九年级数学上册 28.4 垂径定理课件 （新版）冀教版.ppt

第二十八章圆 28 4垂径定理 九年级数学上新课标 冀教 学习新知 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥 距今约有1400年的历史 是我国古代人民勤劳和智慧的结晶 它的主桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 结果保留小数点后一位 在自己课前准备的纸片上作图 1 任意作一条弦ab 2 过圆心o作弦ab的垂线 得直径cd交ab于点e 3 观察图形 你能找到哪些线段相等 哪些弧相等 4 沿着cd所在的直线折叠 观察有哪些相等的线段 弧 5 图形中的已知是什么 你得到的结论是什么 你能写出你的证明过程吗 如图所示 在 o中 cd为直径 ab为弦 且cd ab 垂足为e 求证ae be 证明 如图所示 连接oa ob 在 oab中 oa ob oe ab ae be aoe boe aoc 180 aoe boc 180 boe aoc boc 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分这条弦所对的两条弧 几何语言 在 o中 cd为直径 cd ab ae be 垂径定理的推论 如图所示 在 o中 直径cd与弦ab 非直径 相交于点e 思考 1 若ae be 能判断cd与ab垂直吗 与 或与 相等吗 说明你的理由 2 若 或 能判断cd与ab垂直吗 ae与be相等吗 说明你的理由 解 1 cd ab 或 理由是 连接oa ob 如图所示 则 oab是等腰三角形 ae be cd ab 由垂径定理可得 2 cd ab ae be 理由是 aod bod 又 oa ob oe oe aeo beo aeo beo ae be cd ab 追加思考 1 垂径定理中的条件和结论分别是什么 用语言叙述 2 上面思考 1 2 中的条件和结论分别是什么 3 如果不要求 弦不是直径 上述结论还成立吗 在 o中 设直径cd与弦ab 非直径 相交于点e 若把ae be cd ab 中的一项作为条件 则可得到另外两项结论 教材164页例 如图所示 已知cd为 o的直径 ab为弦 且ab cd 垂足为e 若ed 2 ab 8 求直径cd的长 思考 1 如何把圆的半径转化为三角形中的线段 连接半径 构造直角三角形 2 构造的直角三角形中三边之间有什么特点 根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半 另两边的长正好相差ed长 3 直角三角形中已知一边 另外两边之间的关系 如何求另两边长 设未知数 用勾股定理列方程求解 解 如图所示 连接oa 设 o的半径为r cd为 o的直径 ab cd ae be ab 8 ae be 4 在rt oae中 oa2 oe2 ae2 oe od ed 即r2 r 2 2 42 解得r 5 从而2r 10 所以直径cd的长为10 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥 距今约有1400年的历史 是我国古代人民勤劳和智慧的结晶 它的主桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 结果保留小数点后一位 解 如图所示 用表示主桥拱 设所在圆的圆心为o 半径为r 经过圆心o作弦ab的垂线oc d为垂足 oc与相交于点c 连接oa 根据垂径定理知d为ab的中点 c为的中点 cd就是拱高 由题设可知 ab 37 4m cd 7 2m 所以ad ab 37 4 18 7 m od oc cd r 7 2 m 在rt oad中 由勾股定理 得oa2 ad2 od2 即r2 18 72 r 7 2 2 解得r 27 9 m 因此 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m 思考 1 在圆中解决有关弦的问题 常作什么辅助线 2 在圆中解决有关弦的问题 常用什么方法 知识拓展 1 由垂径定理可以得到以下结论 1 若直径垂直于弦 则直径平分弦及其所对的两条弧 2 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 3 垂直且平分一条弦的弦是直径 4 连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径 综上所述 可以知道在 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的劣弧 平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项 就可以推出另外三项 简称 5 2 3 定理 2 利用垂径定理及其推论可以证明平分弧 平分弦 证明垂直 证明一条线段是直径 3 利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置 在圆中找两条不平行的弦 分别作两条弦的垂直平分线 两条垂直平分线的交点即是圆心 4 由于垂直于弦的直径平分弦 因此可以在圆中构造直角三角形 利用勾股定理列方程求弦长 或半径 5 圆心到弦的距离叫做弦心距 检测反馈 1 如图所示 ab是 o的直径 cd是弦 cd ab于点e 则下列结论不一定成立的是 a coe doeb ce dec oe bed 解析 由垂径定理可知b d均成立 由 oce ode可得a也成立 不一定成立的是oe be 故选c c 2 如图所示 已知 o的半径为13 弦ab长为24 则点o到ab的距离是 a 6b 5c 4d 3 解析 过点o作oc ab于c oc过点o ac bc ab 12 在rt aoc中 由勾股定理 得oc 5 故选b b 3 如图所示 o的直径为10 弦ab的长为6 p是ab上一动点 则线段op的长的取值范围是 解析 当弦与op垂直时 op的值最小 连接oa 由勾股定理可得op 4 当点p与点a或点b重合时 op的值最大 此时op为 o的半径5 故填4 op 5 4 op 5 4 如图所示 ab是 o的弦 半径oc ab于点d 1 若ab 8cm oc 5cm 求cd的长 2 若oc 5cm od 3cm 求ab的长 3 若ab 8cm cd 2cm 求 o的半径 解 连接oa 则ao oc oc ab oda 90 1 oc ab ad ab 4cm 在rt oad中 oa 5cm od 3 cm cd oc od 2cm 2 在rt oa