九年级数学下册 3 圆课件 （新版）北师大版.ppt

小结与复习 第三章圆 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 一 圆的基本概念及性质 1 圆的定义 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 2 有关概念 1 弦 直径 圆中最长的弦 2 弧 优弧 劣弧 等弧 3 弦心距 要点梳理 二 点与圆的位置关系 a b c o d r d r d r d r 三 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 圆有无数条对称轴 2 圆是中心对称图形 并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合 即圆具有旋转不变性 3 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 4 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 am bm 重视 模型 垂径定理直角三角形 若 cd是直径 cd ab 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 四 垂径定理及推论 垂径定理的逆定理 cd ab 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 定义 顶点在圆周上 两边和圆相交的角 叫做圆周角 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半 bac boc 五 圆周角和圆心角的关系 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 adb与 aeb acb是同弧所对的圆周角 adb aeb acb 推论 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是圆的直径 ab是 o的直径 acb 90 推论 圆的内接四边形的对角互补 六 直线和圆的位置关系 l d r d r 0 d r 切线 d r 割线 2 d r d r 1 七 切线的判定与性质 1 切线的判定一般有三种方法 a 定义法 和圆有唯一的一个公共点b 距离法 d rc 判定定理 过半径的外端且垂直于半径 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 切线长 从圆外一点引圆的切线 这个点与切点间的线段的长称为切线长 2 切线长及切线长定理 八 三角形的内切圆及内心 1 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 2 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 3 这个三角形叫做圆的外切三角形 4 三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 重要结论 只适合于直角三角形 九 圆内接正多边形 o c d a b m 半径r 圆心角 弦心距r 弦a 圆心 中心角 a b c d e f o 半径r 边心距r 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所对的圆心角 正多边形的中心角 边心距 正多边形的边心距 正多边形的内角和 中心角 圆内接正多边形的有关概念及性质 1 弧长公式 2 扇形面积公式 十 弧长及扇形的面积 例1在图中 bc是 o的直径 ad bc 若 d 36 则 bad的度数是 a 72 b 54 c 45 d 36 解析根据圆周角定理的推论可知 b d 36 bac 90 所以 bad 54 故选b b o 考点讲练 135 50 例2工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口 假设钢珠的直径是10mm 测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm 如图所示 则这个小圆孔的宽口ab的长度为mm 解析设圆心为o 连接ao 作出过点o的弓形高cd 垂足为d 可知ao 5mm od 3mm 利用勾股定理进行计算 ad 4mm 所以ab 8mm 方法归纳在涉及到求半径r 弦长a 弦心距d 弓形高h的问题时 通常构造直角三角形来解决 h r d 8 c d o 例3如图 o的直径ae 4cm b 30 则ac 2cm 解析连接ce 则 e b 30 ace 90 所以ac ae 2cm 方法归纳有直径 通常构造直径所对的圆周角 将问题转化到直角三角形中解决 4 多解题 如图 ab是 o的直径 弦bc 2 f是弦bc的中点 abc 60 若动点e以2cm s的速度从a点出发沿着a b a的方向运动 设运动时间为t s 0 t 3 连接ef 当t s时 bef是直角三角形 f 思路点拨根据圆周角定理得到直角三角形abc 再根据含30 交点直角三角形的性质得到ab 6cm 则当0 t 3时 即点e从点a到点b再到点o 此时和点o不重合 若 bef是直角三角形 则 bfe 90 或 bfe 90 例4如图所示 已知 non 30 p是on上的一点 op 5 若以p点为圆心 r为半径画圆 使射线om与 p只有一个公共点 求r的值或取值范围 解 当射线om与 p相切时 射线om与 p只有一个公共点 过点p作pa om于a 如图1所示 在rt aop中 r pa op sin poa 2 5 当射线om与 p相交且点o在 p内时 射线om与 p只有一个公共点 如图2所示 射线om与 p相交 则r 2 5 又 点o在 p内 则r op 即r 5 综合 可得r 5 综上所述 当射线om与 p只有一个公共点时 r 2 5 或r 5 图1图2 本题之类的题目中 常因混淆了 直线与圆只有一个交点 和 线段与圆只有一个交点 或 射线与圆只有一个交点 的区别 实际上 当直线与圆只有一个交点时 直线与圆一定相切 而线段与圆只有一个交点或射线与圆只有一个交点时 它们与圆的位置关系可能相切 也可能是相交 5 如图 直线l y x 1与坐标轴交于a b两点 点m m 0 是x轴上一动点 以点m为圆心 2个单位长度为半径作 m 当 m与直线l相切时 则m的值为 例5如图 以 abc的边ab为直径的 o交边ac于点d 且过点d的切线de平分边bc 问 bc与 o是否相切 解 bc与 o相切 理由 连接od bd de切 o于d ab为直径 edo adb 90 又de平分cb de 2 1 bc be edb ebd 又 odb obd odb edb 90 obd dbe 90 即 abc 90 bc与 o相切 6 已知 如图 pa pb是 o的切线 a b为切点 过上的一点c作 o的切线 交pa于d 交pb于e 1 若 p 70 求 doe的度数 2 若pa 4cm 求 pde的周长 针对训练 解 1 连接oa ob oc o分别切pa pb de于点a b c oa pa ob pb oc de ad cd be ce od平分 aoc oe平分 boc doe 2 1 aob p aob 180 p 70 doe 55 2 o分别切pa pb de于a b c ad cd be ce pde的周长 pd pe de pd ad be pe 2pa 8 cm 例6如图所示 在正方形abcd内有一条折线段 其中ae ef ef fc 已知ae 6 ef 8 fc 10 求图中阴影部分的面积 解析 观察图形看出 因为四边形abcd是正方形 所以ac是圆的直径 由于ae cf都与ef垂直 所以ae与cf平行 所以可以把cf平移到直线ae上 如果点e f重合时 点c到达点cc 的位置 则构造出一个直角三角形ac c 在这个直角三角形中利用勾股定理 即可求得正方形abcd的外接圆的半径 进而求得阴影部分的面积 解 将线段fc平移到直线ae上 此时点f与点e重合 点c到达点c 的位置 连接ac 如图所示 根据平移的方法可知 四边形efcc 是矩形 ac ae ec ae fc 16 cc ef 8 在rt ac c中 得 正方形abcd外接圆的半径为 正方形abcd的边长为 当图中出现圆的直径时 一般方法是作出直径所对的圆周角 从而利用 直径所对的圆周角等于 构造出直角三角形 为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件 7 如图 正六边形abcdef内接于半径为5的 o 四边形efgh是正方形 求正方形efgh的面积 连接of og 求 ogf的度数 解 正六边形的边长与其半径相等 ef of 5 四边形efgh是正方形 fg ef 5 正方形efgh的面积是25 正六边形的边长与其半径相等 ofe 600 正方形的内角是900 ofg ofe efg 600 900 1500 由 得of fg ogf 1800 ofg 1800 1500 150 例7 1 一条弧所对的圆心角为135 弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍 则这条弧的半径为 2 一个底面直径为10cm 母线长为15cm的圆锥 它的侧面展开图圆心角是度 40cm 120 解析 1 要熟记弧长公式及其变形式公式 即及 还要熟记圆锥及其侧面展开图的存在的对应的数量关系 即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长 母线长等展开后扇形的半径 8 如下图是一纸杯 它的母线ac和ef延长后形成的立体图形是圆锥 该圆锥的侧面展开图形是扇形oab 经测量 纸杯上开口圆的直径为6cm 下底面直径为4cm 母线长ef 8cm 求 1 扇形oab的圆心角 2 这个纸杯的表面积 面积计算结果保留用 解 1 由题意知 ab 6 cd 4 设 aob n ao rcm 则co r 8 cm 由弧长变形公式得 即 解得r 24 针对训练 解 2 由 1 知oa 24cm 则co 24 8 16cm s扇形ocd cm2 s扇形oab s纸杯侧 s扇形oab s扇形ocd 72 32 40 s纸杯底 4 s纸杯表 40 4 44 cm2 例8如图 在平面直角坐标系中 p经过x轴上一点c 与y轴分别相交于a b两点 连接ap并延长分别交 p x轴于点d e 连接dc并延长交y轴于点f 若点f的坐标为 0 1 点d的坐标为 6 1 1 求证 cd cf 2 判断 p与x轴的位置关系 并说明理由 3 求直线ad的函数表达式 解 1 证明 过点d作dh x轴于h 则 chd cof 90 如图所示 点f 0 1 点d 6 1 dh of 1 fco dch foc dhc cd cf 2 p与x轴相切 理由如下 连接cp 如图所示 ap pd cd cf cp af pce aoc 90 p与x轴相切 3 由 2 可知cp是 adf的中位线 af 2cp ad 2cp ad af 连接bd 如图所示 ad为 p的直径 abd 90 bd oh 6 ob dh of 1 设ad x 则ab af bf ad bf ad ob of x 2 在rt abd中 由勾股定理 得ad2 ab2 bd2 即x2 x 2 2 62 解得x 10 oa ab ob 8 1 9 点a 0 9 设直线ad的函数表达式为y kx