全等三角形的复习提纲及试题集.doc

学习资料收集于网络，仅供参考第19章全等三角形 全章考点复习指导一、知识点解析1、判断正确或错误的句子叫做命题正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题2、命题是由题设、结论两部分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项常可写成“如果，那么”的形式用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论3、直角三角形的两个锐角互余4、三角形全等的判定： 方法1：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为S.A.S.（或边角边）方法2：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为A.S.A.（或角边角）方法3：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为A.A.S.（或角角边）方法4：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为S.S.S（或边边边）.方法5（只能用于直角三角形）：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为H.L.（或斜边、直角边）课堂精讲一、边角边、角边角 1如果两个三角形有两边及其夹角分别对应_，那么这两个三角形_，简记为_ 2如果两个三角形的两个角及其_对应相等，那么这两个三角形_，简记_测试点1 边角边（SAS）判定三角形全等1如图1所示，甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是_ (1) (2)2已知在ABC和A1B1C1中，AB=A1B1，A=A1，要使ABCA1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_3如图2所示，已知1=2，AB=AC，求证：BD=CD（要求：写出证明过程中的重要依据）测试点2 角边角（ASA）判定三角形全等4如图3所示，在AOB和COD中，AC与BD交于点O，ABCD，补充一个条件_，得出AOBCOD，理由分别是_ (3) (4)5下列说法错误的是（ ） A两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 D等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等6如图4所示，已知MB=DN，MBA=NDC，下列不能判定ABMCDN的条件是（ ） AM=N BAB=CD CAM=CN DAMCN7下列各组条件中，不能判定ABCABC的是（ ） AAC=AC，BC=BC，C=C BA=A，BC=BC，AC=AC CAC=AC，AB=AB，A=A DAC=AC，A=A，C=C精典练习1如图5所示，D在AB上，E在AC上，且B=C，那么补充一个条件后，仍无法判断ABEACD的是（ ）AAD=AE BAEB=ADC CBE=CD DAB=AC (5) (6) (7)2如图6所示，ABC中，B=90，C=30，AB=1，将ABC绕顶点A旋转180后，点C落在C处，则CC的长为（ ） A4 B4 C2 D23如图7所示，已知1=2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；C=D；B=E，其中能使ABCAED的条件有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个 (8) (9) (10)4.如图8所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是_5如图9所示，将AOB绕点O逆时针旋转90，得到AOB，若点A的坐标为（a，b），则点A的坐标为_6如图10所示，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，则点P与点P之间的距离为_，APB=_7如图所示，AC和BD相交于点E，ABCD，BE=DE，求证：AB=CD8已知如图所示，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连结BE，过点A作AHBE，垂足为H，延长AH交CD于F，求证：DE=CF9如图所示，AB与CD相交于O，ACDB，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，求证：CE=DF 证明：因为AE=BF， 所以AO-AE=BO-BF，即OE=OF 在OEC和OFD中， 所以OECOFD（SAS） 所以CE=DF上述证明过程中，错在哪一步，说明产生错误的原因，并写出正确的证明过程拓展创新 如图所示，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足为E、F （1）过A的直线与BC不相交时，有EF=BE+CF.如图（1） （2）如图（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得出什么结论？并给出证明参考答案 1相等，全等，SAS 2夹边，全等，ASA 1乙 2AC=AC 3由得ABDACD，所以BD=CD 4OA=OC或OB=OD或AB=CD，理由略 5B 6C 7B 1B 2B 3B 4 5（-b，a） 66，150 7AAS可证 8先证ABEDAF得AE=DF，因为由正方形ABCD得AD=DC，所以得ED=FC 9中AO=BO不是已知条件，需先证明AOCBOD，证明过程略拓展创新EF=BE-CF，证ABECAF，可得AE=CF，BE=AF，所以EF=AF-CF=BE-CF课堂精讲二、 1如果两个三角形三条边对应_，那么这两个三角形_，简记_ 2如果两个直角三角形的一条直角边及斜边_，那么这两个三角形全等，简记为_测试点1 边边边（SSS）判定三角形全等1如图2所示中，F、C在线段BE上，若BC=FE，AB=DE，要利用SSS证明ABCDEF，补充一条边相等的条件是_ (1) (2) (3)2在下列条件中，能判定ABCABC的是（ ） AAB=AB，BC=BC，两个三角形周长相等; BC=A，C=C，AC=BC; CAB=AB，BC=BC，A=A; DA=A，B=B.3如图2所示，ABC中，BC边与线段DE相等，以D、E为两个端点，作与ABC全等的三角形，这样的三角形最多可以画出_个，并画出所有的图形测试点2 斜边与直角边（HL）判定三角形全等4已知在RtABC和RtABC中，C=C=90，下列四组条件：AB=AB，CB=CB；AC=AC，CB=CB；A=A，B=B；A=A，BC=AC，可以用来判定RtABC和RtABC全等的有（ ） A1组 B2组 C3组 D4组5如图3所示，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于O，且1=2，则下列结论正确个数为（ ） B=C；ADOAEO；BODCOE（ASA）；图中有四组三角形全等A1个 B2个 C3个 D4个6如图4所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明EDCABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定EDCABC的理由是（ ）ASAS BASA CSSS DHL (4) (5)7如图5所示，我们可以用三角板来平分一个任意的锐角，在已知AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，OP就是AOB的平分线，说明其中的道理1如图6所示，将两根钢条AA，BB的中点O连结在一起，使AA，BB可以绕着O自由转动，就做成一个测量工件，则AB的长等于内槽宽AB，那么判定OABOAB的理由是（ ）A边角边 B角边角 C边边边 D角角边 (6) (7) (8)2如图7所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是（ ） A B C D3如图8所示，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，则下列结论错误的是（ ） AABCDEF BDEF=90 CAC=DF DEC=CF4如图9所示，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CM=CN；AC=DN其中，正确结论的个数是（ ）A3个 B2个 C1个 D0个 (9) (10) (11)5如图10所示，AB=CD，AD、BC相交于点O，要使ABODCO，应添加条件为_（添加一个即可）6如图11所示，E=F=90，B=C，AE=AF，给出下列结论：1=2；BE=CF；ACNABM；CD=DN，其中正确的结论是_（填序号）7如图所示，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论？不添加辅助线和字母，不写推理过程，只写出四个你认为正确的结论8如图所示，在ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE （1）请你再添加一个条件，使得BEABDC，并给出证明.你添加的条件是:_;证明:（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_9如图（1）所示，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F作DEAC，BFAC，若AB=CD，求证： （1）BD与EF互相平分（2）若将ABF的边AF沿CA方向移动，如图（2）所示，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，请予证明拓展创新 如图所示，ABC中，ACB=90，AC=BC，CO为中线，现将一直角三角板的直角顶点放在O点并旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线G、H （1）试写出图中除AC=BC，OA=OB=OC外的相等线段 （2）任选一组给予证明参考答案回顾探索 1相等，全等，SSS 2对应相等，HL课堂测控 1AC=DF 2A 34，图形略 4B 5D 6B 7在RtOMP与RtONP中有OM=ON，OP=OP，即RtOMPRtONP 所以AOP=BOP，即OP平分AOB课后测控 1A 2B 3D 4B 5ABCD等 6 7DAC=BAC，ACD=ACB，ADC=ABC，ADB=ABD等 8（1）AB=BC等，证明略 （2）ADFCEF 9（1）先证RtABFRtCDE，再证EMDFMB即可 （2）成立，证明方法与（1）相同拓展创新 （1）CG=BH，AG=CH，OG=OH （2）证明略.方法指导：一. 考查性质图1例1 (08南通)已知：如图1，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度. 120解析:OADOBC,D=C25,EAC=O+D=70+25=95,AEB=C+EAC=25+95=120.故填120.评注:本题主要考查的知识点是全等三角形的对应角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.二. 考查判定例2 (08陕西省)已知：如图2，三点在同一条直线上，求证：ADBCE图1图2分析:欲证,已知两三角形有一边,不妨证明夹此边的两角,B =D,前者根据平行线的性质直接得到,后者由平行线的性质和已知间接推得.对应相等,证明：ACDE，又ACD=B.，又AC=CE.，评注:判定两个三角形全等的方法很多,从中选择最优方法是解题关键，本题已知只有一对对应边相等,我们很容易想到用ASA或AAS,然后再排除ASA.三.全等三角形探究题图图例3 (08河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明分析:模仿图的证明可以完成图的证明,仍然是证明BQ=CP所在的AQBAPC,应用SAS定理达到目的.证明：，即 在和中，评注:考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力 创新题型一、探索开放题例1如图1，在中，点在上，点在上，（1）请你再添加一个条件，使得，并给出证明你添加的条件是：_证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：_（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）分析：（1）本小题是探索条件类，只要根据结论添加即可，本题已知一边，还有隐含的条件一对公共角，这样按照全等的条件再添加一边或一角就行了（2）本小题是探索结论类，只要根据你添加的条件任写一对全等的三角形即可点评：本题是添加条件写结论的全开放型的创新题，这种类型的题目开放程度非常高，能激起同学们的挑战的欲望和创新热情，实属好题二、条件组合题例2如图2，在ABC和DEF中，D、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF已知：求证：图2证明：分析：根据三角形全等的条件和三角形全等的特征，本题有以下两种组合方式：组合一：条件：，组合二：条件：，结论：，特别要注意若以或为条件组合，此时属于SSA的对应关系，则不能证明ABCDEF，也得不到相关结论点评：这种题型是近几年来的中考题的新亮点，它通过“一题多变”与“一题多解”来考察学生的发散思维能力三、猜想验证题例3如图3，已知为等边三角形，、分别在边、上，且也是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程图3分析：（1）猜想：AF=BD=CE，AE=BF=CD由已知条件，只要证明：AFEBDFCED即可（2）这些线段可以看成是经过平移、旋转而得到的，如AE与BF绕着A点顺时针旋转600，再沿着AB方向平移使A点至F即可得BF，其余类同点评：本题是一道具有挑战性的探索、猜想、验证、证明的试题，它与几何中图形的全等、图形的变换融合在一起，只要同学们认真观察、认真判断，问题就不难得到解决四、拼图证明题例4一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上（1）求证ABED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明分析：（1）由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有ABCDEF，故A=D；又ANP=DNC，因而不难得到APN=DCN=900，即ABED（2）若在增加PB=BC这个条件，再认真观察图形，就不难得到PNACND、PEMFMB点评：本题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下，积极参与图形的变化过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神与能力五、操作应用题例5右图为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用表示；角度用表示)；(3)根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图5，步骤为：BACDO图5（1）在地上找可以直接到达的一点O，（2）在OA的延长线上取一点C，使OC=OA；在BO的延长线上取一点D，使OD=OB；（3）测得DC=a，则AB=a点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望错题分析：已知，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，ABDEFC试证：AF=DE 错解：把BE、CF当成三角形的边，即在ABF和DCE中AB=DC B=C BE=CFABFDCEAF=DE 错因分析：没有认真地结合图形来分析条件，错把三角形边上的一部分当作边来参与证明，这是不符合“边角边”公理的条件的。 正解： BE = CFBE + EF = CF + EF即BF = CE在ABF和DCE中： AB=DC B=C BF = CEABFDCE （SAS）AF=DE精典练习：一、 填空题：1、旋转不改变图形的形状与大小。2、若一直角形的一直角边长是60，且其中一内角是30，则另一直角边长是 8 或2 。3、已 知 直角三角形两边分别是 6 、8 ，则第三边长为： 10 或 2 。二、选择题：AECB1、 如图，ABBD，CDBD，A=40，D则C的度数为：（ C ） A、20 B、30 C、40 D、502、如图若ABCEDF，A=50，C=30，则D= （ D ）ABCDEF A、30 B、50 C、60 D、100二1、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题2、如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）4、如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（勾股定理的逆定理）5、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.6、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。课堂精讲一、测试点1 互逆命题1命题：“对顶角相等”的题设是_，结论是_，它的逆命题是_，这个命题是_（填“真、假”）命题2下列命题的逆命题，是真命题的是（ ） A末位数是5的整数能被5整除; B有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等; C矩形是既对称图形，又是中心对称图形;D两点确定一条线3如图所示，从下列条件：BC=BC；AC=AC；ACA=BCB；AB=AB中取三个为题设，余下一个为结论，请你写出一个正确的命题测试点2 互逆定理4定理“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_，它是_命题（填“真、假”）5请写出下面定理的逆定理，并证明它的正确性菱形的对角线互相垂直平分1命题“等腰三角形的两腰上的高相等”的逆命题是_2有下列命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；两点之间，线段最短；相等的角是对顶角；两个锐角的和是锐角；同角或等角的补角相等，其中正确命题的个数是（ ） A2个 B3个 C4个 D5个拓展创新 如图所示，AB、CD相交于E，现给出如下三个论断：A=C；AD=CB；AE=CE 请你选择其中两个论断作条件，另外一个论断为结论，构造一个命题 （1）在构成的所有命题中，真命题有_个 （2）在构成中的真命题中，请选择一个加以证明参考答案 1如果两个角是对顶角，这两个角相等，相等的两个角是对顶角，假 2B 3在ABC和ACB中，BC=BC，AC=AC，ACA=BCB，则AB=AB 4同位角相等两直线平行，真 5对角线互为垂直平分的四边形是菱形，证明略 1两边上的高相等的三角形是等腰三角形 2A（1）2 （2）选择的真命题：证ADECBE（SAS）证ADECBE（ASA）课堂精讲二、测试点1 角平分线的性质1如图1所示，BCAC于C，BDAD于点D，请你填写一个适当的条件：_，使BC=BD. (1) (2) (3)2如图2所示，已知AD平分BAC，C=90，DEAB，BC=8cm，BD=5cm，则DE的长为（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm3如图3所示，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，将AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在AOB的平分线上测试点2 线段垂直平分线的性质4如图4所示，ABC中，AB=8，DE垂直平分BC，若AEC周长为13，则AC=_ (4) (5) (6)5如图5所示的图形中，AC=AD，BC=BD，那么（ ） ACD垂直平分AB BAB垂直平分CD CCD平分ACB DACB=ADB=906如图6所示，在ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，A=50，则DCB的度数是（ ） A15 B30 C50 D657如图所示，已知：AOB，点M、N求作：点P，使点P在AOB的平分线上，且PM=PN（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 课后测控1如图7所示，在RtABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，AD=2.2cm，AC=3.7cm，则D点到AB边的距离是_cm (7) (8) (9)2如图8所示，ABC中，AB=7，BC=10，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E，则ABD的周长为_3如图9所示，将一个等边三角形剪去一个后，1+2等于（ ） A120 B240 C300 D3604如图10所示，ABC的外角CBD，BCE的平分线BE，CF相交于F，则有（ ） AAF平分BC BBFBC CAF平分BAC D以上均不对 (10) (1