【全程复习方略】（福建专用）高中数学 柯西不等式训练 理 新人教A版选修45.doc

【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 柯西不等式训练 理 新人教a版选修4-51.(2012南京模拟)若正数a,b,c满足a+b+c=1，求的最小值.2.已知x,y,z为正实数，且求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.3.若a,b,c均为正数，且a+b+c=6，求的最大值.4.设p是三角形abc内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，r是abc外接圆的半径，证明5.已知a、b、c均为正数，且对任意的xr恒成立，求实数m的取值范围.6.已知x,y,z为实数，且x+2y+3z=(1)求x2+y2+z2的最小值；(2)设|2t-1|= x2+y2+z2，求实数t的取值范围.7.已知a,b,c为实数，且a+b+c+2-2m=0,(1)求证：(2)求实数m的取值范围.8.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证： (2)求的最小值.9.已知函数x1,且不等式f(x)a2+b2+c2对任意x1恒成立.(1)试求函数f(x)的最小值;(2)试求a+2b+2c的最大值.10.(2012南安模拟)将12 cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，(1)求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；(2)若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.答案解析1.【解析】因为正数a,b,c满足a+b+c=1,所以即当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=时，原式取最小值1.2.【解题指南】因为所以可构造然后利用柯西不等式求解.【解析】由柯西不等式得当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6,y=3,z=2，所以当x=6，y=3,z=2时，x+4y+9z取得最小值36.3.【解析】由柯西不等式得当且仅当即2a=2b+1=2c+3时等号成立，又a+b+c=6，时，有最大值4.【证明】由柯西不等式得，设s为abc的面积，则故不等式成立.5.【解析】a,b,c均为正数,且a+b+c=3,由柯西不等式可知,|x-2|+|x-m|3对任意的xr恒成立.|x-2|+|x-m|(x-2)-(x-m)|=|m-2|,|m-2|3,解得m-1或m5.m的取值范围是(-,-15,+).6.【解析】(1)由柯西不等式得(12+22+32)(x2+y2+z2)(1x+2y+3z)2即所以当且仅当|x|=|y|=|z|时取等号，即x2+y2+z2的最小值为(2)由(1)得|2t-1|，则2t-1或2t-1-，解得t或t即实数t的取值范围是(-，+).7.【解析】(1)由柯西不等式得即当且仅当|a|=|b|=|c|时取得等号.(2)由已知得a+b+c=2m-2,14(1-m)(2m-2)2，即2m2+3m-50,m1,又m1,m1.8.【证明】(1)根据柯西不等式，得(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)因为5x+4y+3z=10,所以 (2)根据均值不等式，得当且仅当x2=y2+z2时，等号成立.根据柯西不等式，得(x2+y2+z2)(52+42+32)(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)2，当且仅当时，等号成立.综上，232=18.9.【解析】(1)x1,x-10f(x)= (当且仅当x=2时取“=”)(2)由(1)得a2+b2+c23由柯西不等式得(a2+b2+c2)(12+22+22)(1a+2b+2c)2(a+2b+2c)239=27,a+2b+2c当且仅当即时取“=”，即a+2b+2c的最大值为10.【解析】(1)a+b+c=12,v=abc=64;当且仅当a=b=c=4时，等号成立.(2