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26.1.2 反比例函数的图象和性质（第一课时）梁村中学 蒋颖学习目标1.能用描点法画出反比例函数y=的图象.2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质.3.能运用反比例函数的性质解决有关问题.重点用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质.难点 探究反比例函数的图象特点和性质的过程.一、导入:【复习提问】 （1）以前学习一次函数、二次函数时,是用什么思路和方法研究的? (先根据函数解析式画出函数的图象,然后观察、分析、归纳得到函数的性质) (2)一次函数、二次函数的图象分别是什么? (直线、抛物线) (3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么. (一次函数增减性、图象所经过象限;二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等) (4)画函数图象的基本步骤是什么? (列表、描点、连线) 【导入语】 我们可以类比研究一次函数、二次函数性质的方法来研究反比例函数的性质,如果可以,应先研究什么? 设计意图 通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做好铺垫,复习通过画函数图象来研究一次函数、二次函数性质的方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度. 过渡语 这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质.二、描点法画反比例函数图象 画函数y=与y=的图象. 教师引导,师生共同完成,同时展示画图象的过程. (1)自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么? (2)画函数图象时取哪些x的值列表,使函数图象完整、准确? (师生共同完成列表) (3)在平面直角坐标系中描点. (4)如何用平滑的曲线连接各点? (5)从左到右连线时,图象与x轴、y轴有没有交点?为什么? 教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量x、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴没有交点,故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同,坐标轴把图象分成两部分. 设计意图 通过师生合作,经历用描点法画函数图象的过程,培养学生动手操作能力,理解描点法画函数图象的本质,经历知识的形成,进一步体会数形结合思想,通过课件展示画图的过程,直观形象,学生既感兴趣又记忆深刻. (1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表: (教师强调:列表时取值不能太少,也不能只取正值)x-6-4-3-2-112346y=-1-1.5-2-3-66321.51y=-2-3-4-6-12126432 (2)描点.(教师强调:描点时横、纵坐标易混淆) (3)连线.(教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量x不等于0,所以画函数图象时,不能将左右两个图象连接起来) 设计意图 通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图象的过程,进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤,培养学生动手操作能力,经历知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程中,加深了学生对画函数图象的理解和认识.三、反比例函数y=(k0)的性质 过渡语 通过函数图象可以得到函数的有关性质,让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧! 观察教材图26.1 - 2的函数图象,学生在教师的引导下思考回答: (1)你能描述反比例函数图象的形状吗? (教师给出双曲线定义) (2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系? (因为自变量x、函数值y不能等于0,所以函数图象与x轴、y轴没有交点) (3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点O对称吗? (在第一、第三象限,关于原点O对称) (4)观察函数图象,当x0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗? (当x0时,随着x的增大,y也减小) (5)对于反比例函数y=(m0),以上结论还成立吗? 【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题,对回答有困难的问题,教师要给学生足够的时间思考、交流. 设计意图 将探究函数的性质设计成问题的形式,使学生在探究过程中有方向和目的,降低学习新知识的难度,同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法. 【共同总结(课件展示)】 (1)反比例函数y=(k0)的图象是双曲线; (2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限; (3)在每个象限内,y随着x的增大而减小; (4)两支双曲线向两边无限延伸,与坐标轴没有交点; (5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.设计意图 通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了学生合作精神,同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结,让学生体会数学中重要的学习方法类比法,同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.四、反比例函数y=(k0)的图象与性质 【导入语】 回顾以上探究过程,你能用同样的方法探究函数y=(k0)的图象与性质吗? 【师生活动】 学生在刚才的平面直角坐标系中画函数y=-与y=-的图象.观察函数图象,小组合作交流,归纳反比例函数y=(k0)的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生,引导学生归纳反比例函数的性质. 【共同归纳】 (1)反比例函数y=(k0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小; (2)当k0时，反比例函数 图象在A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限 若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函数y=的图象上,则下列结论中正确的是 ( ) A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y3y2y1【师生活动】 学生独立思考,并回答问题,教师及时点评,然后归纳两种比较函数值大小的方法. 解法1:把三个点的横坐标分别代入y=, 得y1=-,y2=-1,y3=1,y3y1y2 .故选C. 解法2:可以看出点(-2,y1),(-1,y2)在同一象限, k=10,在每个象限内,y随x的增大而减小, -2-10,y2 y10,y30,y3y1y2 .故选C. 设计意图 通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,体会运用数形结合思想解决函数问题的方法和技巧,提高学生分析问题、解决问题的能力.例2中用不同思路解决问题,培养学生多角度思考问题的能力. 知识拓展 (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的. (2)当k0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k0时,在每一个象限内,y随着x的增大而减小,但不能笼统地说:当k0时,y随着x的增大而减小.同样,当k0时,在每一个象限内,y随着x的增大而增大,也不能笼统地说:当k0时,图象经过第一、第三象限当k0时,图象位于第一、第三象限当k0时,y随x的增大而增大当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小当k0时,函数y=-的图象在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 解析:反比例函数y=-中,k=-50时,函数的图象位于第四象限.故选A. 2.对于反比例函数y=,下列说法正确的是 ( ) A.图象经过点(1,-3) B.图象在第二、四象限 C.x0时,y随x的增大而增大 D.x0,图象在第一、三象限,故B错误;k0,x0时,y随x的增大而减小,故C错误;k0,x0时,y随x的增大而减小,故D正确.故选D. 3.反比例函数y=的图象如图所示,以下结论: 常数m -1; 在每个象限内,y随x的增大而增大; 若A(-1,h),B(2,k)在图象上,则h0,所以错误;观察图象可得,在每个象限内,y随x的增大而减小,所以错误;当x=-1时,y=h0,所以hk,所以正确;反比例函数图象关于原点成中心对称,所以点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y),所以正确.故选C. 4.设有反比例函数y=,(x1,y1),(x2,y2)为其图象上两点,若x10y2,则k的取值范围是 . 解析:因为x10y2,所以双曲线在第二、四象限,则k+20,解得k-2.故填k-2. 5.已知反比例函数y=(m-2). (1)求m的值; (2)它的图象位于哪些象限? (3)当x2时,求函数值y的取值范围. 解:(1)依题意可得m2-5=-1,且m-20, 解得m=-2. 当m=-2时,函数y=(m-2)是反比例函数. (2)当m=-2时,代入函数解析式可得y=-. k=-40)的性质 3.反比例函数y=(k1,则0y24.如图所示的是反比例函数y=(k为常数,k0)的图象,则一次函数y=kx-k的图象大