【创新设计】高中数学 章末质量评估（二） 湘教版选修12.doc

章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1等式有下列运算性质：(1)加法法则：abacbc；(2)减法法则：abacbc；(3)乘法法则：abacbc，abanbn；(4)除法法则：ab(c0)；由此可得不等式的运算性质：(1)加法法则：abacbc；(2)减法法则：abacbc；(3)乘法法则：abacbc(c0)；(4)除法法则：ab(c0)以上推理方式属于()a归纳推理 b类比推理c演绎推理 d不完全归纳解析等式与不等式有不少相似的属性，由等式的运算性质推导出不等式的运算性质，这种推理方式符合类比推理的定义及形式，故选b.答案b2下列推理是归纳推理的是()aa，b为定点，动点p满足|pa|pb|2a|ab|，得p的轨迹为椭圆b由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式c由圆x2y2r2的面积r2，猜出椭圆1的面积sabd科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析从s1，s2，s3猜想出数列的前n项和sn，是从特殊到一般的推理，所以b是归纳推理答案b3三段论推理的规则为()a如果pq，p真，则q真 b如果bc，ab，则acc如果ab，bc，则ac d如果ab，bc，则ac答案b4否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()a有一个解 b有两个解c至少有三个解 d至少有两个解解析“至多有两个解”包括“无解，有一个解，有两个解”的所有可能，其对立面为至少有三个解答案c5有一个奇数列1,3,5,7,9，现进行如下分组：第1组含有一个数1；第2组含二个数3,5；第3组含三个数7,9,11；，试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为()a等于n2 b等于n3c等于n4 d等于n(n1)解析依题意，设各组的第一个数为an，an：1,3,7,13,21，an1an2n(nn)，a2a12，a3a24，anan12(n1)ana1242(n1)n(n1)ana1n(n1)n2n1.即第n组的第一个数为n2n1，由等差数列求和公式，得第n组各数之和为n(n2n1)2n3.故选b.或每组内各数之和依次为：1,8,27,64，即为13,23,33,43，猜想第n组的各数之和为n3.答案b6已知函数f(x)满足f(ab)f(a)f(b)，f(1)3，则()a2 b4 c12 d24解析由f(ab)f(a)f(b)，令abn，得f2(n)f(2n)，f(2)f2(1)故原式2f(1)8f(1)24.答案d7若abc，nn，且恒成立，则n的最大值为()a2 b3 c4 d5解析.所以nmax4.或者(ac)(ab)(bc)224.答案c8设等边三角形的边长为a，p是abc内的任意一点，且p到三边ab、bc、ca的距离分别为d1、d2、d3，则有d1d2d3为定值a，由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体abcd的棱长为a，p是正四面体abcd内任意一点，即到四个面abc，abd，acd，bcd的距离分别为d1、d2、d3、d4，则有d1d2d3d4为定值()a.a b.a c.a d.a解析等边abc中，d1d2d3a，a为abc的高，类比正四面体中，d1d2d3d4边应为正四面体的高a.答案c9已知f(xy)f(x)f(y)且f(1)2，则f(1)f(2)f(n)不能等于()af(1)2f(1)nf(1) bfcn(n1) dn(n1)f(1)解析由f(xy)f(x)f(y)且f(1)2知，f(2)f(1)f(1)2f(1)，f(3)f(2)f(1)3f(1)，f(n)nf(1)f(1)f(2)f(n)f(1)2f(1)nf(1)2n(n1)或f(1)f(2)f(n)f(123n)f.答案d10已知ab0，且ab1，若0c1，plogc，qlogc2，则p，q的大小关系是()apq bpq cpq dpq解析ab1，plogc0，又qlogc2logclogclogc0，qp.答案b二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上)11设等差数列an的前n项和为sn，则s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，_，_，成等比数列解析等差数列与等比数列的类比特点是“运算升级”，即和(差)对应积(商)，结论中有，类比结果也就出来了等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为tn，则t4，成等比数列答案12设a是整数集的一个非空子集对于ka，如果k1a，且k1a，那么称k是a的一个“孤立元”给定s1,2,3,4,5,6,7,8，由s的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个解析设al，m，n是集合s的3个元素构成的不含“孤立元”的集合，则由“孤立元”的定义可知，l，m，n是三个连续整数“孤立元”的定义，大前提给定a1,2,3，小前提所以集合a不含“孤立元”，结论同理可得不含“孤立元”的集合还有2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8故不含“孤立元”的集合共有6个答案613设实数a2，pa，q24aa22，则p与q的大小关系是_解析直接作差或作商均不易，可先求出p、q的取值范围paa222 24，当且仅当a2，即a3时，“”号成立p4，)又t4aa22(a2)222，q2t224，当且仅当a2时，q4，即q(0,4)，pq.答案pq14在等差数列an中，(n29，nn)，若a200，则有a1a2a3ana1a2a39n成立类比上述性质，在等比数列bn中，若b201，则存在等式_答案b1b2bnb1b2b39n15半径为r的圆的面积s(r)r2，周长c(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为r的球，若将r看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可用语言叙述为_解析由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，v(r)r3，s(r)4r2.答案4r2球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题(本大题共6小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分13分)设函数f(x)对定义域内任意实数x都有f(x)0，f(xy)f(x)f(y)成立求证：对定义域内任意x都有f(x)0.证明设f(x)定义域为a，假设存在x0a，使f(x0)0这与假设相矛盾假设不成立对于任意xa，都有f(x)0.17(本小题满分13分)设f1、f2分别为椭圆c：1(ab0)的左、右两个焦点(1)若椭圆c上的点a到f1、f2两点的距离之和等于4，写出椭圆c的方程和焦点坐标；(2)设点k是(1)中所求得椭圆上的动点，求线段f1k的中点的轨迹方程；解(1)椭圆c的焦点在x轴上，由椭圆上的点a到f1、f2两点的距离之和是4，得2a4，即a2.又点a在椭圆上，因此1，b23.所以c2a2b21.所以椭圆c的方程为1，焦点f1(1,0)，f2(1,0)(2)设椭圆c上的动点为k(x1，y1)，线段f1k的中点q(x，y)满足：x，y，所以x12x1，y12y.所以1.即21为所求的轨迹方程18(本小题满分13分)已知数列an的第1项a11，且an1(n1，2，)，试归纳出这个数列的通项公式，并证明解当n1时，a2；当n2时，a3，同理a4.观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想an(n1,2，)证明如下an1，1，1.是以1为首项，公差d1的等差数列，(n1)d1n1n，an(nn)19(本小题满分12分)设数列an、bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明数列cn不是等比数列证明设an、bn的公比分别为p、q，pq.假设cn是等比数列，则cc1c3，又因c2a1pb1q，c1a1b1，c3a1p2b1q2，所以(a1pb1q)2(a1b1)(a1p2b1q2)，所以ap2bq22a1b1pqap2a1b1q2a1b1p2bq2，所以2a1b1pqa1b1q2a1b1p2，所以(pq)20，即pq，这与已知条件pq矛盾，故假设不成立，所以cc1c3，即cn不是等比数列20(本小题满分12分)设a0，b0,2cab，求证：(1)c2ab；(2)cac.证明(1)a0，b0，2cab2c0，c2ab.(2)要证cac只要证ac即证|ac|，也就是(ac)2c2ab而(ac)2(c2ab)a(ab2c)0，显然成立原不等式成立21(本小题满分12分)已知函数yax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)，上为增函数(2)用反证法