四川省成都市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）课件 新人教A版选修21.ppt_第1页
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2 4 2抛物线的简单几何性质 1 问题 抛物线的标准方程是怎样的 抛物线的标准方程 与椭圆 双曲线一样 通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质 以抛物线的标准方程 来研究它的几何性质 1 范围 因为p 0 由方程可知x 0 所以抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 2 对称性 以代 方程不变 所以抛物线关于轴对称 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3 顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程中 当时 因此抛物线的顶点就是坐标原点 4 离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比 叫做抛物线的离心率 由抛物线的定义可知 其它三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得 x轴 抛物线的几何性质 x轴 y轴 y轴 问题 与椭圆 双曲线的几何性质比较 抛物线的几何性质有什么特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线又叫做无心圆锥曲线 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 例1 斜率为1的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于两点a b 求线段ab的长 解 另解 焦点弦 过抛物线的焦点且与抛物线相交的直线 被抛物线截取的线段叫抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦长公式 设 则 焦点弦中与对称轴垂直的弦叫做抛物线的通径 长度为2p 这是标准方程中2p的几何意义 解 由定义得 x y ab af bf 思考 抛物线中过焦点的弦有最小值吗 如果有 在何处取得 a b 由上题可知 通径是抛物线中过焦点的最短弦长度为2p 这是标准方程中2p的几何意义 例2 在抛物线y2 8x上求一点p 使p到焦点f的距离与到q 4 1 的距离的和最小 并求最小值 解 k 思考 当 pf pq 为最大时 点p的坐标是 例3 过抛物线y2 2px的焦点的一条直线与它交于两点a x1 y1 b x2 y2 通过点a和抛物线顶点的直线交准线于点c 求证 y1y2 p2 证明 又 2 7 以cd为直径的圆与弦ab相切于焦点f 6 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 性质 过抛物线y
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