高考数学必胜秘诀在哪――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(八)圆锥曲线.pdf

当前第页共 8页1 高考数学必胜秘诀在哪 高考数学必胜秘诀在哪 概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 八 圆锥曲线八 圆锥曲线八 圆锥曲线八 圆锥曲线 1 1 1 1 圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义 1 第一定义第一定义第一定义第一定义中要重视重视重视重视 括号括号括号括号 内的限制条件内的限制条件内的限制条件内的限制条件 椭圆中椭圆中椭圆中椭圆中 与两个定点 F1 F 2的距离 的和等于常数2a 且此常数常数常数常数2a一定要大于一定要大于一定要大于一定要大于 21F F 当常数等于 21F F时 轨迹是线段 F1F 2 当常数小于 21F F时 无轨迹 双曲线中双曲线中双曲线中双曲线中 与两定点 F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 2a 且此常数2a一定要小于 F1F2 定义中的 绝对值绝对值绝对值绝对值 与与与与2a F F F F1F F F F2 不可忽视不可忽视不可忽视不可忽视 若2a F1F2 则轨迹是以 F1 F2为端点的两条射线 若2a F1F 2 则轨迹不存在 若去 掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 如 如 如 如 1 1 1 1 已知定点 0 3 0 3 21 FF 在满足 下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A 4 21 PFPFB 6 21 PFPF C 10 21 PFPFD 12 2 2 2 1 PFPF 答 C 2 2 2 2 方 程 2222 6 6 8xyxy 表示的曲线是 答 双曲线的左支 2 第二定义第二定义第二定义第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线注意定点和定直线是相应的焦点和准线注意定点和定直线是相应的焦点和准线注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子点点距为分子点点距为分子点点距为分子 点线点线点线点线 距为分母距为分母距为分母距为分母 其商即是离心率e 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离 与此点到相应准线距离间的关系 要善于运用第二定义对它们进行相互转化运用第二定义对它们进行相互转化运用第二定义对它们进行相互转化运用第二定义对它们进行相互转化 如如如如已知点 0 22 Q及抛物线 4 2 x y 上一动点 P x y 则 y PQ 的最小值是 答 2 2 2 2 2 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程 1 椭圆椭圆椭圆椭圆 焦点在x轴上时1 2 2 2 2 b y a x 0ab cos sin xa yb 参数方程 其中 为参数 焦点在y轴上时 2 2 2 2 b x a y 1 0ab 方程 22 AxByC 表示椭圆 的充要条件是什么 ABC 0 且 A B C 同号 A B 如如如如 1 1 1 1 已知方程1 23 22 k y k x 表示椭圆 则k的取值范围为 答 11 3 2 22 2 2 2 2 若Ryx 且 623 22 yx 则yx 的最大值是 22 yx 的最小值是 答 5 2 2 双曲线双曲线双曲线双曲线 焦点在x轴上 2 2 2 2 b y a x 1 焦点在y轴上 2 2 2 2 b x a y 1 0 0ab 方程 22 AxByC 表示双曲线的充要条件是什么 ABC 0 且 A B 异号 如 如 如 如 1 1 1 1 双曲线的离心率等于 2 5 且与椭圆1 49 22 yx 有公共焦点 则该双曲线的方程 答 2 2 1 4 x y 2 2 2 2 设中心在坐标原点O 焦点 1 F 2 F在坐标轴上 离心率2 e的双曲 线 C 过点 10 4 P 则 C 的方程为 答 22 6xy 3 抛物线抛物线抛物线抛物线 开口向右时 2 2 0 ypx p 开口向左时 2 2 0 ypx p 开口向 上时 2 2 0 xpy p 开口向下时 2 2 0 xpy p 3 3 3 3 圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 1 椭圆椭圆椭圆椭圆 由x 2 y 2 分母的大小决定 焦点在分母大的坐标轴上 如如如如已知方程 当前第页共 8页2 1 21 22 m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 答 2 3 1 1 2 双曲线双曲线双曲线双曲线 由x 2 y 2 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上 3 抛物线抛物线抛物线抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 特别提醒特别提醒特别提醒特别提醒 1 1 1 1 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点 F1 F 2的位 置 是椭圆 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程中的两个参 数 a b 确定椭圆 双曲线的形状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在求解抛物线问题 时 首先要判断开口方向 2 在椭圆中 a最大 222 abc 在双曲线中 c最大 222 cab 4 4 4 4 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 1 椭圆椭圆椭圆椭圆 以1 2 2 2 2 b y a x 0ab 为例 范围 axabyb 焦点 两个焦点 0 c 对称性 两条对称轴0 0 xy 一个对称中心 0 0 四 个顶点 0 0 ab 其中长轴长为 2a 短轴长为 2b 准线 两条准线 2 a x c 离心率 c e a 椭圆 01e 为例 范围 xa 或 xa yR 焦点 两个焦点 0 c 对称性 两条对称轴0 0 xy 一个对称中心 0 0 两 个顶点 0 a 其中实轴长为 2a 虚轴长为 2b 特别地 当实轴和虚轴的长相等时 称 为等轴双曲线 其方程可设为 22 0 xyk k 准线 两条准线 2 a x c 离心率 c e a 双曲线 1e 等轴双曲线 2e e越小 开口越小 e越大 开口越大 两条渐近线 b yx a 如 如 如 如 1 1 1 1 双曲线的渐近线方程是023 yx 则该双曲线的离心 率等于 答 13 2 或 13 3 2 2 2 2 双曲线 22 1axby 的离心率为5 则 a b 答 4 或 1 4 3 3 3 3 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 中 离心率 e 2 2 则两条渐近线夹角 的取值范围是 答 3 2 3 抛物线抛物线抛物线抛物线 以 2 2 0 ypx p 为例 范围 0 xyR 焦点 一个焦点 0 2 p 其中p的几何意义是 焦点到准线的距离 对称性 一条对称轴0y 没有对 称中心 只有一个顶点 0 0 准线 一条准线 2 p x 离心率 c e a 抛物线 1e 如如如如设Raa 0 则抛物线 2 4axy 的焦点坐标为 答 16 1 0 a 当前第页共 8页3 5 5 5 5 点 点 点 点 00 P xy和椭圆和椭圆和椭圆和椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0ab 的关系 的关系 的关系 的关系 1 点 00 P xy在椭圆外 22 00 22 1 xy ab 2 点 00 P xy在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1 3 点 00 P xy在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 直线与椭圆相交 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲 线相交不一定有0 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交 点 故0 是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 0 直线与抛物线相 交 但直线与抛物线相交不一定有0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线 相交且只有一个交点 故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 如如如如 1 1 1 1 若直线 y kx 2 与双曲线 x 2 y2 6 的右支有两个不同的交点 则 k 的取值范围是 答 3 15 1 2 2 2 2 直线 y kx 1 0 与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点 则 m 的取值 范围是 答 1 5 5 3 3 3 3 过双曲线1 21 22 yx 的右焦点直线交双 曲线于 A B 两点 若 AB 4 则这样的直线有 条 答 3 2 相切 0 直线与椭圆相切 0 直线与双曲线相切 0 直线 与抛物线相切 3 相离 0 直线与椭圆相离 0 直线与双曲线相离 0 直线 与抛物线相离 特别提醒特别提醒特别提醒特别提醒 1 1 1 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切 和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线 与抛物线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 2 2 2 过双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 外一 点 00 P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 P 点在两条渐近线之间且不含 双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四 条 P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与 双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与 另一渐近线平行的直线 一条是切线 P 为原点时不存在这样的直线 3 3 3 3 过抛物线外一 点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 如如如如 1 1 1 1 过点 4 2 作直线与抛物线xy8 2 只有一个公共点 这样的直线有 答 2 2 2 2 2 过 点 0 2 与双曲线1 169 22 yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 答 44 5 33 3 3 3 3 过双曲线1 2 2 2 y x的右焦点作直线l交双曲线于 A B 两点 若 AB4 则满足条件的直线l有 条 答 3 4 4 4 4 对于抛物线 C xy4 2 我们称 满足 0 2 0 4xy aayx右支上一点 F1 F2是左右 焦点 若0 212 FFPF PF1 6 则该双曲线的方程为 答 22 4xy 3 3 3 3 椭圆 22 1 94 xy 的焦点为 F1 F2 点 P 为椭圆上的动点 当PF2 PF1 中 以 00 P xy为中点的弦所在直线的斜率 k 0 p y 如 如 如 如 1 1 1 1 如果椭圆 22 1 369 xy 弦被点 A 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程是 答 280 xy 2 2 2 2 已知直线 y x 1 与椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 相交于 A B 两点 且线段 AB 的中点在直线 L x 2y 0 上 则此椭圆的离心率为 答 2 2 3 3 3 3 试确定 m 的取值范围 使得椭圆1 34 22 yx 上有不同的两点关于直线mxy 4对称 答 2 13 2 13 1313 特别提醒特别提醒特别提醒特别提醒 因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 对称问题时 务必别忘了检验0 12121212 你了解下列结论吗 你了解下列结论吗 你了解下列结论吗 你了解下列结论吗 1 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为 0 2 2 2 2 b y a x 当前第页共 8页6 2 以x a b y 为渐近线 即与双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线 的双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x 为参数 0 如如如如与双曲线1 169 22 yx 有共同的渐近线 且过点 32 3 的双曲线方程为 答 22 4 1 94 xy 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1mxny 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 2 2b a 焦准距 焦点到相 应准线的距离 为 2 b c 抛物线的通径为2p 焦准距为p 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点弦为 AB 1122 A x yB xy 则 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线 2 2 0 ypx p 顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 AB 恒经过定点 2 0 p 13131313 动点轨迹方程 动点轨迹方程 动点轨迹方程 动点轨迹方程 1 求轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接利用条件建立 x y之间的关系 0F x y 如如如如已知动点 P 到定点 F 1 0 和直线3 x的距离之和等于 4 求 P 的轨迹方程 答 2 12 4 34 yxx 或 2 4 03 yxx m 端点 A B 到 x 轴距离之积为 2m 以 x 轴为对称轴 过 A O B 三点作抛物线 则此抛物线方程 为 答 2 2yx 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程 如如如如 1 1 1 1 由动点 P 向圆 22 1xy 作两条切线 PA PB 切点分别为 A B APB 60 0 则动点 P 的轨迹方程为 答 22 4xy 2 2 2 2 点 M 与点 F 4 0 的距离比它到直线05 xl 的距离小于 1 则点 M 的轨迹方程是 答 2 16yx 3 3 3 3 一动圆与两圆 M 1 22 yx和 N 0128 22 xyx都外切 则动圆圆心的 轨迹为 答 双曲线的一支 代入转移法 动点 P x y依赖于另一动点 00 Q xy的变化而变化 并且 00 Q xy 又在某已知曲线上 则可先用 x y的代数式表示 00 xy 再将 00 xy代入已知曲线得要求的 轨迹方程 如如如如动点 P 是抛物线12 2 xy上任一点 定点为 1 0 A 点 M 分 PA所成的比 为 2 则 M 的轨迹方程为 答 3 1 6 2 xy 参数法 当动点 P x y坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可 考虑将 x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 如如如如 1 1 1 1 AB 是圆 O 的直径 且 AB 2a M 为圆上一动点 作 MN AB 垂足为 N 在 OM 上取点P 使 OPMN 求点P的轨迹 答 22 xya y 2 2 2 2 若点 11 yxP在圆1 22 yx 当前第页共 8页7 上运动 则点 1111 yxyxQ 的轨迹方程是 答 2 1 21 2 yxx 3 3 3 3 过抛 物线yx4 2 的焦点F作直线l交抛物线于A B两点 则弦AB的中点M的轨迹方程是 答 2 22xy 注意注意注意注意 如果问题中涉及到平面向量知识 那么应从已知向量的特点出发 考虑选择向 量的几何形式进行 摘帽子或脱靴子 转化 还是选择向量的代数形式进行 摘帽子或脱靴 子 转化 如如如如已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分 别是 F1 c 0 F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足 2 1 aQF 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 点 T 在线段 F2Q 上 并且满足 0 0 22 TFTFPT 1 设x为 点 P 的 横 坐 标 证 明 x a c aPF 1 2 求点 T 的轨迹 C 的方程 3 试问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的面积 S 2 b若存在 求 F1MF2的正切值 若 不存在 请说明理由 答 1 略 2 222 xya 3 当 2 b a c 时不存在 当 2 b a c 时存在 此时 F1MF2 2 曲线与曲线方程 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 寻求轨迹或轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点特殊点特殊点特殊点对轨迹的 完备性与纯粹性 的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中 常借助于常借助于常借助于常借助于 平面几何性质 数形结合 如角平分线的 双重身份 对称性 利用到角公式 方程与函数性质 化解析几何问题为代数问题 分 类讨论思想 化整为零分化处理 求值构造等式 求变量范围构造不等关系 等等 如果在一条直线上出现出现出现出现 三个或三个以上的点三个或三个以上的点三个或三个以上的点三个或三个以上的点 那么可选择应用可选择应用可选择应用可选择应用 斜率或向量斜率或向量斜率或向量斜率或向量 为为为为 桥梁桥梁桥梁桥梁转化 14141414 解析几何 解析几何 解析几何 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容与向量综合时可能出现的向量内容与向量综合时可能出现的向量内容与向量综合时可能出现的向量内容 1 1 1 1 给出直线的方向向量 ku 1 或 nmu 2 2 2 2 给出OBOA 与A