平面直角坐标系中，已知椭圆c的中心在原点o，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.(i)求椭圆c的方程；(ii)a,b为椭圆c上满足aob的面积为的任意两点,e为线段ab的中点,射线oe交椭圆c于点p,设,求实数t的值.【解题指南】（）可由椭圆的定义及简单的几何性质，易知椭圆的标准方程；(ii)由于a,b两点任意，因此需要考虑直线ab的斜率是否存在，斜率不存在时，设出a,b两点坐标，由已知条件得出p点坐标代入椭圆方程即可求得t的值，斜率存在时，可设直线的方程，然后与椭圆联立，根据条件得出t的关系式.【解析】（）设椭圆c的方程为，由题意知，解得因此椭圆c的方程为.(ii) 当abx轴时,设a(x0,y0),b(x0,-y0),由 由op=toe=t(x0,0)=