【全程复习方略】高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题五 立体几何.doc

【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题五 立体几何(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图不可能是()a.正方形b.圆c.等腰直角三角形d.直角梯形【解析】选d.当几何体是一个长方体,其中一个侧面为正方形时,a可能;当几何体是一个横放的圆柱时,b可能;当几何体是横放的三棱柱时,c可能;只有d不可能.2.(2014绍兴模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()a.12b.1c.32d.3【解析】选c.由三视图易知,该几何体是底面积为32,高为3的三棱锥,由锥体的体积公式得v=13323=32.3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()a.75+210b.75+410c.48+410d.48+210【解析】选b.由三视图可知该几何体是一个四棱柱.两个底面的面积之和为24+523=27,四个侧面的面积之和为(3+4+5+10)4=48+410,故表面积为75+410.4.(2014杭州模拟)已知直线l,m,平面,且l,m,则()a.若平面不平行于平面,则l不可能垂直于mb.若平面平行于平面,则l不可能垂直于mc.若平面不垂直于平面,则l不可能平行于md.若平面垂直于平面,则l不可能平行于m【解析】选c.a中,l有可能与m垂直;b中,l必与m垂直;d中,l可能平行于m,c正确.5.将图1中的等腰直角三角形abc沿斜边bc的中线折起得到空间四面体abcd(如图2),则在空间四面体abcd中,ad与bc的位置关系是()a.相交且垂直b.相交但不垂直c.异面且垂直d.异面但不垂直【解析】选c.在图1中的等腰直角三角形abc中,斜边上的中线ad就是斜边上的高,则adbc,翻折后如图2,ad与bc变成异面直线,而原线段bc变成两条线段bd,cd,这两条线段与ad垂直且交于一点,即adbd,adcd,bdcd=d,故ad平面bcd,所以adbc.6.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()a.a2b.73a2c.113a2d.5a2【解析】选b.根据题意作图如下(ob即为球的半径r):由图可知r2=a22+33a2=7a212,所以s球=4r2=73a2.7.如图,pa垂直于正方形abcd所在平面,连接pb,pc,pd,ac,bd,则下列垂直关系正确的是()平面pab平面pbc;平面pab平面pad;平面pab平面pcd;平面pab平面pac.a.b.c. d.【解析】选a.易证bc平面pab,则平面pab平面pbc.又adbc,故ad平面pab,则平面pad平面pab,因此选a.8.已知三棱锥o-abc中,oa,ob,oc两两垂直,oc=1,oa=x,ob=y,若x+y=4,则三棱锥体积的最大值是()a.13b.23c.1d.43【解析】选b.由条件可知v三棱锥o-abc=16oaoboc=16xy16x+y22=23,当x=y=2时,取得最大值23.9.已知三边长分别为3,4,5的abc的外接圆恰好是球o的一个过球心的圆,p为球面上一点,若点p到abc的三个顶点的距离相等,则三棱锥p-abc的体积为()a.5b.10c.20d.30【解析】选a.易知abc为直角三角形且点p在平面abc上的射影为o,则op=oa=ob=oc=r,又因为sabc=12|ab|ac|sina,由正弦定理可得sina=|bc|2r,故12|ab|ac|sina=|ab|ac|bc|4r=6,解得r=52,故vp-abc=13sabcr=5.10.(2014温州模拟)已知点p是正方体abcd-a1b1c1d1的表面上一动点,且满足|pa|=2|pb|.设pd1与平面abcd所成角为,则的最大值为()a.6b.4c.3d.2【解析】选b.如图,设正方体棱长为2,点p的轨迹为:以点q为球心,以43为半径的球与正方体表面的交线,即为如图的弧段emg,gsf,fne,要使得pd1与底面abcd所成角最大,则pd1与底面abcd的交点r与点d的距离最短,从而点p在弧段enf上,故点p在弧段enf上,且在qd上.从而dp=103-43=2,从而tan最大值为1,故最大值为4.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)11.若正三棱锥的正(主)视图与俯视图如图(单位:cm),则它的侧(左)视图的面积为cm2.【解析】由该正三棱锥的正(主)视图和俯视图可知,其侧(左)视图为一个三角形,它的底边长等于俯视图的高即32,高等于正(主)视图的高即3,所以侧(左)视图的面积为s=12323=34(cm2).答案:3412.在abc中,acb=90,ab=8,abc=60,pc平面abc,pc=4,m是ab上一个动点,则pm的最小值为.【解析】如图,因为pc平面abc,mc平面abc,所以pcmc.故pm=pc2+mc2=mc2+16.又因为mc的最小值为4438=23,所以pm的最小值为27.答案:2713.(2014宁波模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.【解析】结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为1222sin602-131222sin601=533.答案:53314.如图,正方体abcd-a1b1c1d1中,ab=2,点e为ad的中点,点f在cd上,若ef平面ab1c,则线段ef的长度等于.【解析】由ef平面ab1c,ef平面abcd,平面abcd平面ab1c=ac,知efac.所以由e是中点知ef=12ac=2.答案:215.已知三棱锥p-abc的各顶点均在一个半径为r的球面上,球心o在ab上,po平面abc,acbc=3,则三棱锥与球的体积之比为.【解析】依题意,ab=2r,又acbc=3,acb=90,因此ac=3r,bc=r,vp-abc=13posabc=13r123rr=36r3,而v球=43r3,因此vp-abcv球=36r343r3=38.答案:3816.如图,bac=90,pc平面abc,则abc,pac的边所在的直线中,与pc垂直的直线有;与ap垂直的直线有.【解析】因为pc平面abc,所以pc垂直于直线ab,bc,ac;因为abac,abpc,acpc=c,所以ab平面pac,所以abap.即与ap垂直的直线是ab.答案:ab,bc,acab17.对于四面体abcd,给出下列四个命题:若ab=ac,bd=cd,则bcad;若ab=cd,ac=bd,则bcad;若abac,bdcd,则bcad;若abcd,acbd,则bcad.其中真命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上).【解析】本题考查四面体的性质,取bc的中点e,则bcae,bcde,aede=e,所以bc平面ade,所以bcad,故正确.设o为a在面bcd上的射影,依题意obcd,ocbd,所以o为垂心,所以odbc,所以bcad,故正确,易排除,故答案为.答案:三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形.已知ab=3,ad=2,pa=2,pd=22,pab=60.m是pd的中点.(1)证明:pb平面mac.(2)证明:平面pab平面abcd.(3)求四棱锥p-abcd的体积.【解析】(1)连接om,因为m是pd中点,矩形abcd中o为bd中点,所以ompb.又om平面mac,pb平面mac.所以pb平面mac.(2)由题设知pa=2,ad=2,pd=22,有pa2+ad2=pd2,所以adpa.在矩形abcd中,adab.又paab=a,所以ad平面pab.因为ad平面abcd,所以平面pab平面abcd.(3)过点p作phab于点h.因为平面pab平面abcd,平面pab平面abcd=ab,所以ph平面abcd.在rtpha中,ph=pasin60=232=3,vp-abcd=13abadph=13323=23.19.(14分)(2014龙岩模拟)如图所示的平面四边形abcd中,abd是以a为直角顶点的等腰直角三角形,bcd为正三角形,且bd=4,ac与bd交于点o(如图甲).现沿bd将平面四边形abcd折成三棱锥a-bcd,使得折起后aoc=(0)(如图乙).(1)证明:不论在(0,)内为何值,均有acbd.(2)当三棱锥a-bcd的体积为833时,确定的大小.【解析】(1)易证abcadc,可知ac是等腰abd和等边bcd的角平分线,也是高,所以aobd,cobd.由于在平面图形中,aobd,cobd,折起后这种关系不变,且aoco=o,所以折起后bd平面aoc,又ac平面aoc,故bdac,即不论在(0,)内为何值,均有acbd.(2)由(1)知bd平面aoc,又bd平面bcd,所以平面aoc平面bcd.过点a作aeoc于点e,因为平面aoc平面bcd=oc,所以ae平面bcd,即ae是三棱锥a-bcd的高,在rtaoe中,ae=aosin=2sin,sbcd=124432=43,故三棱锥a-bcd的体积为v=13432sin=833sin,当三棱锥a-bcd的体积为833时,sin=1,=2.20.(14分)(2014诸暨模拟)如图,在直角梯形abcd中,abc=dab=90,ad=3,bc=2,ab=3,e,f为ad上的两个三等分点,g,h分别为线段ab,bc的中点,将abe沿直线be翻折成a1be,使平面a1be平面bcde.(1)求证:a1d平面fgh.(2)求直线a1d与平面a1be所成角.(3)过点a1作平面与线段bc交于点j,使得平面垂直于bc,求cj的长度.【解析】(1)由已知得bc=2=ed且bced,故四边形bcde为平行四边形,h,f为bc,ed的中点,连接bd,设bdhf=o,则易知o为bd的中点,连接go,由g为a1b中点,知oga1d.又go平面fgh,a1d平面fgh,故a1d平面fgh.(或证平面a1cd平面fgh,又a1d平面a1cd,故a1d平面fgh)(2)在平面bcd内过点d作dmbe,交be延长线于点m,连接a1m,由已知面a1be平面bcd,且be为两平面的交线,得dm平面a1be,则da1m即为直线a1d与平面a1be所成的角,在dem中,由de=2,dem=60,知dm=3.在a1em中,a1e=1,em=1,a1em=120,知a1m=3,从而tanda1m=dma1m=33=1,所以da1m=4,即直线a1d与平面a1be所成的角为4.(3)过a1作a1kbe交be于k,则由平面a1be平面bcde可得a1k平面bcde,从而bca1k,过k作kmbc交bc于m,则bc平面a1km,由于过a1且与bc垂直的平面是唯一的,所以平面a1km即平面,点m即点j,在rta1be中,bk=32,所以在rtbkj中,bj=12bk=34,所以cj=54.21.(15分)(2014慈溪模拟)如图所示,平面四边形pacb中,pab为直角,abc为等边三角形,现把pab沿着ab折起,使得平面apb与平面abc垂直,且点m为ab的中点.(1)求证:平面pab平面pcm.(2)若2pa=ab,求直线bc与平面pmc所成角的余弦值.【解析】(1)因为平面apb平面abc且交线为ab,又因为pab为直角,所以pa平面abc,故apcm.又因为abc为等边三角形,点m为ab的中点,所以cmab.又因为paab=a,所以cm平面pab.又cm平面pcm,所以平面pab平面pcm.(2)假设pa=a,则ab=2a.方法一:(等体积法)vp-mbc=vb-pmc,13pasmbc=13hbspmc,而三角形pmc为直角三角形,故面积为62a2,故hb=22a.所以直线bc与平面pmc所成角的正弦值sin=hbbc=24,所以余弦值为144.方法二:(向量坐标法)以点m为坐标原点,以mb为x轴,以mc为y轴,过m且平行于ap的直线为z轴建立空间直角坐标系,设pa=a,则m(0,0,0),p(-a,0,a),b(a,0,0),c(0,3a,0),故mc=(0,3a,0),mp=(-a,0,a),bp=(-2a,0,a).假设平面pmc的法向量为n=(x,y,z),则y=0,x=z,令x=1,故n=(1,0,1),则直线bc与平面pmc所成角的正弦值sin=24,所以余弦值为cos=144.22.(15分)如图,已知四棱锥s-abcd是由直角梯形sabc沿着cd折叠而成,其中sd=da=ab=bc=1,asbc,abad,且二面角s-cd-a的大小为120.(1)求证:平面asd平面abcd.(2)设侧棱sc和底面abcd所成角为,求的正弦值.【解析】(1)因为sd=da=ab=bc=1,asbc,abad,所以cd