高考数学一轮复习 第六章 数列 第四节 数列求和课件 理.ppt

第四节数列求和 总纲目录 教材研读 1 求数列的前n项和的方法 考点突破 2 常见的裂项公式 考点二并项法求和 考点一分组转化法求和 考点三裂项相消法求和 教材研读 1 求数列的前n项和的方法 1 公式法 i 等差数列的前n项和公式sn na1 ii 等比数列的前n项和公式当q 1时 sn na1 当q 1时 sn 把数列的每一项转化成几项之和 使所求和转化为几个等差 等比数列之和 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差再求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 错位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广 2 分组转化法 6 并项求和法求一个数列的前n项和时 可将数列的项合并求解 这种方法称为并项求和法 形如an 1 nf n 的类型 可采用两项合并求和 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 2 常见的裂项公式 1 2 3 1 数列 an 的通项公式是an 前n项和为9 则n等于 a 9b 99c 10d 100 b 答案b an sn a1 a2 an 1 令 1 9 得n 99 故选b 2 数列 an 的前n项和为sn 若an 则s5等于 a 1b c d b 答案b an s5 a1 a2 a5 1 3 设数列 an 是首项为1的等比数列 若是等差数列 则 的值等于 a 2012b 2013c 3018d 3019 c 答案c设数列 an 的公比为q 由等差数列的定义可得 则 解得q 1 则an 1 从而 故 2012 3018 4 数列 an 的前n项和为sn 已知sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则s17 9 答案9 解析s17 1 2 3 4 5 6 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 17 1 1 1 1 9 5 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则它的前n项和sn 2n 1 2 n2 答案2n 1 2 n2 解析sn 21 1 22 3 23 5 2n 2n 1 21 22 2n 1 3 5 2n 1 2n 1 2 n2 考点一分组转化法求和 考点突破 典例1 2016北京 15 13分 已知 an 是等差数列 bn 是等比数列 且b2 3 b3 9 a1 b1 a14 b4 1 求 an 的通项公式 2 设cn an bn 求数列 cn 的前n项和 解析 1 等比数列 bn 的公比q 3 所以b1 1 b4 b3q 27 设等差数列 an 的公差为d 因为a1 b1 1 a14 b4 27 所以1 13d 27 即d 2 所以an 2n 1 n n 2 由 1 知 an 2n 1 bn 3n 1 因此cn an bn 2n 1 3n 1 从而数列 cn 的前n项和 sn 1 3 2n 1 1 3 3n 1 n2 规律总结分组转化求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 若an 且数列 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组求和法求和 1 1设 an 是一个公比为q q 0 且q 1 的等比数列 4a1 3a2 2a3成等差数列 且它的前4项和s4 15 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn an 2n n 1 2 3 求数列 bn 的前n项和 解析 1 因为 an 是一个公比为q q 0 q 1 的等比数列 所以an a1qn 1 因为4a1 3a2 2a3成等差数列 所以6a2 4a1 2a3 即q2 3q 2 0 解得q 2或q 1 舍 又由 an 的前4项和s4 15 得 15 q 0 q 1 解得a1 1 所以an 2n 1 2 因为bn an 2n n 1 2 3 所以bi ai 2i 2n n n 1 1 典例2已知数列 an 的前n项和为sn 1 5 9 13 17 21 1 n 1 4n 3 则s15 s22 s31的值是 a 13b 76c 46d 76 考点二并项法求和 b 答案b 解析s15 1 5 9 13 4 13 3 4 14 3 4 15 3 7 4 57 29 s22 1 5 9 13 4 21 3 4 22 3 11 4 44 s31 1 5 9 13 4 29 3 4 30 3 4 31 3 15 4 121 61 s15 s22 s31 29 44 61 76 故选b 规律总结并项求和的解题思路并项求和常见的有首末并项 隔项并项 分段并项 类周期并项 求解时要注意观察通项的结构特点 根据特点采用相应方法求解 2 1若数列 an 的通项公式是an 1 n 3n 2 则a1 a2 a10 a 15b 12c 12d 15 答案a记bn 3n 2 则数列 bn 是以1为首项 3为公差的等差数列 所以a1 a2 a9 a10 b1 b2 b9 b10 b2 b1 b4 b3 b10 b9 5 3 15 故选a a 典例3已知函数f x 数列 an 满足 a1 2 an 1 f n n 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 求数列的前n项和tn 考点三裂项相消法求和 解析 1 f x 2 an 1 f 2 an an 1 an 2 数列 an 是首项为2 公差为2的等差数列 an a1 n 1 d 2 2 n 1 2n 2 数列 an 是等差数列 sn n n 1 tn 1 易错警示利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 有些情况下 裂项时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 3 1已知等差数列 an 满足a3 7 a5 a7 26 其前n项和为sn 1 求 an 的通项公式及sn 2 令bn n n 求数列 bn 的前8项和 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由a5 a7 26 得a6 13 又a6 a3 3d 6 故d 2 所以an a3 n 3 d 7 2 n 3 2n 1 所以sn n n n2 2n 2 由bn 得bn 设 bn 的前n项和为tn 则t8 1 即数列 bn 的前8项和为 典例4设数列 an 的前n项和为sn 且a1 4 an 1 sn n n 1 写出a2 a3 a4的值 2 求数列 an 的通项公式 3 已知等差数列 bn 中 有b2 a2 b3 a3 求数列 an bn 的前n项和tn 考点四错位相减法求和 解析 1 a1 4 an 1 sn a2 s1 a1 4 a3 s2 a1 a2 4 4 8 a4 s3 a1 a2 a3 4 4 8 16 an 1 sn an sn 1 n 2 an 1 an sn sn 1 an 1 2an n 2 又a2 4 an 2n n 2 又当n 1时 a1 4 不满足上式 an 3 设等差数列 bn 的公差为d 依题意得 b2 a2 4 b3 a3 8 则由得b1 0 d 4 则bn 4 n 1 所以an bn 因为当n 1时 n 1 2n 2 0 所以an bn n 1 2n 2 n n 所以tn a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 an 1bn 1 anbn 0 1 24 2 25 3 26 n 2 2n 1 n 1 2n 2 2tn 0 1 25 2 26 3 27 n 2 2n 2 n 1 2n 3 得 tn 1 24 25 26 2n 2 n 1 2n 3 24 2n 1 1 n 1 2n 3 2 n 2n 3 16 tn n 2 2n 3 16 方法技巧 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确地写出 sn qsn 的表达式 4 1已知an 0 且ap aq 2p q p q n 成立 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn nan n n 求数列 bn 的前n项和sn 解析 1 对于任意正整数p