【全程复习方略】高中数学 1.2.2.2 组合的综合应用课时提升作业（七）新人教A版选修23.doc

课时提升作业(七)组合的综合应用一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014济南高二检测)某外商计划在4个城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()a.16种b.36种c.42种d.60种【解析】选d.若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,每个城市一项,共a43种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,一个城市一项、一个城市两项,共c32a42种方法.由分类加法计数原理知共a43+c32a42=60种方法.2.(2014广东高考)设集合a=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合a中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为()a.60b.90c.120d.130【解题指南】题设条件1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3意味着x1,x2,x3,x4,x5有4个,3个,2个元素为0.【解析】选d.集合a中元素为有序数组(x1,x2,x3,x4,x5),题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1、仅2个数为1或仅3个数为1,所以共有c512+c5222+c53222=130个不同数组.3.(2014石景山高二检测)若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有()a.60种b.63种c.65种d.66种【解析】选a.若四个数之和为奇数,则有1奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数.若1奇数3个偶数,则有c51c43=20种,若3个奇数1个偶数,则有c53c41=40,共有20+40=60种.【变式训练】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有()a.36个b.24个c.18个d.6个【解析】选a.在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数,2个偶数,要求三位数各位数字之和为偶数,则两个奇数一个偶数,所以符合条件的三位数共有c32c21a33=36.4.(2014北京高二检测)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有()a.140种b.120种c.35种d.34种【解析】选d.若选1男3女有c41c33=4种;若选2男2女有c42c32=18种;若选3男1女有c43c31=12种;所以共有4+18+12=34种不同的选法.5.(2014海淀高二检测)用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为()a.144b.120c.108d.72【解析】选c.若四位数中不含0,则有c31c42a22=36种;若四位数中含有一个0,则有c31c31c32a21=54种;若四位数中含有两个0,则有c32a32=18种,所以共有36+54+18=108种.6.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为()a.232b.252c.472d.484【解析】选c.若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色,则有c41c41c41=64种,若2张同色,则有c32c21c42c41=144种;若红色卡片有1张,剩余2张不同色,则有c41c32c41c41=192种,剩余2张同色,则有c41c31c42=72种,所以共有64+144+192+72=472种不同的取法.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2013重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答)【解题指南】直接根据分类加法原理及排列组合公式进行求解.【解析】抗震救灾医疗小组中骨科、脑外科和内科医生的人数可以为3,1,1;2,1,2;2,2,1;1,1,3;1,2,2;1,3,1六类情况,故选派方法有c33c41c51+c32c41c52+c32c42c51+c31c41c53+c31c42c52+c31c43c51=590种.答案:5908.(2014苏州高二检测)有3张都标着字母a,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片,若任取其中5张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数是种【解析】若无字母a,则有a65种;若含有一个字母a,则有c64a54种;若含有两个字母a,则有c63a53种;若含有三个字母a,则有c62a52种,综上所述,共有a65+c64a54+c63a53+c62a52=4020种.答案:4020【拓展延伸】解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求解.解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,应注意有无重复或遗漏.9.(2014景德镇高二检测)工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有种.【解析】第一阶段,先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,c61种方法,再随意拧第三个螺丝,和其对角线上的,c41种方法,然后随意拧第五个螺丝,和其对角线上的,c21种方法;第二阶段,先随意拧一个螺丝,c61种方法,完成上述过程分步进行,再随意拧不相邻的,若拧的是对角线上的,则还有4种拧法,若拧的是不相邻斜对角线上的,则还有6种拧法.完成上述过程分类进行,所以总共的固定方式有c61c41c21c61(4+6)=2880.答案:2880三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014西宁高二检测)从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按下列要求,各有多少种不同选法?(用数字作答)(1)男、女同学各2名.(2)男、女同学分别至少有1名.(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.【解析】(1)(c52c42)a44=1440,所以男、女同学各2名共有1440种选法.(2)(c51c43+c52c42+c53c41)a44=2880,所以男、女同学分别至少有1名共有2880种选法,(3)120-(c32+c41c31+c42)a44=2376,所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2376种选法.11.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?【解析】(1)先排前4次测试,只能取正品,有a64种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有c42a22=a42种测法,再排余下4件的测试位置,有a44种测法.所以共有不同测试方法a64a42a44=103680种.(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有不同测试方法a41(c61c33)a44=576种.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014北京高二检测)某岗位安排3名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一天,至多安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有()a.10种b.12种c.18种d.36种【解析】选c.由题意知,3名职工中有1人值班一天,此时有c31=3种,把另外2人,排好有3个空,将值班一天的找个工人,从3个空中选一个排上,另外2人全排有c31a22=6种,所以不同的安排方法有36=18种.2.同室a,b,c,d四位同学准备从三门选修课中各选一门,若要求每门选修课至少有一人选修,且a,b不选修同一门课,则不同的选法有()a.36种b.72种c.30种d.66种【解析】选c.将a,b,c,d四位同学分成3组,共有c42c212!种分法,所有的选修方案为c42c212!a33,其中a,b选修同一门课的方案数为a33.故所有不同的选法数为c42c212!a33-a33=30.3.从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字,把其中最大的数放在百位上排成三位数,这样的三位数有()a.40个b.120个c.360个d.720个【解析】选a.先选取3个不同的数,有c63种方法;然后把其中最大的数放在百位上,另两个不同的数放在十位和个位上,有a22种排法,故共有c63a22=40个三位数.4.(2014辽宁高考)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()a.144b.120c.72d.24【解题指南】采用间接法,从3人的所有可能的坐法中将3人相邻和只有两人相邻的坐法减去即可.【解析】选d.三人全相邻的坐法,采用捆绑法,将三人“绑在一起”,相当于一个元素在四个位置中选一个,而三人要全排列,共有c41a33=24种;只有两人相邻的坐法,从三人中任选两人,将这两人“绑在一起”,分类讨论:(一)若这两人坐(12)位,则第三人只能在4,5,6位中选一个位置,有3种坐法;(二)若这两人坐(23)位,则第三人只能在5,6位中选一个位置,有2种坐法;(三)若这两人坐(34)位,则第三人只能在1,6位中选一个位置,有2种坐法;(四)若这两人坐(45)位,则第三人只能在1,2位中选一个位置,有2种坐法;(五)若这两人坐(56)位,则第三人只能在1,2,3位中选一个位置,有3种坐法;这样只有两人相邻的坐法(这两人要全排列)共有c32a22(3+2+2+2+3)=72种坐法;三人的所有可能的坐法为c63a33=120种;综上可知,任何两人不相邻的坐法种数为120-24-72=24种.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2013大纲版全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)【解题指南】采用分步计数原理求解,求出一等奖、二等奖、三等奖可能的结果.【解析】分三步:第一步,一等奖有c61种结果;第二步,二等奖有c52种结果;第三步,三等奖有c33种结果,故共有c61c52c33=610=60种可能的结果.答案:606.(2014成都高二检测)甲组有5名男同学,3名女同学,乙组有6名男同学,2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有种.【解析】分两类:(1)从甲组中选出一名女同学有c51c31c62=225种选法;(2)从乙组中选出一名女生有c52c61c21=120种选法.故共有345种选法.答案:345【变式训练】(2014东城高二检测)有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有种.(用数字作答)【解析】因为每项活动最多安排4人,所以可以有三种安排方法,即(4,2),(3,3),(2,4).当安排4,2时,需要选出4个人参加共有c64=15,当安排3,3时,共有c63=20种结果,当安排2,4时,共有c62=15种结果,所以共有15+20+15=50种结果.答案:50三、解答题(每小题13分,共26分)7.现有10件产品,其中有2件次品,任意抽出3件检查.(1)恰有一件是次品的抽法有多少种?(2)至少有一件是次品的抽法有多少种?【解题指南】分清“恰有”“至少”的含义,正确地分类或分步.【解析】(1)从2件次品中任取1件,有c21种抽法.从8件正品中取2件,有c82种抽法.由分步乘法计数原理可知,不同的抽法共有c21c82=56种.(2)方法一:含1件次品的抽法有c21c82种,含2件次品的抽法有c22c81种.由分类加法计数原理知,不同的抽法共有c21c82+c22c81=56+8=64种.方法二:从10件产品中任取3件的抽法有c103种,不含次品的抽法有c83种,所以至少有1件次品的抽法为c102-c32=64种.【拓展延伸】解有限制条件的排列组合应用题的基本方法(1)直接法:用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则.(2)间接法:选择间接法的原则是正难则反,也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时,不妨从反面问题入手,特别是涉及“至多”“至少”等问题时更是如此.此时,正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键.8.现有5位同学准备一起做一项游戏,他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选出若干人组成a,b两个小组,每个小组都至少有1人,并且要求b组中最矮的那个同学的身高要比a组中最高的那个同学还要高.则不同的选法共有多少种?【解析】给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1,2,3,4,5,组成集合m=1,2,3,4,5.若小组a中最高者为1,则能使b中最矮者高于a中最高者的小组b是2,3,4,5的非空子集,这样的子集有c41+c42+c43+c44=24-1=15(个),所以不同的选法有15种;若a中最高者为2,则这样的小组a有2个:2,1,2,能使b中最矮者高