高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修11.ppt

3 1 3导数的几何意义 第三章 3 1变化率与导数 1 了解导函数的概念 了解导数与割线斜率之间的关系 2 理解曲线的切线的概念 理解导数的几何意义 3 会求曲线上某点处的切线方程 初步体会以直代曲的意义 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一导数的几何意义函数y f x 在点x x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的 也就是说 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是 相应地 切线方程为 知识点二函数的导函数当x x0时 f x0 是一个确定的数 则当x变化时 f x 是x的一个函数 称f x 是f x 的导函数 简称导数 f x 也记作y 斜率 f x0 y f x0 f x0 x x0 答案 返回 题型探究重点突破 题型一已知过曲线上一点求切线方程例1若曲线y x3 3ax在某点处的切线方程为y 3x 1 求a的值 设曲线与直线相切的切点为p x0 y0 解 y x3 3ax 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 即x 4y 4 0 解析答案 题型二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y 2x2 7 求曲线过点p 3 9 的切线方程 由于点p 3 9 不在曲线上 设所求切线的切点为a x0 y0 则切线的斜率k 4x0 故所求的切线方程为y y0 4x0 x x0 解得x0 2或x0 4 所以切点为 2 1 或 4 25 从而所求切线方程为8x y 15 0或16x y 39 0 反思与感悟 反思与感悟 若题中所给点 x0 y0 不在曲线上 首先应设出切点坐标 然后根据导数的几何意义列出等式 求出切点坐标 进而求出切线方程 解析答案 解易知点 2 0 不在曲线上 故设切点为p x0 y0 再由p x0 y0 在曲线上 得x0y0 1 联立可解得x0 1 y0 1 所求直线方程为x y 2 0 解析答案 题型三求切点坐标例3在曲线y x2上过哪一点的切线 1 平行于直线y 4x 5 2 垂直于直线2x 6y 5 0 3 与x轴成135 的倾斜角 反思与感悟 设p x0 y0 是满足条件的点 1 因为切线与直线y 4x 5平行 所以2x0 4 x0 2 y0 4 即p 2 4 是满足条件的点 2 因为切线与直线2x 6y 5 0垂直 解析答案 反思与感悟 3 因为切线与x轴成135 的倾斜角 所以其斜率为 1 即2x0 1 反思与感悟 反思与感悟 解答此类题目时 所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键 由这些信息得知函数在某点处的导数 进而可求此点的横坐标 解题时要注意解析几何知识的应用 如直线的倾斜角与斜率的关系 直线互相平行或垂直等 解析答案 跟踪训练3已知抛物线y 2x2 1 求 1 抛物线上哪一点的切线平行于直线4x y 2 0 2 抛物线上哪一点的切线垂直于直线x 8y 3 0 解设点的坐标为 x0 y0 即f x0 4x0 1 抛物线的切线平行于直线4x y 2 0 即f x0 4x0 4 得x0 1 该点为 1 3 2 抛物线的切线与直线x 8y 3 0垂直 即f x0 4x0 8 得x0 2 该点为 2 9 斜率为4 斜率为8 题型归纳 计算切线与坐标轴围成的图形的面积 求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类 1 曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积 此类问题比较简单 只要求出切线方程与两坐标轴的交点 即可计算 2 求通过曲线外一点引曲线的两条切线 两切线与坐标轴围成的图形的面积 解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标 3 求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积 其解题步骤为 求两曲线的交点坐标 求交点处两条切线的切线方程 求两切线与坐标轴的交点坐标 依据数形结合的思想计算图形的面积 解析答案 返回 解析答案 即两曲线的交点坐标为 1 1 返回 如图所示 两切线分别与y轴交于点 0 2 和 0 1 同理 曲线y x2在点 1 1 处的切线的斜率为 故曲线y x2在点 1 1 处的切线方程为y 2x 1 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 已知曲线y f x 2x2上一点a 2 8 则点a处的切线斜率为 a 4b 16c 8d 2 即斜率k 8 c 解析答案 1 2 3 4 5 2 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则 a a 1 b 1b a 1 b 1c a 1 b 1d a 1 b 1解析由题意 知k y x 0 又 0 b 在切线上 b 1 故选a a 1 2 3 4 5 解析答案 y x 1 1 b 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知曲线y f x 2x2 4x在点p处的切线斜率为16 则p点坐标为 令4x0 4 16得x0 3 p 3 30 3 30 解析答案 1 2 3 4 5 5 曲线y 2x2 1在点p 1 3 处的切线方程为 解析 y 2 x 1 2 1 2 1 2 1 2 x 2 4 x 由导数几何意义知 曲线y 2x2 1在点 1 3 处的切线的斜率为 4 切线方程为y 4x 1 即4x y 1 0 4x y 1 0 课堂小结 返回 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个数值 不是变数 导函数 是一个函数 二者有本质的区别 但又有密切关系 f x0 是其导数y f x 在