【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 3.7正弦定理和余弦定理精品试题 (2)(1).doc

正弦定理和余弦定理(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014台州模拟)在abc中,已知a=2,b=2,b=45,则角a=()a.30或150b.60或120c.60d.30【解析】选d.由正弦定理asina=bsinb,得sina=asinbb=2sin452=12,又ab,故a45,因此a=30.【误区警示】本题容易由sina=asinbb得sina=12,而没有利用ab判断a0),则cosc=a2+b2-c22ab=4k2+9k2-16k222k3k=-140.故c为钝角,所以abc一定为钝角三角形.【加固训练】(2014莆田模拟)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若b=2ccosa,c=2bcosa,则abc的形状为()a.直角三角形b.锐角三角形c.等边三角形d.等腰直角三角形【解析】选c.由正弦定理,得sinb=2sinccosa,sinc=2sinbcosa,即sin(a+c)=2sinccosa=sinacosc+cosasinc,即sinacosc-cosasinc=0,所以sin(a-c)=0,a=c,同理可得a=b,所以三角形为等边三角形.4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()a.90b.120c.135d.150【解析】选b.设c所对边长为7,因为578,所以角c是处于最大角与最小角之间的角,cosc=52+82-72258=12,因为0c180,所以c=60,所以最大角与最小角之和为180-60=120.5.(2013北京高考)在abc中,a=3,b=5,sina=13,则sinb=()a.15b.59c.53d.1【解析】选b.由正弦定理得asina=bsinb,所以313=5sinb,所以sinb=59.6.在abc中,内角a,b,c的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinc=23sinb,则a=()a.30b.60c.120d.150【解析】选a.由正弦定理,得c=23b,又a2-b2=3bc,所以a2=7b2.由余弦定理,得cosa=b2+c2-a22bc=32,因为0a180,所以a=30.7.在abc中,三个内角a,b,c所对的边为a,b,c,且b2=a2-ac+c2,c-a=90,则cosacosc=()a.14b.24c.-14d.-24【思路点拨】由边的关系利用余弦定理求出cosb,从而求出三个内角后再求解.【解析】选c.依题意得a2+c2-b2=ac,cosb=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.又0b1,nn),则由n2+(n-1)2-(n+1)2=n2-4n0得0nb2+c2,a90.锐角三角形:若a为最大边,且满足a2b2+c2或a为最大角,且a90.【加固训练】(2014沈阳模拟)在abc中,a,b,c分别为内角a,b,c的对边,且2asina=(2b+c)sinb+(2c+b)sinc.(1)求a的大小.(2)若sinb+sinc=1,试判断abc的形状.【解析】(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosa,故cosa=-12,a=120.(2)由(1)得sin2a=sin2b+sin2c+sinbsinc,变形得34=(sinb+sinc)2-sinbsinc,又sinb+sinc=1,得sinbsinc=14,上述两式联立得sinb=sinc=12,因为0b90,0c90,故b=c=30,所以abc是等腰的钝角三角形.15.(能力挑战题)在abc中,已知a=4,cosb=255.(1)求cosc的值.(2)若bc=25,d为ab的中点,求cd的长.【思路点拨】(1)利用c=-a-b,将cosc转化为角a,b的函数值求解.(2)先利用正弦定理求出ab,再由余弦定理求cd.【解析】(1)因为cosb=255且b(0,),所以sinb=1-cos2b=55,cosc=cos(-a-b)=cos34-b=cos34cosb+sin34sinb=-22255+2255=-1010.(2)由(1)可得sinc=1-cos2c=1-10102=31010,由正弦定理,得bcsina=absinc,即2522=ab31010,解得ab=6,在bcd中,cd2=(25)2+32-2325255=5,所以cd=5.【加固训练】在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且2bcosa=ccosa+acosc.(1)求角a的大小.(2)若a=7,b+c=4,求bc的值.【解析】(1)由正弦定理,得a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc(r为abc外接圆的半径),则已知等式可化为2sinbcosa=sinccosa+sinacosc,即2sinbcosa=sin(a+c)=sinb,