高考数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第四节 随机事件与古典概型课件 理.ppt

第四节随机事件与古典概型 总纲目录 教材研读 1 事件的分类 考点突破 2 频率和概率 3 事件的关系与运算 考点二互斥事件与对立事件 考点一随机事件的频率与概率 4 概率的几个基本性质 考点三集合的基本运算 5 古典概型 1 事件的分类 教材研读 2 频率和概率 1 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的 次数na为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 2 对于给定的随机事件a 随着试验次数的增加 事件a发生的 频率fn a 稳定在某个常数上 把这个常数记作p a 称为事件a的概率 简称为a的概率 3 事件的关系与运算 4 概率的几个基本性质 1 概率的范围为 0 1 2 必然事件的概率为1 3 不可能事件的概率为0 4 概率的加法公式若事件a与事件b互斥 则p a b p a p b 5 对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b 1 p a 1 p b 5 古典概型 1 2 概率计算公式p a 1 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 a b c d c 答案c从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种有以下选法 红黄 红白 红紫 黄白 黄紫 白紫 共6种 其中红色和紫色的花不在同一花坛 即黄色和白色的花不在同一花坛 的选法有4种 所以所求事件的概率p 故选c 2 甲 乙两人下棋 两人下成和棋的概率是 甲获胜的概率是 则甲不输的概率为 a b c d a 答案a设 两人下成和棋 为事件a 甲获胜 为事件b 事件a与b是互斥事件 所以甲不输的概率p p a b p a p b 故选a 3 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 事件 至少有一名女生 与事件 全是男生 a 是互斥事件 不是对立事件b 是对立事件 不是互斥事件c 既是互斥事件 也是对立事件d 既不是互斥事件也不是对立事件 c 答案c 至少有一名女生 包括 一男一女 和 两名女生 两种情况 这两种情况再加上 全是男生 构成全集 且不能同时发生 故 至少有一名女生 与 全是男生 既是互斥事件 也是对立事件 故选c 4 某人进行打靶练习 共射击10次 其中有2次中10环 有3次中9环 有4次中8环 有1次未打中 假设此人射击1次 则中靶的概率约为0 9 中10环的概率约为0 2 答案0 9 0 2 解析中靶的频数为9 试验次数为10 所以中靶的频率为 0 9 所以此人射击1次 中靶的概率约为0 9 同理 中10环的概率约为0 2 5 给出下列三个命题 其中正确的命题有个 有一大批产品 已知次品率为10 从中任取100件 必有10件是次品 做7次抛硬币的试验 结果3次正面朝上 因此正面朝上的概率是 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 答案0 解析 错 不一定有10件次品 错 是频率而非概率 错 频率不等价于概率 这是两个不同的概念 0 考点一随机事件的频率与概率 考点突破 典例1某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况 得到如下统计表 1 记a为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 求p a 的估计值 2 记b为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 求p b 的估计值 3 求续保人本年度平均保费的估计值 解析 1 事件a发生的条件是当且仅当一年内出险次数小于2 由所给数据知 一年内出险次数小于2的频率为 0 55 故p a 的估计值为0 55 2 事件b发生的条件是当且仅当一年内出险次数大于1且小于4 由所给数据知 一年内出险次数大于1且小于4的频率为 0 3 故p b 的估计值为0 3 3 由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为0 85a 0 30 a 0 25 1 25a 0 15 1 5a 0 15 1 75a 0 10 2a 0 05 1 1925a 因此 续保人本年度平均保费的估计值为1 1925a 规律总结 1 概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度 频率是随机的 而概率是一个确定的值 通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小 有时也用频率作为随机事件概率的估计值 2 随机事件概率的求法利用概率的统计定义可求事件的概率 即通过大量的重复试验 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数 这个常数就是概率 1 1 2017北京海淀一模改编 16 据报道 巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港已通航 这是一个可以停靠8 10万吨邮轮的深水港 通过这一港口 中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区 这相当于给中国平添了一条大动脉 在打造中巴经济走廊协议 简称协议 中 能源投资约340亿美元 公路投资约59亿美元 铁路投资约38亿美元 高架铁路投资约16亿美元 瓜达尔港投资约6 6亿美元 光纤通信投资约0 4亿美元 有消息称 瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津 上海两港口月货物吞吐量之和 下表记录了2015年天津 上海两港口的月货物吞吐量 单位 百万吨 1 根据协议提供的信息 用数据说明本次协议的投资重点 2 从上表的12个月中任选一个月 求该月天津 上海两港口月货物吞吐量之和超过55百万吨的概率 解析 1 本次协议的投资重点为能源 因为能源投资约340亿美元 占总投资460亿美元的50 以上 所占比重大 所以本次协议的投资重点为能源 2 设事件a 从12个月中任选一个月 该月天津 上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨 根据题中提供的数据信息 可以得到天津 上海两港口的月货物吞吐量之和 单位 百万吨 分别是56 49 59 54 54 57 59 58 58 56 55 56 其中超过55百万吨的月份有8个 所以p a 考点二互斥事件与对立事件典例2某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1 1张奖券中奖的概率 2 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解析p a p b p c 1 1张奖券中奖包含中特等奖 一等奖 二等奖 设 1张奖券中奖 为事件m 则m a b c a b c两两互斥 p m p a b c p a p b p c 故1张奖券中奖的概率为 2 设 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 为事件n 则事件n与 1张奖券中特等奖或中一等奖 为对立事件 p n 1 p a b 1 p a p b 1 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 方法技巧 1 判断互斥事件 对立事件的方法互斥事件 对立事件一般用定义判断 不可能同时发生的两个事件为互斥事件 试验时 若两个事件有且仅有一个发生 则这两个事件为对立事件 对立事件一定是互斥事件 2 复杂事件的概率的两种求法 1 直接求法 将所求事件分解为一些彼此互斥的事件 运用互斥事件的概率求和公式计算 2 间接求法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式p a 1 p 求解 正难则反 特别是 至多 至少 型题目 用间接求法就比较简便 2 1一个盒子内装有红球 白球 黑球三种球 其数量分别为3 2 1 从中任取两球 则互斥而不对立的两个事件为 a 至少有一个白球 都是白球b 至少有一个白球 至少有一个红球c 恰有一个白球 一个白球一个黑球d 至少有一个白球 红球 黑球各一个 d 答案d红球 黑球各取一个 则一定取不到白球 故 至少有一个白球 红球 黑球各一个 为互斥事件 又任取两球还包含 两个红球 等事件 故d中两事件不是对立事件 2 2做掷一个骰子的试验 事件a表示 小于5的偶数点出现 事件b表示 小于5的点数出现 则一次试验中 事件a 发生的概率为 a b c d c 答案c由于基本事件的总数为6 故p a p b 从而p 1 p b 1 又a与互斥 故p a p a p 故选c 考点三古典概型典例3 2017北京房山一模 16 某中学高一 高二年级各有8个班 学校调查了一个学期各班文学名著的阅读量 单位 本 并根据调查结果 得到如下所示的茎叶图 为鼓励学生阅读 在高一 高二两个年级中 学校将阅读量高于本年级阅读量平均数的班级命名为该年级的 书香班级 1 当a 4时 记高一年级的 书香班级 数为m 高二年级的 书香班级 数为n 比较m n的大小 2 在高一年级的8个班级中 任意选取两个 求这两个班级均是 书香班级 的概率 3 若高二年级的 书香班级 数多于高一年级的 书香班级 数 求a的值 只需写出结论 解析 1 当a 4时 高二年级阅读量的平均数为 10 16 20 21 22 23 31 34 22 125 所以n 3 高一年级阅读量的平均数为 11 14 18 22 23 25 38 41 24 所以m 3 所以m n 2 记 这两个班级均是 书香班级 为事件a 则p a 3 a的值为0 1 2 方法技巧解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件中包含的基本事件数 1 基本事件总数较少时 可用列举法把所有基本事件一一列出 但要做到不重复 不遗漏 2 注意区分排列与组合 以及正确使用计数原理 3 当所求事件含有 至少 至多 或分类情况较多时 通常考虑用对立事件的概率公式p a 1 p 求解 3 1 2018北