【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 8.7双曲线精品试题(1).doc

【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习 8.7双曲线精品试题(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.(2014金华模拟)设p是双曲线x216-y220=1上一点,f1,f2分别是双曲线左右两个焦点,若|pf1|=9,则|pf2|等于()a.1b.17c.1或17d.以上答案均不对【解析】选b.由双曲线定义|pf1|-|pf2|=8,又|pf1|=9,所以|pf2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=21,所以|pf2|=17.2.(2014温州模拟)已知双曲线的渐近线方程为y=3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则该双曲线的方程为()a.x28-y224=1b.x212-y24=1c.x224-y28=1d.x24-y212=1【解析】选d.因为双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),所以c2=16,因此选项a,c错误,又因为双曲线的渐近线方程为y=3x,所以选项b错误.3.(2013福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()a.12b.22c.1d.2【解析】选b.取一顶点(1,0),一条渐近线x-y=0,d=12=22,故选b.4.(2013北京高考)双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是()a.m12b.m1c.m1d.m2【思路点拨】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选c.a2=1,b2=m,c2=1+m,e=ca=1+m2,所以m1.5.(2014嘉兴模拟)已知抛物线y2=2px(p0)上一点m(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为a,若双曲线的一条渐近线与直线am平行,则实数a的值是()a.19b.125c.15d.13【解析】选a.因为m到其焦点的距离为5,所以1+p2=5,所以p=8,所以m(1,4),又a(-a,0),由题意知1a=41+a,所以a=19.6.(2014台州模拟)已知f1,f2为双曲线c:x29-y216=1的左、右焦点,点p在曲线c上,|pf1|=3|pf2|,则cosf1pf2=()a.527b.-527c.-725d.725【解析】选b.如图,依题意知:|pf1|-|pf2|=6,又因为|pf1|=3|pf2|,所以|pf1|=9,|pf2|=3.又|f1f2|=2c=10,在f1pf2中,由余弦定理得:cosf1pf2=|pf1|2+|pf2|2-|f1f2|22|pf1|pf2|=92+32-102293=-527.7.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则b2+13a的最小值为()a.233b.33c.2d.1【解析】选a.因为双曲线的离心率为2,所以ca=2,即c=2a,c2=4a2.又因为c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=3a,因此b2+13a=3a2+13a=a+13a213=233,当且仅当a=13a时等号成立.即b2+13a的最小值为233.8.(2013重庆高考)设双曲线c的中心为点o,若有且只有一对相交于点o,所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使|a1b1|=|a2b2|,其中a1,b1和a2,b2分别是这对直线与双曲线c的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()a.233,2b.233,2c.233,+d.233,+【解析】选a.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率ba必须满足33ba3,所以13ba23,431+ba24,即有2331+ba22.又双曲线的离心率为e=ca=1+ba2,所以2330,b0).则:(1)当ab0时,双曲线的离心率满足1e0时,e=2(亦称为等轴双曲线).(3)当ba0时,e2.二、填空题(每小题6分,共24分)9.(2013湖南高考)设f1,f2是双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点.若在c上存在一点p,使pf1pf2,且pf1f2=30,则c的离心率为.【解析】如图,因pf1pf2,且pf1f2=30,故|pf2|=12|f1f2|=c,则|pf1|=3c,又由双曲线定义可得|pf1|-|pf2|=2a,即3c-c=2a,故ca=23-1=3+1.答案:3+110.已知f是双曲线x24-y212=1的左焦点,p是双曲线右支上的动点,若a(1,4),则|pf|+|pa|的最小值是.【解析】因为a点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为f(4,0),于是由双曲线的定义得|pf|-|pf|=2a=4.而|pa|+|pf|af|=5.两式相加得|pf|+|pa|9,当且仅当a,p,f三点共线时,等号成立.答案:9【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.11.设圆c的圆心与双曲线x2a2-y22=1(a0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-3y=0被圆c截得的弦长等于2,则a的值为.【解析】由题知圆心c(a2+2,0),双曲线的渐近线方程为2xay=0,圆心c到渐近线的距离d=2a2+22+a2=2,即圆c的半径长为2.由直线l被圆c截得的弦长为2及圆c的半径长为2,可知圆心c到直线l的距离为1,即a2+21+3=1a=2.答案:2【加固训练】已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为52,则该双曲线的渐近线斜率为.【解析】由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线x2a2-y2b2=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5.又由e=ca=c5=52,可解得c=552,则b2=c2-a2=254,即b=52.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=ba=12.答案:1212.(2014石家庄模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为.【解析】焦点(c,0)到渐近线y=bax的距离为bca2+b2=b,则由题意知b=2a,又a2+b2=c2,所以5a2=c2,所以离心率e=ca=5.答案:5【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=1+ba2求解.(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,寻找a与c的关系式,然后求解.三、解答题(每小题14分,共28分)13.双曲线的中心为原点o,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点f垂直于l1的直线分别交l1,l2于a,b两点.已知|oa|,|ab|,|ob|成等差数列,且bf与fa同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线ab被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设|oa|=m-d,|ab|=m,|ob|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=14m,tanaof=ba,tanaob=tan2aof=aboa=43,由倍角公式,得2ba1-ba2=43,解得ba=12,则离心率e=52.(2)不妨设过f与l1垂直的直线方程为y=-ab(x-c),与双曲线方程x2a2-y2b2=1联立,将a=2b,c=5b代入,化简有154b2x2-85bx+21=0,4=1+ab2|x1-x2|=1+ab2(x1+x2)2-4x1x2,将数值代入,有4=5325b152-428b25,解得b=3,故所求的双曲线方程为x236-y29=1.14.(2013天津模拟)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,坐标原点到直线ab的距离为32,其中a(a,0),b(0,-b).(1)求双曲线的方程.(2)若b1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点b作直线交双曲线于点m,n,求b1mb1n时,直线mn的方程.【解析】(1)设直线ab:xa-yb=1,由题意,ba=3,aba2+b2=32,所以a=3,b=3,所以双曲线方程为x23-y29=1.(2)由(1)得b(0,-3),b1(0,3),设m(x1,y1),n(x2,y2),易知直线mn的斜率存在.设直线mn:y=kx-3,所以y=kx-3,3x2-y2=9,所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,所以x1+x2=6kk2-3,y1+y2=k(x1+x2)-6=18k2-3,x1x2=18k2-3,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.因为b1m=(x1,y1-3),b1n=(x2,y2-3),b1mb1n=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即18k2-3+9-54k2-3+9=0,解得k2=5,所以k=5代入有解,所以lmn:y=5x-3.【加固训练】(能力挑战题)已知双曲线y212-x213=1的上焦点为f,m(x0,y0)为其上支上的任意一点.(1)证明:|mf|=536y0-23.(2)若双曲线上支上的三点a(x1,y1),b(26,6),c(x2,y2)到f的距离成等差数列,求y1+y2的值.(3)证明线段ac的垂直平分线经过某一个定点,并求这一定点的坐标.【解析】(1)由于c2=12+13=25,故f(0,5),点m(x0,y0)在双曲线的上支上,故x02=13y0212-1且y023,|mf|=x02+(y0-5)2=1312y02-13+y02-10y0+25=2512y02-245y0+12225=2512y0-1252=536y0-125.因为y023,所以|mf|=536y0-125=536y0-23.(2)由(1)得|af|=536y1-23,|bf|=5366-23,|cf|=536y2-23.由于|af|+|cf|=2|bf|,所以y1+y2=12.(3)