【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和精品试题(1).doc

等差数列及其前n项和(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014嘉兴模拟)设an为等差数列,公差d=-2,sn为其前n项和,若s10=s11,则a1=()a.18b.20c.22d.24【解析】选b.由s10=s11可知a11=s11-s10=0,所以a1+(11-1)d=0,即a1+10(-2)=0,解得a1=20.2.设等差数列an的前n项和为sn,若s3=9,s6=36,则a7+a8+a9等于()a.63b.45c.36d.27【思路点拨】利用s3,s6-s3,s9-s6也成等差数列求解.【解析】选b.由an是等差数列,得s3,s6-s3,s9-s6为等差数列,即2(s6-s3)=s3+(s9-s6),得到s9-s6=2s6-3s3=45,故选b.【误区警示】误认为sm,s2m,s3m成等差数列而导致出错.3.已知等差数列an满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和s10=()a.138b.135c.95d.23【解析】选c.设公差为d,因为a2+a4=4,a3+a5=10,所以(a5-a4)+(a3-a2)=2d=6,所以d=3.又a2+a4=2a1+4d=4,所以a1=-4.所以s10=10a1+10(10-1)2d=-40+453=95.4.(2014北京模拟)在等差数列an中,a2+a6=32,则sin2a4-3=()a.32b.12c.-32d.-12【解析】选d.在等差数列an中,a2+a6=32=2a4,则sin2a4-3=-12.5.一个等差数列an的前12项的和为354,前12项中偶数项的和s偶与前12项中奇数项的和s奇之比为3227,则公差d=()a.5b.6c.10d.12【解析】选a.由题意可知s偶+s奇=354,s偶s奇=3227,解得s偶=192,s奇=162.又由等差数列的性质,可得s偶-s奇=6d,即192-162=6d,解得d=5.6.(2014台州模拟)设等差数列an的前n项和为sn,若a11-a8=3,s11-s8=3,则使an0的最小正整数n的值是()a.8b.9c.10d.11【解析】选c.因为a11-a8=3d=3,所以d=1,因为s11-s8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,所以a1=-8,所以an=-8+(n-1)0,解得n9,因此使an0的最小正整数n的值是10.故选c.7.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,sn是数列an的前n项的和,则有()a.s4=s5b.s4s5c.s6=s5d.s6s5【解析】选a.据题意可知a2+a8=2a5=0a5=0,故s4=s4+a5=s5.8.(2014杭州模拟)等差数列an中,ana2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()a.1b.1,12c.12d.0,12,1【解析】选b.等差数列an中,设ana2n=a1+(n-1)da1+(2n-1)d是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,故2md-d=0,(m-1)a1+(1-m)d=0,由第一个方程得d=0或者m=12.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a10);若m=12,代入第二个方程得d=a1.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2013重庆高考)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=.【思路点拨】可根据等差数列的性质直接求解.【解析】因为2,a,b,c,9成等差数列,所以公差d=9-24=74,c-a=2d=72.答案:7210.(2014丽水模拟)设公差不为零的等差数列an的前n项和为sn,若a22+a32=a42+a52,则s6=.【解析】设等差数列的公差为d(d0),由a22+a32=a42+a52可得a52-a32+a42-a22=0,即2d(a5+a3)+2d(a4+a2)=0,即a5+a3+a4+a2=0,由等差数列的性质可得2a4+2a3=0,即a4+a3=0,又a1+a6=a4+a3=0,故s6=6(a1+a6)2=0.答案:011.数列an中,a3=2,a7=1且数列1an+1是等差数列,则a11=.【解析】由已知可得1a3+1=13,1a7+1=12,于是得1a11+1=21a7+1-1a3+1=212-13=23,解得a11=12.答案:12【加固训练】项数大于3的等差数列an中,各项均不为零,公差为1,且1a1a2+1a2a3+1a1a3=1,则其通项公式为.【解析】因为1a1a2+1a2a3+1a1a3=1,所以1a1-1a2+1a2-1a3+121a1-1a3=1.所以3a1-3a3=2,所以a12+2a1-3=0,解得a1=1或a1=-3(舍).所以an=1+(n-1)1=n.答案:an=n(nn*)12.(能力挑战题)已知an为等差数列,若a11a10-1,且它的前n项和sn有最大值,当sn取得最小正值时,n的值等于.【解析】由已知得,an是首项为正,公差为负的递减等差数列,由a11a10-1得a10+a110,a110,所以s20=20(a1+a20)2=20(a10+a11)2=10(a10+a11)0,所以sn取得最小正值时n=19.答案:19三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2013大纲版全国卷)等差数列an中,a7=4,a19=2a9,(1)求an的通项公式.(2)设bn=1nan,求数列bn的前n项和sn.【思路点拨】(1)根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差,再根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d求出an的通项公式.(2)将(1)中an的通项公式代入到bn=1nan中,采用裂项相消法求和.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.因为a7=4,a19=2a9,所以a1+6d=4,a1+18d=2(a1+8d),解得a1=1,d=12.所以an的通项公式为an=n+12.(2)因为bn=1nan=2n(n+1)=21n-1n+1,所以sn=21-12+12-13+1n-1n+1=2nn+1.14.在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为sn,且s10=s15.(1)求sn.(2)当n为何值时,sn有最大值?并求出它的最大值.【解析】(1)设数列an的公差为d.因为a1=20,s10=s15,所以1020+1092d=1520+15142d.解得d=-53,所以sn=n20+n(n-1)2-53=-56n2+1256n.(2)由(1)中sn,配方得sn=-56n-2522+3 12524.因为nn*,而252=12.5,所以n=12或n=13时,sn有最大值.最大值为s12=s13=130.【一题多解】本题第(2)问还可用下面两种解法:方法一:由(1)知d=-53,所以an=20+(n-1)-53=-53n+653.令an0解得n13,即当n12时,an0,a13=0,n14时an0,所以当n=12或n=13时sn取得最大值,且最大值为s12=s13=1220+12112-53=130.方法二:由(1)知d=-530.又由s10=s15得a11+a12+a13+a14+a15=0,从而5a13=0,即a13=0,所以当n=12或n=13时,sn有最大值,且最大值为s12=s13=130.【方法技巧】求等差数列前n项和最值的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.(2)公差不为零的等差数列的前n项和sn=an2+bn(a,b为常数)为二次函数,利用二次函数的性质求最值.15.(能力挑战题)已知数列an满足a1=1,an+1=1-14an,其中nn*.(1)设bn=22an-1,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式an.(2)设cn=4ann+1,数列cncn+2的前n项和为tn,是否存在正整数m,使得tn1cmcm+1对于nn*恒成立,若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=221-14an-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2,所以数列bn是等差数列,a1=1,b1=2,因此bn=2+(n-1)2=2n,由bn=22an-1得an=n+12n.(2)cn=2n,cncn+2=4n(n+2)=21n-1n+2,所以tn=21+12-1n+1-1n+23,依题意要使tn1cmcm+1对于nn*恒成立,只需m(m+1)43,解得m3或m-4,又因为m为正整数,所以存在符合题意的m,m的最小值为3.【加固训练】数列an满足an=3an-1+3n-1(nn*,n2),已知a3=95.(1)求a1,a2.(2)是否存在一个实数t,使得bn=13n(an+t)(nn*),且bn为等差数列?若存在,则求出t的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)