高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积课件 苏教版选修21.ppt

第3章 3 1空间向量与立体几何 3 1 5空间向量的数量积 学习目标1 理解空间向量坐标的概念 会确定一些简单几何体的顶点坐标 2 掌握空间向量的坐标运算规律 并会判断两个向量是否共线或垂直 3 掌握空间向量的模 夹角公式和两点间距离公式 并能运用这些知识解决一些相关问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间向量的夹角 1 文字叙述 a b是空间两个非零向量 过空间任意一点o 作 a b 则叫做向量a与向量b的夹角 记作 2 图形表示 aob a b 0 锐角 3 范围 a b 4 空间向量的垂直 如果 a b 那么称a与b互相垂直 记作 直角 0 a b 思考 知识点二空间向量的数量积 两个向量的数量积是数量 还是向量 数量 由数量积的定义a b a b cos a b 知其为数量而非向量 答案 梳理 1 定义 设a b是空间两个非零向量 把数量叫做a b的数量积 记作 a b 即a b 2 运算律 a b cos a b a b cos a b b a a b a b a c 3 坐标表示 已知非零向量a b a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 a b a b a cos a b x1x2 y1y2 z1z2 a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 知识点三空间中两点间的距离公式 思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根 因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关 答案 梳理 在空间直角坐标系中 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则ab 题型探究 类型一空间向量的数量积运算 命题角度1空间向量的数量积基本运算例1 1 下列命题是否正确 正确的请给出证明 不正确的给予说明 p2 q2 p q 2 解答 此命题不正确 p2 q2 p 2 q 2 而 p q 2 p q cos p q 2 p 2 q 2 cos2 p q 当且仅当p q时 p2 q2 p q 2 p q p q p2 q2 解答 此命题不正确 p2 q2 p q p q p q p q cos p q p q 当且仅当 p q p q 时 p2 q2 p q p q 若a与 a b c a c b均不为0 则它们垂直 解答 此命题正确 a a b c a c b a a b c a a c b a b a c a b a c 0 且a与 a b c a c b均为非零向量 a与 a b c a c b垂直 2 设 a b 120 a 3 b 4 求 a b 解答 a b a b cos a b a b 3 4 cos120 6 3a 2b a 2b 解答 3a 2b a 2b 3 a 2 4a b 4 b 2 3 a 2 4 a b cos120 4 b 2 3a 2b a 2b 3 9 4 3 4 4 16 27 24 64 61 1 已知a b的模及a与b的夹角 直接代入数量积的公式计算 2 如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积 可以先利用数量积的运算律将多项式展开 再利用a a a 2及数量积公式进行计算 反思与感悟 跟踪训练1已知a b均为单位向量 它们的夹角为60 那么 a 3b a 3b 2 a 3b 2 a2 6a b 9b2 1 6 cos60 9 13 a 3b 答案 解析 命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 4 e为侧面abb1a1的中心 f为a1d1的中点 试计算 则 a c 2 b 4 a b b c c a 0 解答 解答 解答 两向量的数量积 其运算结果是数量 而不是向量 零向量与任意向量的数量积为0 向量的数量积不满足结合律 反思与感悟 跟踪训练2已知正四面体oabc的棱长为1 求 解答 解答 类型二利用数量积求夹角或模 命题角度1利用数量积求夹角例3已知bb1 平面abc 且 abc是 b 90 的等腰直角三角形 abb1a1 bb1c1c的对角线都分别相互垂直且相等 若ab a 求异面直线ba1与ac所成的角 解答 ab bc bb1 ab bb1 bc 又 异面直线所成的角是锐角或直角 异面直线ba1与ac所成的角为60 反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法 如图 取直线l的方向向量a 同时取向量 跟踪训练3已知 po pa分别是平面 的垂线 斜线 ao是pa在平面 内的射影 l 且l oa 求证 l pa 证明 命题角度2利用数量积求模 或距离 例4如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 ab 1 ad 2 aa1 3 bad 90 baa1 daa1 60 求ac1的长 解答 因为 bad 90 baa1 daa1 60 利用向量的数量积求两点间的距离 可以转化为求向量的模的问题 其基本思路是先选择以两点为端点的向量 将此向量表示为几个已知向量的和的形式 求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模 利用公式 a 求解即可 反思与感悟 跟踪训练4如图 已知线段ab 平面 bc cd bc df 平面 且 dcf 30 d与a在 的同侧 若ab bc cd 2 求a d两点间的距离 解答 类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题 因为ob oc ab ac oa oa 所以 oac oab 所以 aoc aob 例5如图 在空间四边形oabc中 ob oc ab ac 求证 oa bc 证明 反思与感悟 1 证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量 看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直 2 证明与空间向量a b c有关的向量m n垂直的方法 先用向量a b c表示向量m n 再判断向量m n的数量积是否为0 跟踪训练5已知向量a b满足 a 2 b 且a与2b a互相垂直 则a与b的夹角为 45 答案 解析 a与2b a垂直 a 2b a 0 即2a b a 2 0 2 a b cos a b a 2 0 又 a b 0 180 a与b的夹角为45 当堂训练 2 3 4 5 1 b c 2 2 5 a b c 4 6 5 3 1 若a 2 3 1 b 2 0 3 c 0 2 2 则a b c 的值为 答案 解析 3 2 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k的值是 依题意得 ka b 2a b 0 所以2k a 2 ka b 2a b b 2 0 而 a 2 2 b 2 5 a b 1 所以4k k 2 5 0 解得k 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 4 已知正四面体abcd的棱长为2 e f分别为bc ad的中点 则ef的长为 2 3 4 5 1 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 答案 解析 5 已知a 2 5 1 b 2 2 4 c 1 4 1 则向量与的夹角为 2 3 4 5 1 答案 解析 1 在几何体中求空间向量数量积的步骤 1 首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 2 利用向量的运算律将数量积