【全程复习方略】高中数学 3.2.3.1 互斥事件课时提升作业 北师大版必修3.doc

互斥事件一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014滨州高一检测)奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()a.对立事件b.不可能事件c.互斥但不对立事件d.不是互斥事件【解析】选c.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.2.(2014泰安高一检测)许洋说:“本周我至少做完3套练习题.”设许洋所说的事件为a,则a的对立事件为()a.至多做完3套练习题b.至多做完2套练习题c.至多做完4套练习题d.至少做完3套练习题【解析】选b.至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完2套练习题.【变式训练】下列说法正确的是()a.事件a,b中至少有一个发生的概率一定比a,b中恰有一个发生的概率大b.事件a,b同时发生的概率一定比a,b中恰有一个发生的概率小c.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件d.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件【解析】选d.如果a事件包含b事件,则事件a,b中至少有一个发生的概率就是a事件的概率,显然a,b错;互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,所以c错d对.3.(2014长春高二检测)从某班学生中任找一人,如果该同学身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在160,175(单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()a.0.2b.0.3c.0.7d.0.8【解题指南】事件“身高小于160cm”“身高在160,175”及“身高超过175cm”为互斥事件,且概率之和为1.【解析】选b.所求概率为1-0.2-0.5=0.3.4.(2014长沙高一检测)从1,2,3,9中任取两数,其中:恰有一个偶数和恰有一个奇数;至少有一个奇数和两个都是奇数;至少有一个奇数和两个都是偶数;至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()a.b.c.d.【解析】选c.从19中任取两数,有以下三种情况:(1)两个均为奇数.(2)两个均为偶数.(3)一个奇数和一个偶数,故选c.5.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03,则抽验一件是正品(甲级品)的概率为()a.0.08b.0.95c.0.97d.0.92【解析】选d.因为由题意知本产品包含正品和次品两种情况,“一件产品是正品”和“一件产品是次品”这两个事件是对立事件,产品是次品的概率为0.05+0.03=0.08,所以产品是正品的概率是1-0.08=0.92.6.(2013安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()a.23b.25c.35d.910【解析】选d.从五人中录用三人包含的基本事件为甲、乙、丙,甲、乙、丁,甲、乙、戊,甲、丙、丁,甲、丙、戊,甲、丁、戊,乙、丙、丁,乙、丙、戊,乙、丁、戊,丙、丁、戊共10种,其中甲、乙两人仅有1人被录用的概率p1=610,甲、乙两人都被录用的概率p2=310,所以所求概率为p=p1+p2=910.二、填空题(每小题4分,共12分)7.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,那么甲不输的概率是_.【解析】甲不输就是甲获胜或者下成和棋,而两者为互斥事件,所以甲不输的概率是0.3+0.5=0.8.答案:0.88.(2014连云港高二检测)事件a,b互斥,它们都不发生的概率为25,且p(a)=2p(b),则p(a)=_.【解析】因为事件a,b互斥,它们都不发生的概率为25,所以p(a)+p(b)=1-25=35.又因为p(a)=2p(b),所以p(a)+12p(a)=35,所以p(a)=25,所以p(a)=1-p(a)=1-25=35.答案:35【误区警示】本题易发生对“事件a,b都不发生”的对立事件的错误理解或找不出p(a)与p(b)的关系导致问题无法求解.事实上,“事件a,b都不发生”的对立事件为“事件a发生或事件b发生”.9.(2014合肥高二检测)某战士射击一次中靶的概率为0.95,中靶环数大于5的概率为0.75,则中靶环数大于0且小于6的概率为_(只考虑整数环数).【解析】因为某战士射击一次“中靶的环数大于5”(事件a)与“中靶的环数大于0且小于6”(事件b)是互斥事件,p(a+b)=0.95.所以p(a)+p(b)=0.95,所以p(b)=0.95-0.75=0.2.答案:0.2【变式训练】从一批苹果中任取一个,其质量小于200g的概率是0.10,质量不小于300g的概率是0.12,那么质量在200,300)g范围内的概率是_.【解析】事件“质量在200,300)g范围内”的对立事件是“质量小于200g或质量不小于300g”,因为“质量小于200g”与“质量不小于300g”互斥,所以“质量小于200g或质量不小于300g”的概率为0.10+0.12=0.22,又由对立事件的概率公式得质量在200,300)g范围内的概率为1-0.22=0.78.答案:0.78三、解答题(每小题10分,共20分)10.口袋中有大小一样的6只球,其中4只红球,2只黄球,从中摸出2只球,求两只球颜色相同的概率.【解析】从6只球中任意取2只球含有的基本事件总数为15.记:“从6只球中任意取2只球颜色相同”为事件a,“从6只球中任意取2只红球”为事件b,“从6只球中任意取2只黄球”为事件c,则a=b+c,因为p(b)=615=25,p(c)=115,所以p(a)=p(b+c)=25+115=715,所以从6只球中任意取2只球颜色相同的概率为715.【变式训练】经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:排队等候人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至少3人排队等候的概率是多少?(2)有人排队等候的概率是多少?【解析】记“有0人等候”为事件a,“有1人等候”为事件b,“有2人等候”为事件c,“有3人等候”为事件d,“有4人等候”为事件e,“有5人及5人以上等候”为事件f,则易知a,b,c,d,e,f两两互斥,(1)“记至少3人排队等候”为事件g,则p(g)=p(d+e+f)=p(d)+p(e)+p(f)=0.3+0.1+0.04=0.44.(2)记“有人排队等候”为事件h,则“没有人排队等候”为事件h,p(h)=1-p(h)=1-0.1=0.9.11.(2014唐山高二检测)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为0.025,炸中第二、三军火库的概率各为0.1,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.【解析】设a,b,c分别表示炸弹炸中第一、第二及第三军火库这三个事件,d表示军火库爆炸,已知p(a)=0.025,p(b)=p(c)=0.1,其中a,b,c是互斥事件,因为只投掷了一枚炸弹,故不可能同时炸中两个及以上的军火库,故有p(d)=p(a+b+c)=p(a)+p(b)+p(c)=0.025+0.1+0.1=0.225.一、选择题(每小题3分,共12分)1.盒子里有大小相同的3个红球,2个白球,从中任取2个,颜色不同的概率是()a.15b.25c.35d.45【解析】选c.易知共有10种不同结果,其中颜色相同的有4种,因此颜色不同的概率为1-410=35.2.(2014西安高二检测)下列四个说法:对立事件一定是互斥事件;a,b为两个事件,则p(a+b)=p(a)+p(b);若事件a,b,c两两互斥,则p(a)+p(b)+p(c)=1;事件a,b满足p(a)+p(b)=1,则a,b是对立事件,其中错误说法的个数是()a.0b.1c.2d.3【解析】选d.所给的四种说法中:正确;成立需a与b互斥;中可能还会涉及其他事件;中两个事件可能并不是在一个试验中获得的或事件a,b的交集不为空集,故不正确,故选d.【变式训练】(2013北京高一检测)从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()a.至少1个白球,都是白球b.至少1个白球,至少1个红球c.至少1个白球,都是红球d.恰好1个白球,恰好2个白球【解析】选d.选项a,b中不是互斥事件,选项c中是对立事件.选项d中是互斥事件,但不是对立事件.3.(2014黄冈高二检测)如果事件a,b互斥,记a,b分别为事件a,b的对立事件,那么()a.a+b是必然事件b.a+b是必然事件c.a与b一定互斥d.a与b一定不互斥【解析】选b.用venn图解决此类问题较为直观,如图所示,a+b是必然事件,故选b.4.(2014开封高一检测)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中互斥而不对立的两个事件为()a.至少有一个红球,至少有一个白球b.恰有一个红球,都是白球c.至少有一个红球,都是白球d.至多有一个红球,都是红球【解析】选b.对于a,至少有一个红球中包含一个红球,另一个为白球;至少有一个白球中包含一个白球,另一个为红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于b,恰有一个红球,则另一个必是白球;与“都是白球”是互斥事件,而任选两球还有“都是红球”的情形,故两事件不是对立事件;对于c,至少有一个红球为“都是红球”或“一红一白”与“都是白球”显然是对立事件.对于d,至多有一个红球为“都是白球”或“一红一白”,与“都是红球”是对立事件,故选b.【变式训练】一个战士一次射击,命中环数大于8,大于5,小于4,小于7,这四个事件中,互斥事件有()a.2对b.4对c.6对d.3对【解析】选d.命中环数大于8与命中环数小于4互斥,命中环数大于8与命中环数小于7互斥,命中环数大于5与命中环数小于4互斥.二、填空题(每小题4分,共8分)5.口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球共100个,其中红球有45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是_.【解题指南】可以先利用对立事件求解出从口袋中摸出一个球是“白球或黑球”的概率,再求出摸出黑球的概率.【解析】由题意可知,口袋中白球和黑球共有55个,即从口袋中摸出一个球,摸出“白球或黑球”的概率是0.55,“摸出白球”和“摸出黑球”又是互斥事件,所以由互斥事件概率加法公式可知摸出黑球的概率为0.55-0.23=0.32.答案:0.326.为维护世界经济秩序,我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义,并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4年关税达到要求,其余进口商品将在3年或3年内达到要求,则进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率为_.【解析】设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件a,“不到4年达到要求”为事件b,则“进口汽车在不超过4年的时间关税达到要求”是事件a+b,而a,b互斥,所以p(a+b)=p(a)+p(b)=0.18+(1-0.21-0.18)=0.79.答案:0.79【一题多解】设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件m,则m为“进口汽车恰好5年关税达到要求”,所以p(m)=1-p(m)=1-0.21=0.79.答案:0.79【拓展提升】求多个事件至少一个发生的概率的两种方法(1)分解成若干个互斥事件的和事件,利用概率加法公式求解.(2)利用对立事件求解,转换为对立事件的概率问题.三、解答题(每小题10分,共20分)7.某射手在一次训练射击中,射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率.(2)至少射中7环的概率.(3)不够8环的概率.【解析】记在一次射击中,事件“射中10环”为a,“射中7环”为b,则“射中10环或7环”为a+b,因为a和b互斥,所以(1)p(a+b)=p(a)+p(b)=0.24+0.16=0.4.(2)记事件“射中7环以下”为c,则“至少射中7环”为c,由对立事件概率公式可得“至少射中7环”的概率为p(c)=1-p(c)=1-0.13=0.87.(3)记事件“不够8环”为d,则d包含事件b,c,又b与c互斥,所以p(d)=p(b)+p(c)=0.16+0.13=0.29.【方法技巧】解决复杂概率问题的策略(1)必须分清事件是否互斥,只有互斥事件才能用概率加法公式.(2)所求事件必须是几个互斥事件的和.(3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求解时,可转化为求其对立事件的概率.8.有编号为1,2,3的三个白球,编号为4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.(1)求取得的两个球颜色相同的概率.(2)求取得的两个球颜色不相同的概率.【解析】从六个球中取出两个球的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个基本事件.(1)记事件a为取出的两个球是白球,则这个事件包含的基本事件是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个基本事件,故p(a)=315=15.记取出的两个球是黑球为事件b,同理可得p(b)=15.记事件c为取出的两个球的颜色相同,则c=a+b,且a,b互斥,根据互斥事件的概率加法公式,得p(c)=p(a+b)=p(a)+p(b)=25.(2)记事件d为