微积分第四章典型例题.doc

第四章典型例题分析例、设在处有二阶导数，且，求。解： 由连续得，故例2若函数具有连续的一阶导数且，求。解：例3、若函数在可导，求常数解：由在可导得在连续，所以，从而，即。，所以，即。例4、证明：对任意的，证明。证：设，则，为唯一驻点，由得为极小值点，从而为最小值点，故对任意的，。例5、证明：当时，。证：设，则，令，解得唯一驻点为，且，所以为极小值点，从而为最小值，所以当时，即。（方法二）设，则，令，解得唯一驻点为，当时，故在上单调减少，从而当时，当时，故在上单调增加，从而当时，总之，当时，即例6、证明时，。证：，则在内，且在处连续，所以在上单调增加，从而时，故在上单调增加，即有时， ，于是在上单调增加，故时，例7. 证明当时，证明（1）先证：当时，。法一：（利用单调性） 设，则在上连续，且在内，所以在上单调减少，从而当时， ，即。法二：（利用微分中值定理）由拉格朗日中值定理得，存在，使得，由于，所以当时，。（2） 证明：当时，。法一：（利用单调性）设，则在上连续，且 。令，得。当时，所以在上单调增加，从而当时，；当时，所以在上单调减少，从而当时，。总之，当时，。法二：（用最值 ） 设，则在上连续，从而有最大值和最小值。令，得。再由，得，在上的最小值为，最大值在处取得。所以当时，即。本例还可以这样证：只需证明不等式在内成立令，则在上连续，在内可导，且。令=，则在上连续，在内，所以在上单调减少，于是时，从而，即在上单调减少，故当时。注：利用导数的性质证明不等式，主要有以下思路：利用微分中值定理；利用函数的单调性；利用最值；利用函数的凹凸性。例8已知在内可导，且，求的值。解：由已知得在上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，故，使得，并且时，。从而。所以 。显然（若，则），且， 故，即。例9求极限(1) ; （2） ; （3）.解：（1）（2）（法一）法二: 。（3） 注：用洛必达法则计算极限时，注意利用等价无穷小代换等方法来化简；若某因子的极限存在并且不为零，或某加数的极限存在，应该及时利用极限的四则运算求出，以简化极限；多次使用洛必达法则时，必须每次使用前验证洛必达法则的条件。例10设，求极限（）；（）解：（），即 。又因为，所以由夹逼定理得。（）由于，所以。例11设在处连续，且，问是否是的极值点，若是，是极大值点还是极小值点。解：由在处连续得，即为的驻点，又，所以是的极大值点。例12已知在点的邻域里有定义，且，其中为正整数，讨论在点处是否取极值。解：由极限的保号性，若，则存在点的某空心邻域，使得；若，则存在点的某空心邻域，使得。即存在点的某空心邻域，使得与同号。（1）若为偶数，则在点的某空心邻域里，与同号。当时，从而为极小值；当时，从而为极大值。（2若为奇数，则在点的某空心邻域里，与同号。在的左邻域里，与异号，在的右邻域里，与同号，即在的左、右邻域，异号，从而不是的极值。 总之，若为偶数且，为极小值；若为偶数且，为极大值；若为奇数，不是的极值。注：由，我们还可以得到以下结论。（1），即，从而在处连续。（2）若，则，即。若，则，从而在处不可导。利用以上结果，练习：设满足，则_。是极小值；是极大值；在处取极值；在点处可导且。 正确选项为。例13已知在上连续，在内存在且单调增加，证明：在内，函数也是单调增加的证明：。对于任意的，在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以，使得，即，从而。由于在内单调增加，且，所以，从而，即有在内，函数单调增加例14 设，求 。 解：，所以，解得。又，所以。0132例15已知有二阶连续导数，的图形如图所示，求的极值和拐点。解：由图，所以 有两个驻点。在的左邻域，在的右邻域，所以为极小值点，且极小值为。在的左右邻域，都有，所以不是极值点。由图观察得。在的左邻域，单调增加，从而，在的右邻域，单调减少，从而，所以为拐点。在的左邻域，单调减少，从而，在的右邻域，单调增加，从而，所以为拐点。总之，的极小值为，拐点为和。例16某商品进价为（元/件）。根据以往经验，当销售价为（元/件）时，销售量为件，均为正常数，且，市场调查表明,销售价每下降，销售量可增加。现决定一次性降价。试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求最大利润。解：设降价后的销售价为，增加的销售量为，总利润为，则，解得。从而。令，得唯一驻点，且，所以为极大值点，从而为最大值点，即定价为（元）时利润最大，最大利润为（元）。*例17. 讨论方程（其中有几个实数根。分析：讨论方程实数根的个数时，经常利用“函数在其每个单调区间上最多有一个实数根”，从而函数有几个单调区间就最多有几个实数根。然后在每个单调区间上考察能否找到异号的两个点，若能，由连续函数的零值定理可知函数在该单调区间上有零点，否则，函数在该