高中数学 第三章 推理与证明 4 反证法课件 北师大版选修12.ppt

第三章 推理与证明 学习目标 1 了解间接证明的一种基本方法 反证法 2 了解反证法的思考过程 特点 3 理解反证法的推理过程 证明步骤 体会直接证明与间接证明的区别与联系 4反证法 1 知识梳理自主学习 2 题型探究重点突破 3 当堂检测自查自纠 知识点一反证法的定义 在证明数学问题时 先假定成立 在这个前提下 若推出的结果与 矛盾 或与命题中的相矛盾 或与相矛盾 从而说明 不可能成立 由此断定成立 这种证明方法叫作反证法 命题结论的反面 已知条件 假定 定义 定理 公理 命题结论的 反面 命题的结论 反证法的证明过程可以概括为 否定 推理 否定 即从否定结论开始 经过正确的推理 导出逻辑矛盾 从而达到新的否定 即肯定原命题 的过程 用反证法证明命题 若p则q 的过程可以用以下框图表示 知识点二反证法证明的思维过程 思考分析反证法证明命题 若p则q 时 可能会出现几种情况 答可能会出现以下三种情况 1 导出非p为真 即p假 也就是与原命题的条件矛盾 2 导出q为真 即与假设 非q为真 矛盾 3 导出一个恒假命题 即与定义 公理 定理矛盾 题型一用反证法证明 至多 至少 型命题 x y 0 1 x 2y 1 y 2x 2 x y 2 x y 即x y 2与已知x y 2矛盾 反思与感悟对于含有 至多 至少 的命题适合用反证法 对于此类问题 需仔细体会 至少有一个 至多有一个 等字眼的含义 弄清结论的否定是什么 避免出现证明遗漏的错误 跟踪训练1已知a b c d r 且a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 证明假设a b c d都是非负数 a b c d 1 a b c d 1 又 a b c d ac bd ad bc ac bd ac bd 1 这与已知ac bd 1矛盾 a b c d中至少有一个是负数 题型二用反证法证明不存在 唯一性命题 例2求证对于直线l y kx 1 不存在这样的实数k 使得l与双曲线c 3x2 y2 1的交点a b关于直线y ax a为常数 对称 证明假设存在实数k 使得a b关于直线y ax对称 设a x1 y1 b x2 y2 则有 1 直线l y kx 1与直线y ax垂直 2 点a b在直线l y kx 1上 当k2 3时 l与双曲线仅有一个交点 不合题意 由 得a x1 x2 k x1 x2 2 代入 整理得 ak 3 这与 矛盾 所以假设不成立 故不存在实数k 使得a b关于直线y ax对称 反思与感悟证明 唯一性 问题的方法 唯一性 包含 有一个 和 除了这个没有另外一个 两层意思 证明后一层意思时 采用直接证法往往会相当困难 因此一般情况下都采用间接证法 即用反证法 假设 有另外一个 推出矛盾 或同一法 假设 有另外一个 推出它就是 已知那一个 证明 而用反证法有时比用同一法更方便 跟踪训练2求证 过一点只有一条直线与已知平面垂直 已知 平面 和一点p 求证 过点p与 垂直的直线只有一条 证明如图所示 不论点p在 内还是在 外 设pa 垂足为a 或p 假设过点p不止有一条直线与 垂直 如还有另一条直线pb 设pa pb确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点p有两条直线pa pb垂直于a 这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾 假设不成立 原命题成立 题型三用反证法证明否定性命题 1 求数列 an 的通项an与前n项和sn 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 反思与感悟 1 当结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题 此类问题的反面比较具体 适于应用反证法 例如证明异面直线 可以假设共面 再把假设作为已知条件推导出矛盾 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 故方程f x 0没有负数根 1 2 3 1 证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 第一步应假设 a 三角形中至少有一个直角或钝角b 三角形中至少有两个直角或钝角c 三角形中没有直角或钝角d 三角形中三个角都是直角或钝角 b 4 5 1 2 3 2 用反证法证明 三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中 a 有一个内角小于60 b 每一个内角都小于60 c 有一个内角大于60 d 每一个内角都大于60 b 4 5 3 abc a bd a b或a b 1 2 3 d 4 5 4 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设 a a不垂直于cb a b都不垂直于cc a bd a与b相交 1 2 3 d 4 5 5 已知a是整数 a2是偶数 求证a也是偶数 证明 反证法 假设a不是偶数 即a是奇数 设a 2n 1 n z 则a2 4n2 4n 1 4 n2 n 是偶数 4n2 4n 1是奇数 这与已知a2是偶数矛盾 由上述矛盾可知 a一定是偶数 1 2 3 4 5 课堂小结 1 反证法证明的基本步骤 1 假设命题结论的反面是正确的 反设 2 从这个假设出发 经过逻辑推理 推出与已知条件 公理 定义 定理 反设及明显的事实矛盾 推谬 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定原命题的结论是正确的 结论 2 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不全面的 2 反证法必须从否定结